向量的加减法运算

平面向量及其加减运算课后训练

数学《平面向量》复习卷 一、填空题 1、向量的两个要素是： 和 。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有 ； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于 。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是 形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是 。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为 。 二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B

空间向量加减法练习题

3.1.1空间向量加减法习题 一、选择题1．下列命题正确的有()(1)若|a|＝|b|，则a＝b； →→(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件； (3)若a＝b，b＝c，则a＝c； ，b|a|＝||??相等的充要条件是，b(4)向量a?；∥ba??(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；→→(6)AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D 重合．A．1个B．2个 个．4C．3个 D C答案[][解析](1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．→→AB＝DC正确．(2)∵→→→→∴|AB|＝|DC|且AB∥CD.又∵A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．→→反之，在?ABCD中，AB＝DC. ，a＝b(3)正确．∵∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c. (4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反． b./ |?a＝||||＝b?a|＝b|，a|＝ba(5)正确．→→→→→→同向．CD与AB，|CD|＝|AB|，CD＝AB.不正确(6) 故选C. 2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是() →→→→→→0CA＝AB＋BC＋BCA.AB＋＝AC B.→→→→→＝－BA D.ABC.AB－AC ＝CB ][答案B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0. →→→→3．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()→→→A.AB＝BC＋CD →→→→B.AB－DC＋BC＝AD→→→→C.AD＝AB ＋BC＋DC →→→D.BC＝BD－DC B答案][[解析]根据向量加减法运算可得B正确． →→4．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′相等的向量(不含AA ′)的个数是() A．1个B．2个 4个D．．C3个 答案[]C[解析]利用向量相等的定义求解． 5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的()A．充分不必要条件 ．必要不充分条件B C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B [解析]两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B. →→6．在平行六面体ABCD－ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB＝a，AD＝b，11111111→→AA＝c，则下列向量中与B )(相等的向量是M11． 11A．－a＋b＋c2211 cb＋B.a＋2211C.a－b＋c 2211D．－a－b＋c22[答案]A →→→[解析]B M＝BB＋BM11 1→→＝AA＋BD 121→→→＝AA＋(BA＋BC )11111211＝－a ＋b＋c.∴应选A.227．在正方体ABCD－ABCD中，下列各式中1111→→→CC)＋(1)(AB＋BC1→→→(2)(AA＋AD) ＋DC11111→→→(3)(AB＋BB)＋BC 111→→→(4)(AA＋A B)＋BC.11111→运算的结果为向量AC 的共有 ()1A．1个B．2个 个4个D．．C3 D答案[] 8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为

3.1空间向量及其运算第1课时完美版

§3.1.1空间向量及加减其运算 【学情分析】： 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】： （1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法 （2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。 【教学重点】： 空间向量的概念和加减运算 【教学难点】： 空间向量的应用

四．练习巩 固 1．课本P86练习1-3 2．如图，在三棱柱1 11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =-- 巩固知识，注意区别加 减法的不同处. 五．小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算 反思归纳 六．作业 课本P97习题3.1，A 组 第1题（1）、（2） 练习与测试： （基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。 答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。 3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;

空间向量的加减数乘运算练习题集

课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA → ＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线， 又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A 3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P 、A 、B 、C 四点( ) A ．不共面 B ．共面

C ．不一定共面 D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 ＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF → ＝________(用向量a ，b ，c 表示)．

平面向量加减法练习题(精.选)

向量概念加减法·基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1 ，其中正确的有（） 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆 4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥, b∥，则向量等于（） A．B．C．D．不存在 5．向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化简后等于（） A． B． C． D．AM 6．、为非零向量，且｜+｜=｜｜+｜｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对 7．化简（-）+（-）的结果是（） A．CA B．0 C．AC D．AE 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形 9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（） A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为的是（） A．（+）+ B．（+）+（+CM） C．MB+AD-BM D．OC-OA+CD 11．设是的相反向量，则下列说法错误的是（）

a b A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜-｜=｜｜-｜｜ D ．｜+｜=｜｜+｜｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，=2 1,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 4．已知｜｜=4,｜｜=8,∠AOB=60°,则｜｜= ． 5． a =“向东走4km ”,b =“向南走3km ”,则｜a +b ｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法则和 四边形法则） （2）b a

数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

① 几何表示法：_________________________ ② 字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③ 相等向量：____________________________ ④ 相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

《平面向量的加法教案》

《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块—*下册》 年级：______________ 高一 ___________ 撰写教师：_____________ 徐艳__________ 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法、减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的 三角形法则和运算律?向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课，为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用?因此，本节学习起着承上启下的作用? (2)教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知?同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情? 教学目标： (1)知识目标 ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；

③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算? (2)能力目标 ①经历向量加法的概念、三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力?⑶情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. ⑵能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流? 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法、启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作、自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源1 名称：—两岸直航视频 _____________________ 媒体格式：—avr ___________________________ 媒体资源2 名称： _________ 《爱的直航》_____________ 媒体格式： ______ MP3—

平面向量加减法练习题

向量概念加减法2基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥； b，其中正确的有（） ③｜a｜＞0；④｜b｜=±1 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（）A．B．C．D．不存在 5．向量（+）+（+）+化简后等于（） A． B． C． D． 6．a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对7．化简（-）+（-）的结果是（） A．B． C．D． 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为AD的是（） A．（AB+CD）+ BC B．（AD+MB）+（BC+CM） C．+-D．-+

a 11．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不 是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，= 21,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法 则和 四边形法则）

空间向量及其加减运算专题训练

A . a + b — c B . — a — b +c C . — a + b + c D . — a + b — c 解析：选 C.由于CD = CB +BA + AD = CB — AB +AD = b — a + c , 所以 C D = — a + b + c . 3.在正方体ABCD-A i B i C i D i 中，下列选项中化简后为零向量的 A. AB + A I D I + C i A i B .AB —A C+ BE B I C. AB + AD + AA i D .A C +CB 1 解析：选 A.在 A 选项中，AB +A ；D i + CA i = (AB +AD) + CA = AC + CA = 0. 4.设有四边形ABCD,O 为空间任意一点，且AO + O B = D O + OC, 全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解） 空间向量及其加减运算专题训练 [A 基础达标] 1.在空间四边形OABC 中，OA +A B — CB 等于（ ） A .OA B .A B C.OC D .A C 解析：选 C.OA + A B — CB= OB — CB = BC — BO = OC. 2.已知空间四边形 ABCD 中，AB = a , CB = b , AD = c ,则CD 等

则四边形ABCD是（）

全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解） A .平行四边形B.空间四边形 C.等腰梯形 解析：选A.由于AO+ A B, D O+O C=D C, 所以AB=DC,从而|AB|=|D C|,且AB与CD不共线, 所以AB DC, 所以四边形ABCD是平行四边形. 5 .已知平行六面体ABCD-A'B'CD 贝y下列四式中错误的是 ① AB—CB = AC:② A厅 =AB + B B ~C C + CC :③ AT C = CC ;@AB+ BB^ +BC+ C C C = A F . A.① c.③ 解析：选D.AB—CB=AB+BC=AC,①正确; A B+B"C+C C = A B+ B C+ C C=A C ,②正确; ③显然正确；AB+ B B+B C+CC=AB + BC+CC=AC,④错. 6 .式子(AB—CB)+CC I运算的结果是______ . 解析：(AB—CB)+ CC I =(AB+BC) + CC I=AC+CC I = AC I. 答案：A C I 7.给出下列几个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量; ②若|a|= |b|，则a, b的长度相等，方向相同或相反;

平面向量的加减法测试题

一、选择题 1、下列说法正确的有 ( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线,④零向量只能与零 向量共线. A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量①速度①位移①力①加速度①路程 A．0 B．1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．2 D．22 4、在平行四边形ABCD中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是 （）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、①ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A．B．C．D． 6、如图.点M是①ABC的重心,则MA+MB－MC为（） C．4 D．4 7、在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是（）

A ． + B ．－ C ． + D ．+ 8、a =－b 是|a | = |b |的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 二、填空题： 9、化简： + + + + = ______. 10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是①ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且= 31 , =31 , = 3 1,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13、如图在正六边形ABCDEF 中，已知： = a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， . 14、如图：若G 点是①ABC 的重心，求证： + + = 0 .

2021年高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析人教A版选修2_1

3.1.1 空间向量及其加减运算 [目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义． [重点] 空间向量加减运算及其几何意义． [难点] 向量加减运算由平面向空间的推广． 知识点一空间向量的有关概念 [填一填] 1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模． 4．几类特殊向量 [答一答] 1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？ 提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量． 2．如何理解零向量的方向？ 提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以

理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的． 3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？ 提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量． (2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同． 知识点二空间向量的加减运算 [填一填] [答一答] 4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？ 提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的． 5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？ 提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线． 1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行． 2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量． 3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．

空间向量加减法练习题

3.1.1空间向量加减法习题 一、选择题 1．下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (4)向量a ，b 相等的充要条件是? ?? ?? |a |＝|b |，a ∥b ； (5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (6)AB →＝CD → 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C [解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同． (2)正确．∵AB →＝DC → ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在?ABCD 中，AB →＝DC → . (3)正确．∵a ＝b ， ∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c . (4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ?|a |＝|b |，|a |＝|b |?/ a ＝b . (6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD → 同向． 故选C. 2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) ＋BC →＝AC → ＋BC →＋CA →＝0 －AC →＝CB → ＝－BA →

[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0. 3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD → ，则下列结论正确的是( ) ＝BC →＋CD → －DC →＋BC →＝AD → ＝AB →＋BC →＋DC → ＝BD →－DC → [答案] B [解析] 根据向量加减法运算可得B 正确． 4．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→ )的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C [解析] 利用向量相等的定义求解． 5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B. 6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A → ＝c ，则下列向量中与B 1M → 相等的向量是( ) A ．－12a ＋1 2 b ＋c a ＋12 b ＋ c a －12 b ＋c D ．－12a －1 2b ＋c

平面向量及其加减运算练习

练习内容：22.7平面向量 22.8平面向量的加法 22.9平面向量的减法 姓名 学号 成绩 一、选择题 (每小题3分，共18分) 1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC =，那么四边形ABCD 为 ( ) A 、平行四边形 B 、菱形 C 、长方形 D 、正方形 2．四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A 、是平行四边形 B 、是梯形 C 、是平行四边形或梯形 D 、不是平行四边形，也不是梯形 3．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是 ( ) A 、a 与b 的长度必相等 B 、a ∥b C 、a 与b 一定不相等 D 、a 是b 的相反向量 4．下列说法中不正确的是 ( ) A 、零向量是没有方向的向量 B 、零向量的方向是任意的 C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量只能与零向量相等 5．下列四式不能化简为AD 的是 ( ) A 、()A B CD B C ++ B 、()()A D MB BC CM +++ C 、A D AD BM +- D 、OC AO CD ++ 6．下列说法中，正确的有 ( ) ① 若a b =±，则a ∥b ② 若a ∥b ，则a b =± ③ 若a b =±，则||||a b = ④ 若||||a b =，则a b =± A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

二、填空题 (每小题4分，共40分) 7．规定了方向的线段叫做 8．向量是既有大小、又有 的量，可以用 线段表示 9．AB BA + = ；a a - = 第10题到15题的图 10．平行四边形ABCD 中，与AB 相等的向量有 11．平行四边形ABCD 中，与AB 相反的向量有 12．平行四边形ABCD 中，与AB 平行的向量有 13．平行四边形ABCD 中，与AO 相等的向量有 14．平行四边形ABCD 中，与AO 相反的向量有 15．平行四边形ABCD 中，与AO 平行的向量有 16．设a 表示“向东走1km ”，b ”，则a b +表示 三、简答题 (每小题6分，共24分) 17．判断下列命题是否为真命题 (1)★ AB BC DC AD +-= ( ) (2)★ 向量b 的长度记作||b ( ) (3)★ 用两个字母表示有向线段，起点字母与终点字母随便哪个写在前面无所谓 ( ) 18．判断命题“若a b =，则a 与b 是平行向量”是否是真命题。若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例；并写出此命题的逆命题 D

空间向量及其加减运算教学设计

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 邹城市第二中学孙爱青邮编273500 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。 （3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用

教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学设计： 1、（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（矢量，由大小和方向确定）。 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：通过这个实验，我们发现研究的问题是三个力的问题，但三角形钢板受到的三个力的特点是：（1）三个力不共面，（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平面上。所以解决这类问题，需要空间知识，而这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。这就是我们今天所研究的内容：“空间向量及其运算”（板书黑板）。 实际上空间向量我们随处可见（同学们可先举）。然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量）2、（自主学习）：现在我们来研究空间向量有哪些知识、概念和特点呢？与平面向量有什么区别和联系？平面向量的运算法则、运算律空

空间向量的加减及数乘运算

第三章 空间向量 3、1、1空间向量及其加减运算 基础性练习： 1、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A c CC b CB a CA 11,,,则 （ ） A ．-+ B ．+- C ．c b a ++- D ．c b a -+- 2、给出以下命题： （1） 两个空间向量相等，则它们得起点相同，终点也相同； （2） 若空间向量、 =,则= （3） 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有11C A AC =； （4） 若空间向量满足===则,； （5） 空间中任意两个向量必相等。 其中不正确得命题得个数就是（ ） A 、1 B 、 2 C 、3 D 、4 3、如图，在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算得结果为向量1AC 得共有（ ） ①1)(CC BC AB ++； ②11111)(C D D A AA ++ ③111)(C B BB ++ ④11111)(C B B A AA ++ A 、1 B 、 2 C 、3 D 、4 4、化简：（-）－（-）= 。 巩固性练习： 5、下列说法正确得就是（ ） A 、若||||=，则、得长度相同，方向相反； B 、||||，=则是向量若向量； C 、空间向量得减法满足结合律； D 、在四边形ABCD 中，一定有=+ 6、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与向量相等得向量共有（ ） A 、1 个 B 、 2 个 C 、3 个 D 、4个 7、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量DD +-1化简后得结果就是（ ） A 、1BD B 、D 1 C 、B 1 D 、1DB 8、空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上得中点，则+++= ； 9、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别就是BC 、CD 得中点，则)(2 1BC BD AB ++=

平面向量及其加减运算(基础)知识讲解

平面向量及其加减运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB”符号标记为AB，且AB表示点B相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: a b c等. ①小写英文字母表示法: 如,,, AB CD等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如, （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.

沪教版 平面向量及其加减运算 教案

平面向量及其加减运算 教案 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB ”符号标记为AB u u u r ，且AB u u u r 表示点B 相对于点A 的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a ）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量 就是相等的向量； （b ）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段. （2）向量的表示方法: ①小写英文字母表示法: 如,,,a b c r r r L 等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如,AB CD u u u r u u u r 等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.

空间向量及其加减运算,空间向量的数乘运算

空间向量及其加减运算，空间向量的数乘运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点，若AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是 （ ） A ．1122a b c - ++ B ．11 22 a b c ++ C ． 1122a b c -+ D ．11 22 a b c --+ 2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若11BD xAD yAB zAA =++，则x y z ++的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1- D ．3- 3．在直三棱柱11ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1A B =（ ） A ．a b c +- B ．a b c -+ C ．a b c -++ D ．a b c -+- 4．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则 PA PB PC PD PE PF +++++等于（ ）

A.PO B ．3PO C ．6PO D ．0 5．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a =， PB b =，PC c =，则BE =（ ） A. 111222a b c -+ B.111222a b c -- C. 131222a b c -+ D.113222 a b c -+ 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是（ ） A ．111633OG OA O B O C = ++ B ．112 633 OG OA OB OC =++ C ．2233OG OA OB OC =+ + D ．122 233 OG OA OB OC =++ 7．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311 488 OP OA OB OC = ++， 则P ，A ，B ，C 四点（ ） A ．不共面 B ．共面 C ．共线 D ．不共线 8．设12342,32,23,325a m j k a m j k a m j k a m j k =-+=+-=-+-=++（其中 ,,m j k 是两两垂直的单位向量），若4123a a a a λμν=++，则实数,,λμν的值分别是 （ ） A ．1,2,3-- B ．2,1,3-- C ．2,1,3- D ．1,2,3-