大学《离散数学》期末考试试卷及答案-(1)

安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷(

A 卷)

(时间120分钟)

开课院(系、部) ________________ 姓名 _________________ 学号 _______________

一、选择题(每小题2分，共20分)

1.

下列语句中，哪个是真命题( )

A 、X ? 2 = 4 ；

B

、我们要努力学习；

C 如果ab 为奇数，那么a 是奇数，或b 是偶数；

D 、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。

2. 下列命题公式中，永真式的是( )

A (P r Q) — P ；

B 、一(Q — P) P ；

C 、(P —p) I Q ；

D 、P — (P Q)。

3?在谓词逻辑中，令 F(x)表示x 是火车；G(y)表示y 是汽车；L(x, y)表示x 比y 快。命题“并不是所 有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的？(

)

L 一 x-y(F(x) G(y)r L(x, y))

II. x y(F(x) G(y) L(x,y)) III.

x y(F(x) G(y) L(x, y))

A 、仅 I ；

B 、仅 III ；

C 、I 和 II ；

D 、都不对。 4. 下列结论正确的是：( ) A 、若 A B=A C ，则 B=C ； B 、若 A

B A B ，则 A = B ；

C 若 A B 二A C ，则 B 二C ；

D 、若 A B 且 C D ，则 A C B D 。

5.

设 A^ ，A -｛ ｝，A 3 =「(「｝)，A 4 = ，以下命

题为假的是(

)

A

、A 2 - A 4 ； B 、A^ — A 3 ； C 、A 4

— A2

； D 、A 4 - A 3。

6?设R 是集合A 二｛a,b,c,d ｝上的二元关系，

R=｛ ::: a,d 「: d,a 「:: a,c 「：c,a 「： b, d j ：：d,b ?｝。下列哪些命题为真？(

)

I.

R R 是对称的

II. R R 是自反的 III. R R 不是传递的

A 、仅 I ； B

、仅 II ； C 、I 和 II ； D 、全真。 7. R 是二元关系且R = R 4，则一定是传递的是(

)

A R 4 ；

B 、R 3 ；

C 、R 2 ；

D 、R 。

&设R 1和R 2是非空集合A 上的等价关系，确定下列各式，哪些是

A 上的等价关系( )

A A A ~■ R<| ；

B 、R ~■ R 2 ；

C 、R 1 R 2 ；

D 、R 1 R 2。

9?函数f :X > Y 可逆的充要条件是：(

)

A 、A =

B ； B 、|A|=|B| ；

C 、f 为双射；

D 、f 为满射。 10.下列集合中，哪个集合的基数与其他集合的基数不同(

)

A、N n( N为自然数集，n^N )；

B、N N( N为自然数集)；

C R R ( R为实数集)；

D 、x坐标轴上所有闭区间集合；

、填空题(每小题2分，共32 分)

1?全集U 二{1,234,5} , A ={1,5} , B 二{1,2,3,4} , C ={2,5}，则可求出:

A n

B = _____________________________ ；

■(A)「(C)=

C 二___________________________________ 2?设A =3, | P(B) =16, | P(A U B) =64，则:

B= --------------------------------------------------- ,

A 仃

B = ___________________ ,

A _

B =_____________________ ,

A 十

B = ___________________ 。

3?设A 二｛1,2,3,4｝, R 是A上的二元关系，且R 二｛：：：1,2「：2,4「：：3,3 ｝，则r(R) = ；

s(R)= __________________________________________ ；

t(R) =

4.设A=｛1,2,3,4,5｝，贝U A上共有多少个二元关系___________________ ？

其中有多少个等价关系____________________ ?

5?设函数f ：A > A , B A为A的子集。则:

f(f」(B)) __________ B ,

f J(f(B)) ___________ B ；

当f为 ________ 函数时f (f ’(B))二B ；

当f为 ___________ 函数时f」(f(B))二B。

三、综合题(第2小题16分，其它各小题8分，共48 分)

1 ?求命题公式((P Q) -R) > P的主析取范式与主合取范式

(要求用等值演算的方法求解)。(8分)

2?用推理规则证明：(每小题8分，共16分)

①P > (Q > R) , S P , Q 永真蕴含S > R。

②前提：-x(F(x) > (Q(y) R(x))) , xF (x)；结论：x(F(x) R(x))。

3?设集合A二{a,b,c} , r(A)是集合A的幕集，试给出:：:?(A)^ 的哈斯图，并指出子集{{a},{b}}的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最小上界、最大下届(如果存在的话) 。(8分)

4.设R是集合A上的关系，令S = {< a,b >三A,使c a, c >丘R且c c,bR}，证明：如果R是

等价关系，则S也是等价关系。(8分)

5?已知f : N N —N，f x, y )=x2y2。请问：(8 分)

①f是单射吗？

②f是满射吗？

③计算f 4({0})。

④计算f ({ ::: 0,0 , ::: 1,2 })。

安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷答案（A 卷）

（时间120分钟）

、选择题（每小题2分，共20分）

1. C;

2.D;

3.C;

4.B;

5.A;

6.C;

7.B;

8.D;

9.C;10.A

二、填空题(每空2分，共32 分)

1. {5} ; { ,{5}} ； {134}

2. 4, 1, 2, 5

3. {<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,1>,<2,2>,<4,4>}

{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,4>} 25

4. 2 ,52

5.5，满射，二，单射

(P Q R) (P Q — R) (P

_

Q R)

(P .： -Q _R) =(―P Q R) (一P

—Q R) (P

_

Q

R) (P Q R)

(P Q —R) (P —Q —R)(主析取范式) 6分

A ：二(一卩 Q R)(一卩 Q —R)

二 Aw 「((「P

x/(「P e Q e 「R))

二(P Q R) (P —Q R)(主合取范式)

8分

2.①证明： (1)

—S P P 1

分

⑵

S P （附加前提）2 分

⑶ P

T (1),(2) I 3 分

⑷

P > (Q > R) P 4 分

Q > R T ⑶,(4) I 5 分

⑹ Q

P 6 分

⑺

R T ⑸,(6) I 7 分

(8)

S > R

CP ⑵,(7) 8

分

②证明:

(1)

xF(x)

P

1

分

Au ((P Q) -R) > P

((P Q) -R) P

((P -Q) R) P

(P R) (一Q R) P 2分

((—P R) (一Q Q))

((—Q R ） （P 一卩） (P (Q -Q) (R -R))

(—P Q R)(一卩—Q R) (P ；： -Q R) (_P _Q R)

三、综合题（第2小题16分，其它各小题8分，共48 分）

4分

；{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<2,1>,<4,2>}

⑵F(c)ES (1) 2分

⑶-x(F(x) > (Q(y) R(x))) P3分

⑷F(c) > (Q(y)R(c)) US (3)4分

(5)Q(y) R(c)T ⑵,(4) I 5分

(6)R(c)T⑸1 6分

(7)F(c) R(c)T ⑵,(6) I 7分

(8)x(F(x) R(x))EG (7) 8分

3?解: :::r（A）,二〉的哈斯图如下图所示。

*

（2分）；{{ a}, {b}}的极大元是：{a}, {b}；极小元是：{a}, {b} （4分）；最大元不存在；最小元不存在（6分）；上界

{a,b}, {a,b,c}；下界为： '；最小上界为：{a,b}；最大下界为：■- （8分）。

有：

4?证明：已知R是等价关系，对S是等价关系的证明分3步：

（1）自反性

R是自反的，

-对一a A,有：:：a,aR，

根据S的定义，有：::a,a / S，

-S是自反的；（2分）

（2）对称性

如果：:：a,b S，则A，使：:：a,c R 且：:：c,b R，

■■ R是对称的，

二vb,c R 且v c,a 二乏R，

■再根据S的定义有：::b, a ? ? S，

-S是对称的；（5分）

（3）传递性

如果：:：a, b >E S，::: b, c >三S，

则T d ? A使：:：a, d ?? R，且：:：d,b ?? R。二 R是传递的，.：:：a,b ?? R。

则-e A使：:：b,e ?? R，且：:：e, c ?? R。'■ R是传递的，.：:：b, c ?? R。

■r根据S的定义有v a, c a匸S。…S是传递的。（8分）

由（1），（2），（3）得S是等价关系。

5?解答：

①<1,2 , ：：2,1 N N , f（ <1,2 ）= f （：：2,1 ?）=1222=5，但:::1,2 一：：2,1 ?，所以f 不是单

射（ 2 分）。

②3N，但找不出这样的f N N，使得fC： x,y Wx2y^3。所以f不是满射（2分）。

1 2 2 1

③f （{0}） ={￡X, y>x +y ，解之，得x = y = 0，所以f （{0}）={￡0,0 >} （2 分）。

④f{ ：：0,0 , ：：1,2 }二{0,5} （2 分）。