土孔隙的分形几何研究_王清

土孔隙的分形几何研究_王清
土孔隙的分形几何研究_王清

土孔隙的分形几何研究*

A Study on fractal of porosity in the soils

王 清 王剑平

(长春科技大学环境与建设工程学院,长春,130026) (南京水利科学研究院土工所,南京,210024)

中图法分类号 P 642.1 文献标识码 A 文章编号 1000-4548(2000)04-0496-03作者简介 王 清,女,1959年生,教授,从事红土、黄土及软土等土体的工程地质及岩土工程研究工作。

1 前 言

土中孔隙是土的重要性质之一[1],无论土体变形、土坡稳定性,还是地基承载力等都将直接或间接由土

的孔隙来表示。由于土体的多相性和不均匀性等,使测定各级孔隙及划分各级孔隙的研究极其复杂

[2]

,为

了更有效地研究土孔隙特征,本文采用了压汞测试法进行孔隙测定,并应用非线性理论之一———分形几何

的观点来完成资料处理

图1 黄土和黄土状土的孔隙分布特征图Fig .1 Pore size distribution of loess and loessial soil

2 试验方法

压汞试验是将已制好的土样通过不同压力将水银压入土体孔隙中,根据不同压力及所对应的进汞量(以汞饱和度计)绘制关系曲线(图1),了解不同孔隙大小(喉道半径)以及所占总孔隙体积的比例关系(表1)。

根据压汞曲线的特点,总结前人的研究经验[2~5],

按照在一定范围内的孔隙具有相似的特性,通常将孔隙划分为大孔隙(d >4μm )、中孔隙(0.4μm

,压汞法解决了对集粒内孔隙测定存在着的难题,它是测定孔隙大小,尤其是定量测定微小孔隙的一种行之有效的方法。它解决了许多理论和生产实际问题,也是一种较好的定量研究孔隙的方法之一。

3 分形理论的应用

土体实际上是具有统计意义上的自相似的分形结构特征[6],采用统计自相似的方法来定量地描述复杂土体孔隙分布特征,从本质上揭示土体的变形性质及力学行为,为此,我们对压汞试验所测得的不同孔径数值采用双对数直角坐标来表示,其中X 轴表示孔径的大小,Y 轴表示大于某一孔径的累积百分含量,这样我们得到了一些所求的曲线(图2)。经过各类型粘性土分析可见,所求得的曲线通常为折线,每段折线说明在一定的尺度范围内土体孔隙具有自相似性,即每个折线的端点是孔隙具有自相似性的区间,并且折线端点孔径将表征土性质变化的转折点,因此,端点的孔径可作为划分孔径大小的标准。整个图上有多个折线构成,可见土孔隙是具有多层次自相似性的混沌体,换言之,在曲线两个端点之间存在着可以变化的许多个数量级的“无标度”区,在无标度区内,孔径显然不是描述工程地质特性的很好定量特征值,而分维数将更合适

作为定量的评价指标。

前面提到无标度性,所谓标度就是尺度,是一种量

测的单位。无标度性就是说,不论测量的单位如何改变,我们所研究的对象在性质上均不发生变化。所以,

国家自然科学基金资助项目(No .49672165,No .49972089)和中国

博士后科学基金资助项目到稿日期:1999-11-13

 第22卷 第4期岩 土 工 程 学 报

Vol .22 No .4 2000年 7月

Chinese Journal of Geotechn ical Engineering July , 2000 

表1 土体孔隙特征表

Table1 Porous characteristics of soil mass

项目编号频数数值

孔径分布/%

<0.040.04~0.400.40~4.00>4.00(μm)

平均孔径

/μm

平均孔径

含量/%

中值孔隙

/μm

比孔容积

/(m3·g-1)

比表面积

/(m2·g-1)

黄土14

24

36

42

54

范围值9.0~14.011.5~23.063.0~74.00.5~14.50.20~1.0019.50~65.000.60~1.700.13~0.2011.41~22.20平均值11.7515.7568.404.130.7844.381.090.1717.07

范围值12.5~26.017.5~47.53.00~64.00.4~13.00.36~1.9055.00~64.000.20~1.100.09~1.1511.9~33.8平均值19.3829.8646.004.960.99861.380.660.1516.68

范围值12.5~25.034.0~59.015.5~5.280.2~13.00.39~1.9047.00~77.000.15~0.440.11~0.1814.59~30.37平均值16.4243.5038.583.750.82363.780.340.1421.28

范围值19.0~20.541.5~43.036.5~36.81.2~1.50.45~0.4667.00~68.000.30~0.310.13~0.1423.26~28.06平均值19.8042.3036.701.350.45567.500.310.1425.66

范围值14.6~22.532.5~45.031.0~52.00.5~1.50.42~0.8164.00~72.000.20~0.450.08~0.139.34~25.96平均值18.7540.6039.70.980.53867.50.300.1017.06

黄土状土5范围值8.5~26.522.0~53.121.6~50.86.9~18.60.14~0.83平均值16.536.6435.4811.380.40

无标度性与自相似性彼此是一致的。如在孔隙压汞分形曲线中的每一个折线段区间内,孔隙具有在这一区间内的自相似性并被视为可分形的,这一区间就是无标度区间。

4 结果分析

以黄土类土为主要的研究对象,选择5层土的压汞测试指标进行研究(除第一层部分土上部具有湿陷性以外,其它均无湿陷性)。土是一种复杂的结构系统,压汞试验所测得的孔隙数据是否具有多重尺度的自相似性,即孔隙是否具有分形特征,是我们首先要讨论的问题,大量的孔隙压汞数据在表面上看来似乎没有什么规律性,但根据统计自相似的原理以及对试验数据取双对数求分维数的方法,发现大部分黄土都具有分形的特征,并且不同层位的土具有不同的分形特点。具有分形特征的土层其相关系数均在90%以上,说明土的孔隙在某一区段是具有统计自相似性的特征,见图2所示。由图可见孔隙数据表现为每一层土有不同的曲线段,这说明土孔隙为不规则的分形体(混沌体),其中每段折线说明在该段的尺度范围内孔隙具有自相似性,几个折线段,说明了可将黄土孔隙的这种混沌体划分出几个分维数的结构层次。

在分形曲线图2(a)上,可见孔隙只在0.03~0.7μm区段具有明显的直线段,说明孔隙在该孔径范围内具有分形特征。因为第一层土埋深为自地表以下8~10m左右,该层土具有程度不同的湿陷性,且由上向下湿陷性减弱,湿陷系数在1.7~1.9m为0.110,3.1~3.3m为0.096,5.2~5.4m为0.010,5.9~6.1m为0.006。第二层基本不具有湿陷性。可见具有湿陷性的土层,在较大孔径(大约大于0.7μm)的范围内是不具有分形特征的。因为此类黄土具有特殊的微观结构

497

 第4期王 清等.土孔隙的分形几何研究

———架空状结构,具有这种结构的土,它在统计意义上是不具有自相似性的。

在图2(b)~(e)的其它几条曲线上,折线段基本上分为三段,各段拐点较明显,并各层的拐点值基本上在一定的范围内,第一个拐点对应的孔径大约在0.03μm处,小于该孔径的孔隙相当于粘土矿物晶层或晶体之间的微小孔隙或微裂隙,在此我们称该孔隙为微孔隙,由于我们在该孔径范围内观测数据较少,要想得到可靠的结论,有必要继续进行详细的工作。第二个拐点对应的孔径大约在0.7μm左右,相当于结构单元体———集粒内孔隙与结构单元体集粒间孔隙的孔径界限,在0.03~0.7μm区段内,曲线呈现出直线,其相关系数较高,求取各层中不同试样所对应的双对数曲线在0.03~0.7μm区段内的斜率,可以求得各层的平均分维数值,结果如表2所示,在该孔径范围内的孔隙类型主要为集粒内的孔隙,黄土则为团聚体内孔隙,黄土状土则为团聚体或者絮凝体内孔隙;在此我们称该类孔隙为小孔隙,此孔隙具有显著的分形特征,并且随着细粒含量的增加(见表2),分维数有不断增高的趋势。在大于0.7μm区段内,孔隙也具有明显的分形的特征,其结果见表3所示,该孔隙为结构单元体之间的孔隙,单个孔隙大,但孔隙个数少,在此称其为大孔隙。由表3中的分维数可知,大孔隙分维数的离散性较大。但总体来看也有一定的规律性,即,第一层黄土具有湿陷性其孔隙较大,其分维数值大大地超过其他几层黄土的分维数值,第二层以下黄土的分维数值总体上从上自下呈由大变小的趋势。

表2 黄土小孔隙的分维数

Table2 Fractal dimension of s mall pore of loess 层号第一层第二层第三层第四层第五层

频数34624

分维数0.42220.40260.56060.51830.5162相关系数98.3299.6699.4699.7799.79

粘粒含量/%14.9915.7914.4819.5222.22

表3 黄土大孔隙的分维数

Table3 Fractal dimension of large pore of loess 层号第一层第二层第三层第四层第五层

频数34624

分维数0.43450.23440.08110.05170.0960相关系数93.4795.8194.0091.1391.65 由上述分析,孔径在0.03,0.7μm两个数值附近有不同的分形特征,由于实际所测得孔隙大小值不是连续的,在0.03,0.7μm数值处有实测值,而在这一区段端点的附近范围内则没有实测值,因此这两个节点作为划分微、小、大孔隙的界限多少有一定的偏差,综合考虑实际工作情况、数学规律和孔隙在该点发生质变的原则,可将土孔隙划分的界限定为0.02,0.8μm 二个孔径节点,三个孔径区段,三种孔隙类型,即微孔隙(<0.02μm)、小孔隙(0.02~0.8μm)和大孔隙(> 0.8μm),这与笔者以前文章中[3]按孔径(4,0.4,0.04μm)大小,将孔隙划分为微孔隙、小孔隙、中孔隙和大孔隙四个孔隙级别是有一定差距的,其原因是由于前者是在长期工作经验的基础上,依靠统计的资料定性划分得出的,而后者是在大量的实验资料基础上,通过先进的计算方法处理以后,用数据资料定量划分出来的,具有一定的理论依据。

5 结 论

应用分形几何理论中无标度区间的观点,结合土孔隙实际分布状况,确定了粘性土孔隙划分的界限,即土中微、小、大孔径的界限可依据0.02,0.8μm两个孔径节点来划分,并明确了在无标度区间内所讨论孔隙的特性,它克服了以往区分孔隙大小的盲目性,为解决目前在孔隙研究中划分孔径的杂乱现状提供了理论依据。

参 考 文 献

1 曲永新等.固结条件下上海软土孔径分布的变化及其在地面沉降中的意义.见:第四届全国工程地质大会论文集.

1992.885~889

2 雷祥义.中国黄土的孔隙类型与湿陷性.中国科学,1987,12 (B辑):309~318

3 王 清.长春地区黄土状土湿陷性分析.吉林地质,1991,10

(3):43~49

4 Wang Qing.Study of Co mposition Structure and Engineering Ge-ology Properties Loessial Soil.Beijing:China Architecture and Building Press,1991

5 胡瑞林等.黄土湿陷性的微结构效应.工程地质学报,1999,7

(2):161~167

6 Mandelbrot B B.Fractal Geometry of Natu re.San Francisco: Freeman,1982

498岩 土 工 程 学 报 2000年 

分形几何的早期历史研究

分形几何的早期历史研究 分形几何学是20世纪70年代诞生的一门数学分支,它是继非欧几何创立之后几何学史上的又一次重大革命。作为大自然的几何学,它在现实生活中有着非常广泛的应用。 因此,研究分形几何的早期历史具有非常重要的意义。本文在研读原始文献及其相关研究文献的基础上,通过历史分析和文献考证的方法,以“为什么数学”为指导思想,全面系统地考察了分形几何早期历史的内容和思想,深入剖析了分形几何创立的原因。 取得的研究结果如下:1.全面考察了分析严格化的背景下,魏尔斯特拉斯函数、康托尔集和科赫曲线等早期经典分形集产生的背景、原因、过程和影响。魏尔斯特拉斯为了搞清函数的连续性和可微性之间的关系,构造了一条连续但处处不可微的病态函数。 康托尔在单位区间上构造了一个完备但处处不稠密的病态点集。科赫运用递归法的思想,构造了一条可以几何直观表示的连续但处处不可切的病态曲线。 这些病态的函数、曲线和集合的出现是推动分形几何创立的内因。2.系统梳理了分数维数概念的产生过程。 为了准确测量出康托尔集的大小,康托尔、波莱尔和勒贝格等数学家相继提出了解决问题的办法和思路,但得到的结果不令人满意。直到卡拉泰奥多里在q 维空间中定义了p维测度集,才使问题取得了一些进展。 豪斯多夫在卡拉泰奥多里工作的基础上,将维数的取值范围由整数推广到分数,解决了康托尔集的测量问题。贝西科维奇完善了豪斯多夫关于分数维数的定义,给出了分数维数的确切概念。

3.详细论述了贝西科维奇、布利冈和柯尔莫戈洛夫等数学家对分数维数理论的贡献。贝西科维奇研究了分数维数集的密度性质和微积分,在实数理论中探讨了分数维数集的具体应用。 盒维数是一种重要的分数维数,它的最初模型由布利冈建立,庞特里亚金和施尼勒尔曼定义了具有数学表达式的盒维数,但缺乏严格性;柯尔莫戈洛夫和契霍洛夫给出了严格的盒维数定义;法尔科内则定义了现代意义下的盒维数。4.详尽阐述了莱维、莫兰和芒德勃罗等数学家对自相似理论的贡献。 自相似思想最早可追溯至古希腊时代,德谟克利特、亚里士多德以及我国古代的数学、哲学和医学著作中也有关于自相似思想的论述,但尚未形成严格的理论体系。莱维引入了参数和阶数等一些基本数学概念,他是第一个对自相似性进行系统研究的数学家。 莫兰将集合论引入自相似理论的研究,定义了自相似集的概念,形成了自相似理论的雏形。芒德波罗将统计性融入自相似理论,描绘了统计自相似性,解决了长期困扰大家的海岸线长度问题。 5.细致探究了分形几何的创立过程,深入剖析了分形几何的创立原因。通过论文“英国的海岸线有多长”和著作《大自然的分形几何》,细致探究了分形几何的创立过程。 在原始文献和相关研究文献的基础上,指出病态函数、曲线和集合的激励,数学理论发展的推动,实际问题的鞭策,以及创立者自身的优势是分形几何创立的主要原因。

分形几何

分形几何 一、欧氏几何的局限性 自公元前3世纪欧氏几何基本形成至今已有2000多年。尽管此间从数学的内在发展过程中产生了射影几何、微分几何等多种几何学,但与其他几何学相比,人们在生产、实践及科学研究中更多涉及到的是欧氏几何。欧氏几何的重要性可以从人类的文明史中得到证明。欧氏几何主要是基于中小尺度上,点线、面之间的关系.这种观念与特定时期人类的实践。认识水平是相适应的,数学的发展历史告诉我们,有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时,头脑中的囹象多是一些囫锥曲线、线段组合,受认识主。客体的限制,欧氏几何具有很强的“人为”特征。这样说并非要否定欧氏几何的辉煌历史,只是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。 进入20世纪以后,科学的发展极为迅速。特别是~~战以后,大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现,同以往相比,人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是,有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了,如对植物形态的描述,对晶体裂痕的研究,等等。 美国数学家B, Mandelbrot曾出这样一个著名的问题:英格兰的海岸线到底有多长?这个问题在数学上可以理解为:用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效?这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战,此外,在湍流的研究。自然画面的描述等方面,人们发现传统几何依然是无能为力的。人类认识领域的开拓呼唤产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学,在此,不妨称其为自然几何。 二、分形的产生 一些数学家在深入研究实、复分析过程中讨论了一类很特殊的集合(图形),如Cantor集、Peano曲线、KoCh曲线等,这些在连续观念下的“病态”集合往往是以反例的形式出现在不同的场合。当时它们多被用于讨论定理条件的强弱性,其更深一层意义并没有被大多数人所认识。 1975年,Mandelbrot在其《自然界中的分形几何》一书中引入了分形(fractal)这一概念。从字面意义上讲, fractal是碎块、碎片的意思,然而这并不能概括Mandelbrot的分形概念,尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义,但在数学上大家都认为分形有以下凡个特点: (1)具有无限精细的结构; (2)比例自相似性; (3)一般它的分数维大子它的拓扑维数; (4)可以由非常简单的方法定义,并由递 归、迭代产生等。 (1)(2)两项说明分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂,它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息.第(3)项说明了分形的复杂性,第(4)项则说明了分形的生成机制。图1中五条曲线自下而上,按图中所示的规律逼近Koch曲线。Koch曲线处处连续,但处处不可导,其长度为无穷大,以欧氏几何的眼光来看,这种曲线是被打入另类的,从逼近过程中每一条曲线的形态可以看出分形四条性质的种种表现。以分形的观念来考察前面提到的“病态”曲线,可以看出它们不过是各种分形。 我们把传统几何的代表欧氏几何与以分形为研究对象的分形几何作一比较,可以得到这样的结论:欧氏几何是建立在公理之上的逻辑体系.其研究的是在旋转、平移、对称变换下各种不变的量,如角度、长度、面积、体积,其适用范日主要是人造的物体。而分形的历史只有20来年,它由递归、迭代生成,主要

基于分形几何的分形图绘制与分析

基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要:基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上,重点对ifs参数进行实验分析,ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词:分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——,它是由美籍法国数学家曼德勃罗(b.b.mandelbrot)1973年在法兰西学院讲课时,首次提出了分形几何的设想。分形(fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎等意义,分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义,曼德勃罗曾经为分形下过两个定义: (1)分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外,例如,经典分形集合peano曲线分形维数 (2)局部与整体以某种方式自相似的形,称为分形。 然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形

如此丰富的内容。实际上,对于什么是分形,到目前为止还不能给出一个确切的定义,正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样,人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下,它总有复杂的细节,或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的,用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体,它既不是满足某些条件的点的轨迹,也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式,可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”,严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下,分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状,在自然界中,许多物体的形状是极不规则的,例如:弯弯曲曲的海岸线,起伏不平的山脉,变化无偿的浮云,以及令人眼花缭乱的满天繁星,等等。这些物体的形状有着共同的特点,就是极不规则,极不光滑。但是,所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的,例如:初等平面几何的主要研究对象是直线与圆;平面解析几何的主要研究对象是一

分形几何的应用

分形几何的应用 分形几何是法国数学家芒德布罗在1975年将具有分数维数的图形,例如科赫曲线,称为分形,建立了以这类自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体为对象的数学新分支。分形几何作为一门新兴的学科已经开始逐渐发展,它的应用遍及哲学、数学、物理学、化学、地质学、水文学、气象学、天文学、地震科学、人口学、情报学、经济学、管理科学,甚至在电影、音乐、美术、书法等。下面介绍一些分形几何在当代社会中的应用。 在生命科学的研究中,科学家发现,细胞的分裂正是生物体分形的基础以及近几年来的研究表明,蛋白质的分子链具有分形特征,这就为揭开生命之谜提供了新的思维方法;而且分形在中医治病的病理中起着重要的作用,因为分形理论从人体分形着手进行分析,得出令人耳目一新的结论,以针灸为例,一个穴位是人体某一部分的缩影,是一个分形元,当人体的某一器官或部位有病时,就必然要在相应的穴位上表现出来,在穴位上产生对痛刺激敏感,皮肤电阻降低等病理生理反映,因此,对特定穴位施加刺激,就会产生治疗效果,这就是中医治病的病理分形性。 在实际工程问题中,如石油开采就可以利用分形理论进行研究则有可能大幅度地增产石油;而且分形理论为化学家深化对高分子地认识提供了有利的工具使得对凝胶形成的机理、凝胶点的确定、凝胶的生成的控制都有很好的作用。 芒德布罗经过研究不仅计算出英国西海岸线、澳大利亚海岸线、

南非海岸线、西班牙与葡萄牙的国界线的分形维数分别是1.25、1.13、1.02、1.14,还将分形应用于经济学,他测定出美国60年的棉花价格随时间变化的分形维数;在矿业应用方面,中国工程院院士谢和平教授将分形理论应用于岩石损伤力学的研究,提出了演示损伤的分形模型及演化机理;国际上的一些学者将分形应用于情报学,语言学和证券的变化进行深入的研究,得出了相应的分形维数,有了这些分形维数,专家们就可以预测出在该方面的一些结果,这有利于人类的进步。 近二十年来,国外许多大公司组织了大批科学家致力于分形的应用研究,取得了一批富有价值的成果,例如:根据分形几何原理合成了保温性能最佳的人造羽绒。分形在影视事业中也大有发展前途。20世纪80年代初,A.Fournier 将分形图形推向好莱坞影视业,致使分形在电影特技制作上大显身手,用于创作出效果奇佳的地球、宇宙中某特定地域、空间的“实景”或人世间从未有过的绚丽多彩、奇妙无比的景象。 由于分形通常是以非常简单的递归方式无穷次迭代而生成的,因此各种分形可以借助微型电子计算机编制一定的程序实现。分形的这种微机图形显示进一步帮助人们推开分形艺术宫殿的大门。 这些实例足以说明分形有强大的生命力,它对于人们认识自然界和人类社会中的某些现象的真实面貌是一个有利的数学工具。

分形插值算法和MATLAB实验

一,分形插值算法 ——分形图的递归算法1,分形的定义 分形(Fractal)一词,是法国人B.B.Mandelbrot 创造出来的,其原意包含了不规则、支离破碎等意思。Mandelbrot 基于对不规则的几何对象长期地、系统地研究,于1973 年提出了分维数和分形几何的设想。分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学,用以描述自然界中普遍存在着的不规则对象。分形几何有其显明的特征,一是自相似性;分形作为一个数学集合, 其内部具有精细结构, 即在所有比例尺度上其组成部分应包含整体, 而且彼此是相似的。其定义有如下两种描述: 定义 1如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff 维数H D 恒大于其拓扑维数 r D ,则称该集合为分形集,简称分形。 定义 2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 对于定义 1 的理解需要一定的数学基础,不仅要知道什么是Hausdorff 维数,而且要知道什么是拓扑维数,看起来很抽象,也不容易推广。定义 2 比较笼统的说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似性,那么这个物质就是分形。正是这一比较“模糊”的概念被人们普遍接受,同时也促进了分形的发展。 根据自相似性的程度,分形可分为有规分形和无规分形。有规分形是指具有严格的自相似的分形,比如,三分康托集,Koch 曲线。无规分形是指具有统计意义上的自相似性的分形,比如,曲折的海岸线,漂浮的云等。本文主要研究有规分形。

2. 分形图的递归算法 2.1 三分康托集 1883 年,德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的,然而,它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发,再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如图2.1)。 其详细构造过程是:第一步,把闭区间[0,1]平均分为三段,去掉中间的 1/3 部分段,则只剩下两个闭区间[0,1/3]和[2/3,1]。第二步,再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段,同样去掉中间的区间段,这时剩下四段闭区间:[0,1/9],[2/9,1/3],[2/3,7/9]和[8/9,1]。第三步,重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去,最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。三分康托集的 Hausdorff 维数是0.6309。 图2.2 三分康托集的构造过程

分形几何的数学基础

课程名称(中文):分形几何的数学基础 课程名称(英文):Mathematical foundation of Fractal geometry 一)课程目的和任务: 分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的,数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支,它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。主要内容包括:抽象空间,拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的(Hausdorff,packing及box-counting)维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧,从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。 二)预备知识:测度论,概率论 三)教材及参考书目: 教材:分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社 参考书目:1)Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970. 2)文志英,分形几何的数学基础,上海科技教育出版社,上海,2000. 3)周作领,瞿成勤,朱智伟,自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度(第二版),科学出版社,2010。 四)讲授大纲(中英文) 第一章数学基础 1)集合论基础 2)函数和极限 3)测度和质量分布 4)有关概率论的注记 第二章豪斯道夫测度和维数 1)豪斯道夫测度 2)豪斯道夫维数 3)豪斯道夫维数的计算――简单的例子 4)豪斯道夫维数的等价定义 5)维数的更精细定义 第三章维数的其它定义 1)计盒维数 2)计盒维数的性质与问题 3)修改的计盒维数 4)填充测度与维数 5)维数的一些其它定义 第四章计算维数的技巧 1)基本方法 2)有限测度子集 3)位势理论方法 4)傅立叶变换法 第五章分形的局部结构

分形几何学

2 分形几何学的基本概念 本章讨论分形几何学的一些基本内容,其中:第1节讨论自相似性与分形几何学的创立;第2节讨论分形几何学的数学量度,即三种不同的维数计算方法;第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学 无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来,欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题:即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线,而自然界的形体(如山脉、河流、云朵等)则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节(图版2-1图1),这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。

自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性,它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征,进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多;一朵白云在放大若干倍以后,也可以代表它所处的云团的形象;而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后,竟与放大前的形状惊人地相似(图版2-1图2)。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状,但在自相似性这一规律被发现后,它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然,欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了,为此,我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。

1977年,曼德布罗特(Benoit Mandelbrot)出版了《自然的分形几何学》(The Fractal Geometry of Nature)一书,自此分形几何学得以建立,并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体:它们能够在不断的放大过程中,不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节(图2-1图3)。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状,它们的维数不是简单的1、2或3,而是处于它们之间或之外的分数。 科赫曲线(Koch Curve)是分形几何学基本形体中的一个典型实例,它是由这样一种规律逐次形成的:用一根线段做为操作对象,对其三等分,把中间一段向侧面旋转60度,并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体,这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线;分别对它的每一条线段重复上述的操作,将形成第二代科赫曲线;再对其每一条线段进行上述操作,可得第三代,等等;如此迭代下去(图版2-1图4)。显然,对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递,使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话,那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算:分形几何学的数学量度 既然分形几何学是一种严格的数学,那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述,分形几何形体的维数不是整数而是分数,它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。 分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的,也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述,分形几何形体的本质属性是自相似性,而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间(不论是对自然形体的不同程度的放大,还是对人工形体迭代操作所得到的不同代)得以体现的。因而,分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大,就表明它在空间的扩张趋势越强,形状本身的变化可能性也越丰富。

分形几何与斐波那契数列的对比

摘 要 分形是美籍法国应用数学家蒙德布罗特所提出的,它和英文中的 fracture(断裂)和fraction (分数)有一定联系,体现出蒙德布罗特创立这 个新的几何思想。分形几何作为一门新兴的交义学科,正在被越来越多的人 所认识和学习。据美国科学家情报所调查,八十年代,全世界有1257种重要 学术刊物所发表的论文中,有37.5%与分形有关。美国著名的物理学家Wheeler 说:“可以相信,明天谁不熟悉分形,谁就不能被认为是科学上的文化人”】16【。 传统的欧式几何主要研究对象是规则图形和光滑曲线,对自然景物的描述却 显得无能为力。而分形几何的创立,就是用来描述那些欧式几何无法描述的 几何现象和事物的,被誉为“大自然本身的几何学”,使自然景物的描绘得以 实现,这也是分形几何得到高度重视的原因之一。 斐波那契数列产生于一个关于兔子繁殖后代的问题:某人有一对兔子饲 养在围墙中,如果它们每个月生一对兔子,且新生的兔子在第二个月后也是 每个月生一对兔子,问一年后围墙中共有多少对兔子?斐波那契数列从问世 到现在,不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。如今,斐波那契数 列渗透到了数学的各个分支中。同时,在自然界和现实生活中斐波那契数列 也得到了广泛的应用。如一些花草长出的枝条会出现斐波那契数列现象,大 多数植物的花的花瓣数都恰是斐波那契数列等等。 斐波那契数列又被称为是黄金分割数列,而黄金分割本身就是一种分形 的例子。二者都可以解决一些传统数学所不能解决的问题,所不同的是分形 几何是通过几何的角度来解决问题,而斐波那契数列则是通过代数的角度来 解决实际问题。 作为一门新兴的对现实生活有重要影响的两个定义,研究两者的对比关 系,探讨如何更好地运用这两个定义来解决现实中的一些实际问题,具有重要 意义。 关键字:斐波那契数列;分形几何;应用;对比 ABSTRACT Fractal is first put forward by French-American applied mathematician Mandelbrot. It relates to the words “fracture” and “fraction”, reflecting Mandelbrot’s opinion on creating the new definition. As a rising interdiscipline subject, Fractal is being understood and learned by more and more people. According to the survey of

分形几何与分形艺术

分形几何与分形艺术 Revised as of 23 November 2020

分形几何与分形艺术 作者: 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界,例如,喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等,都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体,而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎,与欧几里得几何图形相比,拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈,在形状上没什么大的区别,大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系;我们再拿来一片树叶,仔细观察一下叶脉,它们也具备这种性质;动物也不例外,一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息;还有高山的表面,您无论怎样放大其局部,它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质,分形几何是真正描述大自然的几何学。 "分形"一词译于英文Fractal,系分形几何的创始人曼德尔布罗特()于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成,词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合,他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构(见图1)。Mandelbrot 集合图形的边界处,具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话,您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域,它的结构就在变化,展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线",无论您怎样放大它的局部,它总是曲折而不光滑,即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说,Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。

土孔隙的分形几何研究_王清

土孔隙的分形几何研究* A Study on fractal of porosity in the soils 王 清 王剑平 (长春科技大学环境与建设工程学院,长春,130026) (南京水利科学研究院土工所,南京,210024) 中图法分类号 P 642.1 文献标识码 A 文章编号 1000-4548(2000)04-0496-03作者简介 王 清,女,1959年生,教授,从事红土、黄土及软土等土体的工程地质及岩土工程研究工作。 1 前 言 土中孔隙是土的重要性质之一[1],无论土体变形、土坡稳定性,还是地基承载力等都将直接或间接由土 的孔隙来表示。由于土体的多相性和不均匀性等,使测定各级孔隙及划分各级孔隙的研究极其复杂 [2] ,为 了更有效地研究土孔隙特征,本文采用了压汞测试法进行孔隙测定,并应用非线性理论之一———分形几何 的观点来完成资料处理 。 图1 黄土和黄土状土的孔隙分布特征图Fig .1 Pore size distribution of loess and loessial soil 2 试验方法 压汞试验是将已制好的土样通过不同压力将水银压入土体孔隙中,根据不同压力及所对应的进汞量(以汞饱和度计)绘制关系曲线(图1),了解不同孔隙大小(喉道半径)以及所占总孔隙体积的比例关系(表1)。 根据压汞曲线的特点,总结前人的研究经验[2~5], 按照在一定范围内的孔隙具有相似的特性,通常将孔隙划分为大孔隙(d >4μm )、中孔隙(0.4μm

中学数学中的分形几何.

中学数学中的分形几何 广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣(542502) 桂林市第十八中学数学组蒋雪祥(541004) 内容提要:本文论述了规则图形的容量维,对容量维的计算作了说明,同时还对4个较为著名的与中学有关的,或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。 关键字:容量维 Sierpinski三角毯 Koch曲线 Koch岛 Sierpinski-Menger海绵 1973年,曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎等意义,分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。数千年来,几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。分形几何对我们大多数人来说是陌生的,因为它看起来离我们太远。其实分形就在我们身边,在近年的竞赛与高考中,分形的影子已经出现。中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同,可以说是羊头狗肉之分吧。笔者试对此进行一点探讨,以抛砖引玉尔。 一、规则图形的容量维 为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构,曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早(1975年)引进了分形(既其维数是非整数的对象)的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说,维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道:点是零维,线是一维,平面是二维,而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维,用字母"d"表示。维数也可以这样来考虑:比如,取一线段,将该线段的长度乘2,就得到另一个线段,长度为n=2个原线段长度。

分形几何与分形艺术

我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界,例如,喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等,都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体,而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎,与欧几里得几何图形相比,拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何?通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢?例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈,在形状上没什么大的区别,大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系;我们再拿来一片树叶,仔细观察一下叶脉,它们也具备这种性质;动物也不例外,一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息;还有高山的表面,您无论怎样放大其局部,它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质,分形几何是真正描述大自然的几何学。 "分形"一词译于英文Fractal,系分形几何的创始人曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成,词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合,他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构(见图1)。Mandelbrot集合图形的边界处,具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话,您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域,它的结构就

第6讲分形几何学

实用标准文案 第6讲分形几何学 主要内容: 一、概述 二、分维的测定方法(重点内容) 三、分维应用实例(重点内容) 四、问题讨论 一、概述 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)1975年首先提出的,被誉为大自然的几何学,它是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态,并非是一种严格的数学分形,而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分,在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来,对分形几何的研究发展很快,在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念 (1)整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念,是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目,是表示几何体形状与分布特征的重要参数。 在拓朴学和欧几里得几何学中,维数只能是整数。如直线是一维的,平面是二维的,普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标,就可用三个实数(x,y,Z)代表空间的一点:n维空间的一点一般可用n个实数(x1,x2,…,xn)来表示。在相对论中,所讨论的时空是四维空间,时空的点,可用坐标(x,y,z,t)来表示,其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。 然而,欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B.B.Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说:“山峰并不是圆锥形,海岸线不是圆弧形,闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象,法国数学家Benoit B.Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。 例如,英国海岸线的维数D为1.25,宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明,凡是可用分

分形几何的高层建筑设计研究

分形几何的高层建筑设计研究 分形几何的含义及性质 分形的含义是一个零散的或者粗糙的几何图形,能够将其分为多个不同部分,并且每一个部分都是整体进行缩小之后的样子,就是有着自相似的性质。分形由曼德布罗特创造,其来源自拉丁文,有着零散以及破碎的含义。从数学的方面讲,分形的产生是依靠一个不断更新的方程公式,就是依靠递归出现的一种反馈体系。分形几何具有一些比较明显的特征,首先,其具有任意的小的比例,结构比较精细。其次,其是整体与局部都不是规则图形,不能够使用以往的几何话语进行描述。还有一般有近似的或者是自相似的结构形式。并且分形的维数一般超过它拓扑的维数,在大多数的情况下,能够使用简单的方法进行有效定义,能够由迭代生成。 2高层建筑设计中蕴含的分形思维 2.1建筑空间的自相似性 高层建筑的空间通常有着分形的特征,或者是能够通过外在的自然形态来表现出分形的思维,或者更多的能够通过对于自相似性进行使用来表现。在高层建筑设计中,不论是平面的设计还是立体的设计,都含有一定的自相似性思想。进行平面设计的时候,因为高层建筑自身的特殊性,时常会体现自相似的情况,进行立体设计的时候,自相似性的思维变得更为普遍,会发现有许多相同的划分手法使用在不同的尺度层级的自相似性中。这类型自相似构成规律对高层建筑的结构造型的变化以及内在的规律和谐统一起到了很大的作用。

2.2连续的尺度层级 在高层建筑中,尺度层级具有十分重要的地位。结构较为复杂的高层建筑,是使用了不同的尺度层次进行整体结构的组成。具有变化性、设计感的高层建筑,伴随观察距离的变化,会存在下一个层级的细部构造。因此,进行高层建筑设计的时候,其体验感受能够有效引导空间组织设计,在设计的过程中,设计人员需要更加注意高层建筑实际的细节表达,通过创作,把有趣的细部表达出来。 2.3注重对于人性的关注 在高层建筑中,整体感和细节部分的设计常常会被人们记住,因此,具有吸引力的高层建筑,通常有着巧妙的细节设计以及显著的整体感。建筑的整体设计和人的骨骼脉络一样,细节就与肌肤血肉一样,细节能够展现气质和个性,在现代,有时太过注重抽象以及简单,大大降低了对于细节以及尺度层级的表现,使人们不能够产生舒适的感觉。但是基于分形几何,给实现建筑细部带来了可能。在分形的理论下,从高层建筑结构设计到建筑细部的构件设计,都体现了独特的尺度层级以及精细结构,形成具有特色的高层建筑的形式,使得建筑不管是整体还是细节,都有着精致的美感。 2.4注重和环境维度的契合 环境是人们进行生产生活不可或缺的条件。好的环境能够构建一个比较舒适并且愉快的氛围,使人们的生活得到放松,而坏的环境则会使人们感到紧张,不利于身心发展。使用高层建筑构建的人工环境,不断成为现今人们进行生产生活不可或缺的物质基础。因为高层建筑自身的体积

分形几何无处不在

分形几何无处不在 【摘要】本文详细阐述了“什么是分形几何”的问题。并举海岸线、地表、河流、人脑表面、植物、星球分布、收入分布、股票价格的变动分布等例说明大自然中分形无处不在。介绍了分形的非均匀性、自相似性、重尺度性三个性质,最后总结出分形具有良好的发展潜质。 【关键词】分形几何;比较;定义;自然;性质 一、什么是分形几何 曼德勃罗曾经为分形下过两个定义: (1)满足下式条件: ()dim() 的集合A,称为分形集。其中,() Dim A为集合A Dim A A 的Hausdoff维数(或分维数),dim()A为其拓扑维数。一般说来,() Dim A不是整数,而是分数。 (2)部分与整体以某种形式相似的形,称为分形。 然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上,对于什么是分形,到目前为止还不能给出一个确切的定义,正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样,人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (i)分形集都具有任意小尺度下的比例细节,或者说它具有精细的结构。 (ii)分形集不能用传统的几何语言来描述,它既不是满足某些条件的点的轨迹,也不是某些简单方程的解集。 (iii)分形集具有某种自相似形式,可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (iv)一般,分形集的“分形维数”,严格大于它相应的拓扑维数。 (v)在大多数令人感兴趣的情形下,分形集由非常简单的方法定义,可能以变换的迭代产生。 二、分形几何的性质 分形几何形态有哪些性质呢?概括说来,通常有3个特性:1.非均匀性;2.自相似性;3.重尺度性。问题的关键是它改变了人们对物体的测度观。过去人们习惯于用欧氏测度研究图形,它研究的图形是能用圆规和规尺画的简单图形,这样的图形是光滑的牛顿以后,微积分学和几何学的结构,人们可以描述复杂的形状,但这些形状的重要特征是具有特征长度.是平滑的,可微分的。分形几何研究的是更为复杂的圆形,它没有特征长度,不平滑,不可微分。

基于分形几何的高层建筑设计研究

基于分形几何的高层建筑设计研究 分形几何是在重复的自我相似内,对于自然规律进行数学方面的研究。分形几何,其不仅仅在几何方面具有十分重要的作用,它也可以应用在高层建筑的设计方面。分形几何原理在一定程度上引导了高层建筑设计的方向,在高层建筑设计内属于不容忽视的一个部分,基于分形几何,对于高层建筑设计进行相关研究,有着十分重要的意义。 标签:分形几何;高层建筑;设计;分析 分形几何,其属于古典数学不断发展到现今出现的结果,属于一种更具有真实形态、并且能够反映出内在结构真实的一种几何学科。因为分形几何具有真实性,所以其在实际的建筑工程中得到了有效的应用。在现今的高层建筑设计中,对于分形几何原理以及方法的使用,变得越来越广泛。怎样有效的在高层建筑设计内呈现出分形几何的特点,具有十分重要的意义。 1 分形几何的含义及性质 分形的含义是一个零散的或者粗糙的几何图形,能够将其分为多个不同部分,并且每一个部分都是整体进行缩小之后的样子,就是有着自相似的性质。分形由曼德布罗特创造,其来源自拉丁文,有着零散以及破碎的含义。从数学的方面讲,分形的产生是依靠一个不断更新的方程公式,就是依靠递归出现的一种反馈体系。 分形几何具有一些比较明显的特征,首先,其具有任意的小的比例,结构比较精细。其次,其是整体与局部都不是规则图形,不能够使用以往的几何话语进行描述。还有一般有近似的或者是自相似的结构形式。并且分形的维数一般超过它拓扑的维数,在大多数的情况下,能够使用简单的方法进行有效定义,能够由迭代生成。 2 高层建筑设计中蕴含的分形思维 2.1 建筑空间的自相似性 高层建筑的空间通常有着分形的特征,或者是能够通过外在的自然形态来表现出分形的思维,或者更多的能够通过对于自相似性进行使用来表现。在高层建筑设计中,不论是平面的设计还是立体的设计,都含有一定的自相似性思想。进行平面设计的时候,因为高层建筑自身的特殊性,时常会体现自相似的情况,进行立体设计的时候,自相似性的思维变得更为普遍,会发现有许多相同的划分手法使用在不同的尺度层级的自相似性中。这类型自相似构成规律对高层建筑的结构造型的变化以及内在的规律和谐统一起到了很大的作用。 2.2 连续的尺度层级

论分形几何学在首饰设计中的应用

论分形几何学在首饰设计中的应用 论分形几何学在首饰设计中的应用作者:来源:浏览次数:5909标签:分形设计饰设 随着人们生活水平的提高和消费观念的改变,珠宝首饰在人们心目中的地位越来越高。传统的首饰是由设计人员先在头脑中构思,再通过图纸和计算机表现出来。设计者往往在阅读大量资料的基础上,对传统的图形进行修改和变换,设计思路受到较大的限制,越来越难以满足人们求新、求美、求异的要求。 针对目前首饰设计领域的“瓶颈”,亟待在艺术构思、图案设计、制作工艺等方面进行创新。如果将分形图形与首饰设计结合起来,把抽象的分形理论应用到实际的首饰设计中去,可以给首饰设计人员提供新的创作灵感。 1 分形几何学理论及应用 分形几何学简称分形,分形一词由法国数学家B. B. Mandelbrot在1967年的“英国的海岸线有多长———统计自相似性与分数维数”论文中首次提出。作为分形,其最显著的特征就是自相似性,即在分形上任选一个局部,无论是将其放大或缩小,其形态、复杂程度、不规则性等均不会发生变化,所得到的图形仍显示原图的特征。这种自相似性可以是近似的,也可以是统计意义的。 分形大致可分为两类:一类是几何分形,它不断地重复同一种图案;另一类是随机分形,它抽象地描述了大自然的许多不规则形态。应用分形理论既可以产生由直线、圆、多边形等构成的较为规则的图形,体现出传统美学中的平衡与对称,还可以产生奇妙的非线性图形,超越标准的新的表现形式。分形图案作为技术与美学的结合,对首饰设计具有特别重要的意义,把它引入首饰设计领域,将挑战传统的设计理念,使设计者的思路和视野得到更广泛的拓展。作为研究和处理不规则图形的强有力工具, 目前分形几何学已在物理学、化学、地质学、生物学、材料学等领域取得了较大的进展。近年来,随着对准晶体物质的深入研究,分形理论在微观领域的应用也逐渐引起了人们的重视。分形理论在计算机仿真、艺术设计、室内装饰等领域也逐渐显示出其极高的应用价值,特别是分形几何学在服装设计领域取得了突破性进展,为分形理论在首饰设计领域的应用奠定了基石。 2 在首饰设计中的应用 首饰设计一般分为手绘和电脑设计,前者主要是用手工绘制的方法将设计思想在图纸上表现出来,后者则是借助计算机辅助设计软件得以实现。无论采用哪种方式,设计者在整个设计过程中都必须遵循对比与调和或者对立与统一的原则,因为首饰设计作为一种艺术创作,它不单是造型元素的简单叠加,更多的是通过对不同材质与色彩的有机组合,营造整体的和谐与统一,从而真正体现首饰的艺术价值。 2.1 作为构成元素参与首饰设计 传统首饰设计的构成元素主要是欧氏几何中描述的具有整数维数的规则图形,设计出的首饰往往比较单一、朴素。而分形作为大自然的几何抽象,能给设计者提供一种新的设计思路。把分形中自相似性的某一重复单元作为一种新的构成要素参与首饰设计。当经过与传统几何要素相同的拉伸、旋转、变形后,新的首饰将呈现出一个更加复杂、精美的分形式造型,从而实现首饰设计的创造性和新颖性。和传统的首饰设计相比,分形首饰的特点[5 ] 在于: (1) 和谐性分形表现最多的是形状的重复,应用到首饰设计中就是造型元素的重复。这就打破了完全对称产生的呆板,给人和谐统一的视觉感。当然,仅仅借助单一结构不能达到对比的效果,

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