一元一次方程和一次方程组

一元一次方程与一次方程组

【知识梳理】

1.一元一次方程

（1）等式的基本性质：若a=b ，则a ±b=b ±c ；若a=b ，则ac=bc,)0(≠=c c

b c a 。 （2）一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数为1，且系数不为0的整式方程，标准形式为)0(0≠=+a b ax 。

最简方程b ax =的解：①当0≠a 时，有唯一解a

b x =

；②当0,0≠=b a 时，方程无解；③当0,0==b a 时，方程的解为全体实数（方程有无数个解）

。 （3）解一元一次方程的基本步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

（4）列方程解应用题的基本步骤：

①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；（⑤检验）；⑥写答案（答句）。

（5）一元一次方程应用题的基本类型及等量关系：

①行程问题：速度=路程/时间，相向相遇问题：乙甲距s s s +=；

同向追及问题：乙甲距s s s -=，水流问题：水静顺V V V +=， 水静逆V V V -=。

②工程问题：工程效率=工程总量/工作时间，合效率=各分效率之和。

③数字问题：n 位数21a a …+?+?=--22111010n n n a a a …n a 。 三个连续整数：1,,1+-x x x ；三个连续偶数（奇数）2,,2+-x x x 。

④利息问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数，利息税=利息×税率。

利润问题：毛利润=售价-进价，纯利润=售价-进价-其他费用，利润率=进价

利润。 ⑤浓度问题：溶质质量（体积）=溶质质量（体积）×浓度；

溶液质量（体积）=溶质质量（体积）+溶剂质量（体积）。

2.一次方程组

（1）直角坐标平面：坐标平面上的点与有序数对一一对应。

（2）二元一次方程：含有两个未知数且未知数最高次数1，系数不为0的整式方程。标准形式为)0,0(≠≠=+b a c by ax ，任何一个二元一次方程都有无数个解，所有解的全体叫它的解集，对应的图像为一条直线。

（3）二元一次方程组：含有两个未知数且未知数的最高次数为一次的方程组。

一般地在?

??=+=+f ey dx c by ax 中， ①若f

c e b

d a ==，方程组有无数个解； ②若

f c e b d a ≠=，方程组无解； ③若e

b d a ≠，方程组有唯一解。 （4）一次方程组的解法

①二元一次方程组：

?

??加减法代入法消元化为一元一次方程； 图像法：转化为求两直线的交点坐标；

②一元一次方程二元一次方程组三元一次方程组消元代入或加减消元??→

?????→?

【双基训炼】

一、填空题（时间：15分钟）

1.写出一个以2=x 为根的方程___________；

2.如果1=x 代入方程，得x a x 243-=+的解，那么=a ___________；

3.已知1=x 是关于x 的方程12-=+a x 的解，那么=a ___________；

4.方程025=+x 的解是_____________；

5.根据条件列出方程：x 的5倍加上3等于x 的7倍减去15。_____________________；

6.写出满足方程92=+y x 的一对整数值______________；

7.当=y ___________时，代数式3

18y +与4-y 的值互为相反数； 8.写出一个解为?

??==21y x 的二元一次方程组__________； 9.方程组???=+=-14

322n m n m 的解为____________；

10.已知方程?

?????===+=-1224y x by ax by ax 的解为，则b a 32-的值为______________； 11.对于方程x x 2524-=+的两边同时加_____________，得21=

x ； 12.若51=+x ，则=x ________________；

13.方程32=+y x 的非负整数解是_______________________________；

14.方程x x =-3

22的解是________________； 15.若代数式x 241+的值等于2

8x -的值，那么x 的值为______________； 16.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角度数是_______________；

17.一个长方形的长和宽之比是4 : 3，且它的周长为70cm ，则这个长方形的宽为______________；

18.给出下列程序 输入x k ? 且已知当输入x 的值为1时，输出值为2；输入x 的值为1-时，输出值为4-。现在输入了一个x 的值是2

1，输出的值为______________； 19. 已知2=+y x ，请设计一个二元一次方程_________________；

使这两个方程的公共解是?

??==____3y x ； 20.共有8个硬币，其中x 个5角，y 个1角，总价值是2.8元，则可列方程组是________________。

二、选择题（时间：5分钟）

21.若1)1(512=++-++c b z y x a 是三元一次方程，则满足的条件的是（ ）

A.c b a 、、是任意有理数

B.4,0,1-===c b a

C.4,0,1-≠≠≠c b a

D.4,0,1-==≠c b a

22.如果a -＜3，那么下列各式中成立的是（ ）

A.a ＞3

B.1--a ＞2

C.2+-a ＜5

D.a ＜3-

23.某商店上月的营业额是m 万元，本月比上月增长15%，那么本月的营业额是（ ）

A.15%万元

B.（1+15%）m 万元

C.15%（1+m ）万元

D.（1+15%）2 m 万元

24.下列方程中，二元一次方程是（ ）

A.1=xy

B.13-=x y

C.21=+y

x D.032=-+x x 25.已知??

?=-=12y x 是方程组???=+=+71ay bx by ax 的解，则))((b a b a -+的值为（ ） A.335- B.3

35 C.-16 D.16 26.某商品标价1200元，打八折售出后仍盈利100元，则该商品进价是（ ）

A.800元

B.860元

C.900元

D.960元

三、简答题（时间：20分钟）

27.解方程

4

5316-=x x ；

28.解方程组?????=-+=+11

)1(2231y x y x ；

29.如果关于y x 、的二元一次方程组??

?=-=+42by ax by ax 与???-=-=+354432y x y x 的解相同，求b a 、的值；

30.已知方程组??

?=-=+6

23623y x y x 的解满足方程024=++a y x ，求a 的值；

31.解关于x 的方程：

)(2b a a

b x b x a ≠+-=+；

32.某校学生外出郊游，如果每一辆车坐45人，那么还剩下20人没有座位；如果每一辆车坐55人，则还会有30个空位置，问共有几辆车？有多少学生？

四、解答题（时间：20分钟）

33. 夏季为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施，某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度，再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度，求只将温度调高1℃后两空调每天各节电多少度？

34. 小明在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包的单价之和为452元，且随身听的单价是书包的单价的4倍少8元。

（1）求小明看中的随身听和书包单价各是多少元？

（2）若超市A所有商品八折销售，超市B全场每满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），小明只带了400元钱，如果他只在一个超市购买这两样物品，你能说明他能在哪一家超市购买更省钱？若两家都可以选择，在哪一家超市购买更省钱？