求极限的方法

求极限的方法

摘要 极限是数学分析中研究函数微积分理论和应用最基本和最重要的基本工具，它从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势，然而求解极限的方法主要有单调有界定理，两边夹法则，洛必达法则，泰勒公式，施笃兹定理，定积分求极限，含参量正常积分连续性求极限，同时还有极限的四则运算法则，两个重要极限，无穷小量的等价替换等方法渗透.

关键词 极限 单调有界定理 两边夹法则 洛必达法则 施笃兹定理

The Methods of Solving Limit

Abstract Limit is one of the most important and basic tools for studying the function calculus theory and application in the mathematical analysis. It describes the change trend of variables quantitatively when the variables in the endless change progress. However, the main methods for solving limit includes Monotone defined management, the law of clipping both sides, L'Hospital rule, Taylor formula, Stolz theory, the limit of definite integral, the limit of continuous normal integral with parameter, also with the method penetration, such as four algorithms of limit, two important limits, equivalent substitution of infinitesimals . Key words Limit Monotone defined management The law of clipping both sides L'Hospital rule Stolz theory

引言 数学分析就是以极限概念为基础，极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.经历几个世纪的数学发展，求极限的方法有了系统的总结，对微积分的理论和应用提供了一条基本线索.

1 利用单调有界定理求极限[1]

单调递增（或递减）有上界（或下界）的数列必有极限. 例1 设()

()1110 1n n n

c +x x c x =

c >c+x +<≤，，求极限lim n n x →∞. 解 由条件知10x c <≤，若设0k x c <≤，则有

1(1)(1)(1)()

0k k k k c x c c c c c c c x c c c c x c x c c c c

++--+<=

=-≤-==++++.

由数学归纳法知 0n x c <≤，n N +∈，

2

1(1)0n n

n n n n n

c x c x x x x c x c x ++--=-=>++，

由于数列{}n x 单调递增且有上界，故由单调有界定理知数列{}n x 存在极限， 记lim n n x →∞

=A ，两边同时取n →∞极限，有

(1)

,c A A A c A c c A

+=

?==-+(舍去)， 故 lim n n x →∞

=

c .

注意 ⑴证明数列单调性；⑵证明数列有界性；⑶设lim n n x →∞

=A ，解关于A 的方程. 单调有界定理的单调性不必是严格的递增或递减，常用的单调性判断方法：作差、作商、求导，有界性一般使用数学归纳法和不等式来推导.此法解决了递推数列求极限的问题，同时此法还可以解决一般数列求极限的问题，例如：数列11

2n

n k x n k

==-∑

. 2 利用两边夹法则求极限[2]

如果数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：⑴()1,2,

n n n a b c n ≤≤=；

⑵lim lim n n n n a c A →∞

→∞

==，

则有 lim n n b A →∞

=.

例2 求极限22

232323212lim 12n n n n n n →∞??

++

+ ?+++??

. 错解Ⅰ 放缩不当222

223

23232

3232

11212n n n n n n n n n n n n ??<+++<+++++， 左端=23

21lim 0n n n n →∞?=+，右端=2

32

lim 1n n n n n →∞?=+， 因为左端≠右端，所以不能用两边夹法则.

错解Ⅱ 当n 无限增大时，项数也会无限增加，虽然每一项极限都为0，但是不能直接应用极限四则运算法则（适用于有限项的运算），否则会错误的求得极限的值为0.

分析 数列通项的特点：n 个项的分子恰好是顺序的自然数的平方，因而分子易求

和，据此特点，考虑原式放大时，把每个分母改为最小的分母321n +；考虑原式缩小时，把每个分母改为最大分母32n n +，不会出现放缩失当.

解 注意到当n >1时有

()()()22

2222

323232323232312112121211161n n n n n n n n n n n n n +++++<+++=+++++++， ()()()

22

22223232

3232323232121121212

6n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++>+++=+++++++， 又因为 ()()()

31211

lim

361n n n n n →∞

++=+，()()()321211lim 3

6n n n n n n →∞++=+， 所以由两边夹法则可得， 22

232323212lim 12n n n n n n →∞??++

+ ?+++??=3

1

. 注意 此法则在条件⑴改为从某一项起关系式n n n a b c ≤≤时仍然成立.

求数列{}n b 极限时，要适当放大或者缩小{}n b ,一般采用“缩小分母，放大分子”的原则建立不等式.若放大与缩小所得极限量的极限值不相等，但二者只相差一个任意小量，则两边夹法则仍然有效.

例3 设()0f x >且在区间[]01，上连续，证明11lim max ()n

n

n n i i f f x n n

→∞

=????= ? ?????∑. 证明 记01

max ()x M f x ≤≤=，则11n

n

n n i i x f M n n =?

???=≤ ?

????

?

∑.(1) 剩下问题是将n x 缩小，使缩小所得到的量以M 为极限，或者虽然不等于M ，但是只跟M 相差一个任意小量.因()f x 连续，据闭区间连续函数性质知，

[]001x ?∈，，使得0()f x M =，于是0ε?>，0δ?>，当0x x δ-<，[]01x ∈，时有

()M f x M εε-<<+，

当n 充分大时有

1n δ< (即分点i

n

的间距δ<)，0i ?，使得 00i x n δ-<，0i f M n ε??

>- ???

.

故 0111

1()n

n n

n n n n i i i x f f M n n n n

n ε=???

?????=≥>- ? ? ?

??????

???∑.(2)

综上(1)、(2)知，有1

()n n M x M n

ε-≤≤.

左端1

lim()n n M M n

εε→∞=-=-，右端lim n M M →∞==， 由ε任意性知， lim n n x M →∞

=.

3 利用洛必达法则求极限

洛必达法则是以导数为工具来解决不定式极限的常用方法.

3.1 0

型不定式极限[3]

若函数f 和g 满足：⑴0

lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；

⑵在点0x 的某空心邻域0()U x 内两者都可导，且()0g x '≠；

⑶0()

lim

()()

x x f x A A g x →'=±∞∞'可为实数，也可为或， 则 0

0()()

lim

lim ()()

x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例4 求24

sec 2tan lim 1cos 4x x x

x π→

-+. 解 2224

4

4

sec 2tan tan 2tan 12(tan 1)sec lim lim lim 1cos 41cos 44sin 4x x x x x x x x x

x x x πππ→→→

--+-==++- ()

()4

4

2

4

4

20sec 2sec tan (tan 1)

1lim lim 8cos 4812x x x x x x x ππ→→

++-===--?-. 3.2

∞

∞

型不定式极限[4] 若函数f 和g 满足：⑴0

lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→==∞；

⑵在点0x 的某空心邻域0()U x +内两者都可导，且()0g x '≠；

⑶0

()

lim ()()

x x f x A A g x +

→'=±∞∞'可为实数，也可为或， 则 0

()()

lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x +

+→→'=='. 例5 求()22

2

20

lim

x

t x

x t e dt e dt

→∞

??

.

解

()

2

2

2

020

lim x

t x

x t e dt

e dt

→∞

?

?

()2

2

2

22lim

x

x

t x

x e e dt

e →∞

=?

()2

2

2

lim x

t x

x e dt

e →∞

=?

2

2

2lim 2x x

x e

xe →∞

=1

lim

0x x

→∞==. 3.3 其他类型不定式极限[5]

例6 求lim tan 41x x x arc x π

→∞??- ?+??

. 解 原极限是0?∞型不定式极限.

tan

41lim tan lim 1

4

1x x x arc x x x arc x x

π

π

→∞→∞-??+-= ?+??01

tan

141lim ()t arc t t t x

π→-+==令

201

1lim 1111t t t →'-??=? ?+?

???+ ?+??

1

2=. 注意 ⑴应用洛必达法则求函数的极限，一定要注意法则的条件，缺一不可.对于∞

∞

型，只需要检验分母是否趋向无穷大，至于分子是否趋向无穷大无关紧要.

⑵只有00型和∞

∞

型不定式极限才能直接应用洛必达法则，洛必达法则可以连

续使用，但是每一步都要验证定理的条件.

⑶对于0?∞，∞-∞，1∞，0∞，00型不定式极限，要通过适当的变形转化为00

型或

∞

∞

型不定式极限后才能应用洛必达法则求解. ⑷洛必达法则是求不定式极限的一种有效的方法，但不是万能的方法，对某

些00型或∞

∞

型不定式极限，虽然满足条件，但采用洛必达法则求解时不一定能求出极限，这是因为洛必达法则是充分不必要条件.例如：sin lim

1cos x x x

x x

→±∞+=+.此时洛必达法则失效，

应采用其他方法.

4 利用泰勒公式求极限[5]

当一个不定式涉及的函数比较复杂或类别较多时，用洛必达法则会非常困难，求导过程越来越繁琐，既费时又费力，且易出差错，而Taylor 展开式（带佩亚诺余项的Maclaurin 公式）就起到很好的作用.因为Taylor 展开式可以将形形色色不同种类的函数化归到多项式这个统一的大舞台上，从而简化运算.

常用展式：⑴1x

e x =++()2

2!

!

n

n x x x n ο+++，x R ∈. ⑵()()35

21

1

2sin (1)

3!5!21!

n n n x x x x x x n ο--=-++

+-+-，x R ∈.

⑶()()24

221cos 1(1)2!4!

2!

n

n

n x x x x x n ο+=-++

+-+，x R ∈.

⑷ ()()2

1

ln 1(1)

2

n

n n x x x x x n ο-+=-+

+-+，1x >-. ⑸()

()

()()2111(1)12!

!

n n

n x x x x x n αααααααο

---++=+++

+

+，1x >-.

⑹

()21

11n n x x x x x

ο=+++++-，1x <.

例7 求极限21

4

21lim cos n n n e n -→∞

??- ? ??

?

. 解 因为 2441111cos

1224n n n n ο??=-++ ???

， 2

1

2244111128n e n n n ο-??=-

++ ???

. 所以

21

4

422442*********cos 1122428n n e n n n n n n n n οο-??????????-=-++--++ ??? ? ? ? ???????????

()()11

11212

n ο=-

+→-→∞. 注意 一般泰勒展开式在四项之内，展开项过多不易采用此法.

5 利用施笃兹定理求极限（∞

∞型）[6]

设有数列{}n a ，{}n b ，其中{}n b 严格递增，且lim n n b →∞

=+∞，又11lim

n n

n n n

a a A

b b +→∞+-=-(有限

常数或±∞)，则lim

n

n n

a A

b →∞=. 例8 求极限()112lim 0p p p

p n n p n

+→∞+++>. 解 取n a =12p p p n +++，1p n b n +=，

则 1(1)p n n a a n +-=+，()()11111

(1)1112

p p p p n n b b n n p n p p n ++-+-=+-=++

+++，

因为 ()()111(1)lim

lim 1111

2

p

n n n n p p n n a a n b b p n p p n +→∞→∞-+-+=-++++

+

111lim

1

11

(1)(1)2p

n p

n p p p p n

n →∞??+ ???==

+++++

+

. 所以 1121

l i m 1

p p p p n n n p +→∞+++=

+. 注意 此法则只要求分母{}n b 严格递增且趋于无穷大，至于分子{}n a 是否趋于无穷大无关紧要.必要时，Stolz 定理可以重复使用.

6 利用定积分求极限[7]

利用定积分求极限就是将离散的有限和问题转化成连续的定积分问题. 例9 求3

1lim

(1221)n n n n

→∞

-+-+++.

解 3

1lim

(1221)n n n n

→∞

-+-+++

112

1lim 1111n n n n n n n n →∞??-=-+-++-+- ? ??

?

11lim 1n n k k

n n →∞==?-∑101xdx =-?23=.

7 利用含参量正常积分连续性求极限[8]

设函数(,)f x y 在区域[][],,D a b c d =?上连续，则含参量x 的正常积分

()(,)d

c

I x f x y d y =?

在[],a b 上连续.

例10 求1

1lim

11n

n dx x n →+∞??

++ ???

?

.

解 设11(,)1(1)

y

f x y xy =++，易验证(,)f x y 在[][]0,10,1?上连续.

所以由连续性定理知，

1

10

01lim 1(1)

y y

dx xy +

→++?

1

100

1lim 1(1)

y y

dx xy +

→=++?1

01

1x dx e =+?10()2ln (1)1x x x d e e dx e e e ==++?. 令1

y n

=，则 101lim 11n n dx x n →+∞??

++ ???

?=1

1

1

lim 1(1)y y

dx xy +→++?

2ln 1

e

e =+. 例11 求122

0lim 1dx

x α

α

αα+→++?

.

解 因为α，1α+，221x α++皆连续，

故 122()1dx

F x α

ααα+=++?

也在α-∞<<+∞上连续.

所以 1220lim 1dx x αααα+→++?0lim ()(0)4

F F απ

α→===.

注意 参量x 的取值范围可以是开区间，闭区间，半开半闭区间，有穷或无穷区间，也可以是一个点集.

利用上述七种方法求极限的时候要注意各种方法成立的条件，单调有界定理的使用应该先验证数列的单调性和有界性；两边夹法则的使用要注意放缩是否得当；洛必达法则的连续使用，每次使用前要先验证是否符合定理条件；Taylor 展式的应用是对较复杂的函数；Stolz 定理的使用要注意条件中的数列{}n b 是严格递增，数列{}n a 无要求；利用定积分求极限可以把离散的问题连续化处理；含参量正常积分连续性是借助定义在矩形区域上的连续函数的极限运算和积分运算的顺序的可交换性简化计算；在上述方法求解过程中还可以穿插极限的四则运算法则，两个重要极限，无穷小量的等价替换等方法，使运算步骤更为简便.对于四则运算法则使用仅限于所求极限的因式只有有限项，这是

因为在有限量之间的关系在无限量上不再保持；对于无穷小量的等价替换使用时要注意强调限制对分子分母只是“乘积因式”的等价代换，而非乘积因式不成立.

参考文献

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[6]裘兆泰，王承国，章仰文.数学分析学习指导[M].北京：科学出版社，2004

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[8]华中师范大学数学系.数学分析（下册)[M].武汉：华中师范大学出版社，2001.2

致谢

在大学四年的专业课学习中，极限一直是一个贯通整个数学分析体系的基本线索，是研究微积分的基本工具，选此课题得到老师的大力指导和修阅，感谢老师兢兢业业的批改，让我在毕业之际顺利完成论文.

感谢在论文完成过程中帮助过我的老师和同学,以及在论文中被我引用和参考的论著的作者.感谢诸位老师四年对我的栽培，让我形成严谨的逻辑思维，积极活跃的发散思维，让我的学习生活过的很充实.