概率论与数理统计第四章测试题

第4章 随机变量的数字特征

一、选择题

1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44

2．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ）

(A) X 与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X 和Y 相互独立，且()()22

1122,,,X

N Y N μσμσ，

则2Z X Y =+（ ） (A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()

22

1212,N μμσσ++

(C) ()

2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--

4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为

(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2

(C) E(X 2)= E(Y 2)

(D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)2

5．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学 期望()E Z =（ ） (A)

(B) 0 (C) (D) 6．设X 、Y 是相互独立且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则()min ,E X Y =????（ ）

(A)

2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4

θ

7．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （ ）

(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 8．若离散型随机变量X 的分布列为(){

}()112

1,2,

2n

n

n

P X n =-?==，

则()E X =（ ） (A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在

9．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于

（A ）－1 （B ）0 （C ）2

1 （D ）1

10．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2

σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y （A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关

11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=μ，则对于任意常数C ，必有 。 （A ）E(X-C)2

=E(X 2

)-C 2

（B ）E(X-C)2

=E(X-μ)2

（C ）E(X-C)2

< E(X-μ)2

（D ）E(X-C)2

≥ E(X-μ)2

12．设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=

3

1

, 则P(1

1 （C ）31 （D ）21

二、填空题

1．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则

()2E X =

2．设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当p = 时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为

3．设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量10

0010X Y X X >??

= =??-

，则Y 的方差

DY=

4．()4D X =，()9D Y =，0.5XY ρ=，则()D X Y -= ，()D X Y += 5．设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布，且已知()()121E X X --=????，则

λ=

6．设(X,Y)的概率分布为：

则),cov(2

2

Y X ＝ 。 7．已知)3,2,1(,)(==

=k k

a

k X P , 则E(X)= 。

8．X~N （μ ，σ2），Y~N （μ，σ2），X 与Y 相互独立, 则Cov(X+Y , X-Y) =________。 9．随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2), 令X=3X 1-X 2+2X 3 ,则 E(X)=___________，D(X)＝ 。

10．设ρXY =0.9，Z=X-0.4，则Y 与Z 的相关系数为 。 11．设随机变量X ij 独立同分布，EX ij =2，则行列式

nn

n n n

n

X X X X X X X X X Y

21

22221

11211

=

的数学期望EY= 。 三、简答题

1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X 为同种遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望。

2．已知随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 分别服从正态分布2

(1,3)N 与

2(0,4)N ，它们的相关系数12XY ρ=-，令32

X Y

Z =+，⑴求Z 的数学期望EZ 与方差DZ

(2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ。

3．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求

（1）乙箱中次品数X 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

4．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间Y 的数学期望。

5．一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对某种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了供货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。

6．两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度f(t)、数学期望和方差。

7．某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0

8．设随机变量X 的概率密度为??

???≤≤=,

,0;0,2cos 21)(他其πx x x f 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于

3

π的次数，求2Y

的数学期望。 9．设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。

10．假设二维随机变量(X, Y)在矩形G={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1}上服从均匀分布。记

??

?>≤=,,1;,0Y X Y X U ???>≤=,

2,

1;2,0Y X Y X V 。

（1）求(U, V)的概率分布；（2）求U 和V 的相关系数r 。 11.假设随机变量U 在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量

??

?-≤-->=1,1;1,1U U X ???≤->=,

1,1;

1,1U U Y

试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D(X+Y)。 12．设A ，B 是两个随机事件；随机变量

??

?-=,,1;,1不出现若出现若A A X ???-=,

,1;,

1不出现若出现若B B Y 试证明随机变量X 和Y 不相关的充要条件是A 与B 相互独立。

参 考 答 案