弯曲内力应力

1、剪力
n
FS
Fi
i 1左（右）
只有集中力（分布力）引起剪力!
左上，右下
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力
_
向下的外力引起负值的剪力
+
右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力
+
_
(Internal Forces in Beams)
2、弯矩
集中力（分布力）、集中力偶都引起弯矩!
Fs(x)
剪力图为一条水平直线。 弯矩图为一斜直线。
x O
当 F S(x) > 0 时，向右上方倾斜。
当 F S(x) < 0 时，向右下方倾斜。
M(x)
Fs(x)
M(x)
x
O
x
O
O
x
(Internal Forces in Beams)
3、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的 截面上；或集中力偶作用处；
最大剪力可能发生在集中力所在的截 面上；或分布载荷发生变化的区段上。
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
4、在集中力作用处剪力图有突变，其 突变值等于集中力的值，弯矩图有转折。
d2M( dx 2
x
)
q(
x
)
5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶 的值，但剪力图无变化。
C
4m
4m
D 4m
BE 3m
(2)剪力图
AC 向下斜的直线()
FSA右 RA 7kN FSC左 RA 4q 3kN
CD 向下斜的直线 ( )
FSC右 RA 4q P1 1kN FSD P2 RB 3kN
(Internal Forces in Beams)
AC 向下斜的直线()
错动时，横截面m-m 上的剪力为正。或使 dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正。
FS
m
dx
2、弯矩符号
+ Mm
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的 下半部受拉 ）时，横截面m-m 上的
弯矩为正；
m （受拉）
(Internal Forces in Beams)
剪力、弯矩方程的规律（外力引起什么样的内力）
n
m
M
Fiai
Mk
i1左（右） k 1左（右）
集中力（分布力）：
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起
_
正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。 +
集中力偶：
左顺，右逆
左侧梁段： 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩
逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩 +
_
右侧梁段： 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩
m
Mmax所在 截面的可
能位置
在FS=0的截面
在剪力突变 在紧靠C的某
的截面
一侧截面
(Internal Forces in Beams)
例 作梁的内力图。
解 (1)支座反力为
RA 7kN
RA
F1=2kN m=10kN.m RB F2=2kN
q=1kN/m
RB 5kN
A
将梁分为 AC、CD、
DB、BE 四段。
4m
4m
4m
3m
M D左 7 F 2 4RB m 16 M max M F 20.5
DB
M D右 7F 2 4RB 6
+
20 20.5 16
6
M B 3F 2 6
BE
M 0 E
6
(Internal Forces in Beams)
弯曲变形横截面上正应力的计算公式: My
Iz
M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩。
正应力分布
M M
(Internal Forces in Beams)
讨论
(1)应用公式时，一般将 M、y 以绝对值代入。根据梁变形的情
况直接判断 的正负号。以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号)。凹入边的应力为压应力( 为负号)。
一段梁上 的外力情 况
(Internal Forces in Beams) 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
向下的均布荷载 q<0
无荷载
集中力 F C
集中力偶 m
C
剪力图 的特征
向下倾斜的直线 水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C
弯矩图 的特征
上凸的二次抛物线 一般斜直线 或
在C处有尖角 在C处有突变
FSA右 7kN
RA
F1=2kN m=10kN.m RB
FSC左 3kN
q=1kN/m
CD 向下斜的直线 ( ) A
FSC右 1kN
C
D
FSD 3kN
4m
4m
4m
DB 水平直线 (—) 7kN
F2=2kN
BE 3m
FS F2 RB 3kN
EB 水平直线 (—)
FSB右 P2 2kN
Fs(x)
M(x)
dFS( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
d
2M( dx 2
x
)
q(
x
)
O
x
(Internal Forces in Beams)
dFS( x) q( x) dx
dM( x dx
)
FS
(
x
)
d2M( dx2
x
)
q(
x
)
2、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0
(Internal Forces in Beams)
q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系
1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) =const< 0
FS(x)图为一向右下方倾斜的直线。 M(x)图为一向上凸的二次抛物线。
Fs(x)
M(x)
O
x
梁上有向上的均布荷载，即 q(x) =const﹥0
F点剪力为零,令其距 A点为x
FSx RA qx F 1 0
3kN
+
1kN
x=5m
x = 5m
2kN
+
3kN
(Internal Forces in Beams)
(3)弯矩图
AC M A 0
RA
F1=2kN
m=10kN.m
F2=2kN RB
q=1kN/m
MC
4
R
A
q 2
42
20
A
C
D
BE
CD
_
顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩 +
(Internal Forces in Beams)
弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系
dFS ( x) q( x) dx
dM ( dx
x
)
FSFra Baidu bibliotek
(
x
)
d2 M ( dx 2
x)
q(
x)
几何意义：
（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小。
（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
(Internal Forces in Beams)
纵向对称面 F1
q
A
M
F2 梁的轴线
B
RB
RA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
(Internal Forces in Beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图
内力的符号规定
+m FS
1、剪力符号 使dx 微段有 左端向上而右端向下的相对