数学勾股定理知识点及练习题附解析
一、选择题
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
3．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于
,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）
A ．1
B ．
54
C ．
74
D ．
254
4．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．10
5．已知等边三角形的边长为a ，则它边上的高、面积分别是（ ）
A．
2
,
24
a a
B．
2
3
,
24
a a
C．
2
33
,
24
a a
D．
2
33
,
44
a a
6．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）
A．5B．8C．10D．12
7．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（）
A．6 B．36 C．64 D．8
8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()
A．3 B．5 C．4.2D．4
9．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（）
A．0.6米B．0.7米C．0.8米D．0.9米
10．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（）
A ．3．5
B ．23
C ．13
D ．
36
2
二、填空题
11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．
12．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．
13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 14．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．
15．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.
16．如图,30AOB ∠=?，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．
17．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．
18．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．
19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若
12315S S S ++=，则2S 的值是__________．
20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______
三、解答题
21．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；
（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；
（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之
间的数量关系，并加以说明．
22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点
．．．．．．．D．，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=23，若存在一点D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．
23．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．
（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为(p，q)，且∠BOD = 150?，请写出p、q的关系式并证明；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30?，求OM的长．
24．阅读与理解：
>（如
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC中，AB AC
∠>∠呢？
图），怎样证明C B
分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点
C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明AC
D AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．
感悟与应用：
（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，CD 平分ACB ∠，试判断
AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，
12DC BC ==，
①求证：180B D ∠+∠=?； ②求AB 的长．
25．已知ABC ?中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ?的关于点B 的二分割线．例
如：如图1，Rt ABC ?中，90A ?∠=，20C ?∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ?∠=，显然直线BD 是ABC ?的关于点B 的二分割线．
（1）在图2的ABC ?中，20C ?∠=，110ABC ?∠=．请在图2中画出ABC ?关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；
（2）已知20C ?∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ?，所画ABC ?同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；
（3）已知C α∠=，ABC ?同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．
26．如图所示，已知ABC ?中，90B ∠=?，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是
ABC ?的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒
1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．
27．如图，ABC ?是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．
（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=?；
②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=?=，则BCG ?的面积为______________．
28．如图，己知Rt ABC ?，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =DB ，DA .
（1）直接写出BC=__________，AC=__________；
（2）求证：ABD
?是等边三角形；
（3）如图，连接CD，作BF CD
⊥，垂足为点F，直接写出BF的长；
（4）P是直线AC上的一点，且
1
3
CP AC
=，连接PE，直接写出PE的长.
29．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).
30．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离
()
()2
2
121212PP x x y y =
-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂
直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.
已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知
2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
【详解】
22a b +，又大正方形的面积为13，
即2213a b +=，而小正方形的面积表达式为2213a b +=，而小正方形的面积表达式为
2222()2()()213215a b a b a b -=+-+=?-=
故本题正确答案为C ． 【点睛】
本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键．
2．B
解析：B 【分析】
过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ，此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．由DC ＝2，BD ＝6，得到BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，于是得到∠CBC ′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】
解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．
此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小． ∵DC ＝2，BD ＝6， ∴BC ＝8，
连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°， ∴∠CBC ′＝90°，
∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′＝∠BC ′C ＝45°， ∴BC ＝BC ′＝8，
根据勾股定理可得DC ′＝22228610BC BD '+=+=． 故选：B ．
【点睛】
此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．
3．C
解析：C 【分析】
先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD.
【详解】
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴2222228610AC BC AB +=+==, ∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD=BD ，
在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,
∴222
(8)6CD CD -=+,
解得CD=74
， 故选：C.
【点睛】
此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC 是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.
4．D
解析：D 【分析】
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的
根数，然后根据最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离即AP 5为AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，再用含a 的式子表示出P 1P 3，P 3P 5，从而可求出a 的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长． 【详解】
解：如图，∵AP 1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P 1P 2A=15°， ∴∠P 2P 1P 3=30°，∴∠P 1P 3P 2=30°，∴∠P 3P 2P 4=45°， ∴∠P 3P 4P 2=45°，∴∠P 4P 3P 5=60°，∴∠P 3P 5P 4=60°， ∴∠P 5P 4P 6=75°，∴∠P 4P 6P 5=75°，∴∠P 6P 5B=90°， 此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条． 设AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，
∵∠P 2P 1D ＝30°，∴P 2D=
12P 1P 2，∴P 1D ，
∵P 1P 2=P 2P 3，∴P 1P 3＝2P 1a ，
∵∠P 4P 3P 5=60°，P 3P 4=P 4P 5，∴△P 4P 3P 5是等边三角形，∴P 3P 5＝a ，
∵最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为， ∴AP
5=a a +a ＝ 解得，a ＝2，
∴所有钢条的总长为2×5＝10， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BD ，利用勾股定理即可求出AD ，再利用三角形面积公式即可解决问题． 【详解】
解：如图作AD ⊥BC 于点D ． ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝60°，∠B AD ＝30° ∴1122
BD AB a =
= 由勾股定理得，2222213
()2AD AB BD a a a =
-=-=
∴边长为a 的等边三角形的面积为12×a ×32a ＝34
a 2
， 故选：C ．
【点睛】
本题考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
6．C
解析：C 【解析】
分析：通过切线的性质表示出EC 的长度，用相似三角形的性质表示出OE 的长度，由已知条件表示出OC 的长度即可通过勾股定理求出结果. 详解：如图：连接BC ，并连接OD 交BC 于点E ：
∵DP ⊥BP ，AC 为直径； ∴∠DPB=∠PBC=90°. ∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线. ∴∠PDE=90°=∠DEB, ∴四边形PDEB 为矩形， ∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6. ∴PD=BE=EC. ∴OE=
1
2
AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x. .在Rt △OEC 中:
222OE EC OC +=,
即：()()2
2
2363x x +-=+，解得x=2. 所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.
点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理.
7．B
解析：B 【分析】
根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 【详解】
解：A 的面积等于100-64=36； 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
8．C
解析：C 【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可． 【详解】
解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：
x 2+42=（10-x ）2， 解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA 是4.2尺． 故选C ． 【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
9．B
解析：B 【解析】
试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定222.5 2.4-（米）． 故选B ．
10．B
解析：B 【分析】
如图，作CD ⊥AB 于点D ，由题意可得△ABC 是等边三角形，从而可得BD 、OD 的长，然后根据勾股定理即可求出CD 与OC 的长，进而可得OM 的长，于是可得答案． 【详解】
解：∵点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2， ∴OB=2，OA=4，
如图，作CD ⊥AB 于点D ，则由题意得：CA=CB=AB=2， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BD=AD=
1
12
AB =， ∴OD=OB+BD=3，223CD BC BD =-=
∴()
2
2223323OC OD CD =+=+=
∴OM=OC=3 ∴点M 对应的数为3 故选：B ．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
二、填空题
11．210或213或32 【分析】
在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算
,,DF DE CE ''，可得CD ．
【详解】
∵90ACB ?∠=，4,2AC BC ==， ∴25AB =，
情况一：当25AD AB ==时，作AE CE ⊥于E ∴
1122BC AC AB AE ?=?，即455AE =，1455
DE = ∴2285
5
CE AC AE =
-=
∴22213CD CE DE =+=
情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ， ∴
1122BC AC AB BE ?=?，即55BE =，55
DE =
∴2225
5
CE BC BE =
-=
∴22210CD CE DE =+=
情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E ∴
11
22
BC AC AB BE ?=?， ∴455
BE =
35
CE ∴=
∵ABD △为等腰直角三角形 ∴1
52
BF DF AB ==
= ∴95
5
DE DF E F DF BE ''=+=+=
2535
555
CE EE CE BF CE ''=-=-=-
=
∴2232CD CE E D ''=+=
故答案为：1021332【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键．12．7
【分析】
连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．
【详解】
连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，
∵CE∥AB，
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE＝3，
∴DE＝AD?AE＝1，
∵∠CED＝∠ADB＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴DE＝EF＝DF＝1，
∴CF＝CE?EF＝2，OF＝OD?DF＝1，
22
OC CF OF3
∴-=
22
∴
BC=OB+OC=7
7
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
13．1010
【详解】
分两种情况：
（1）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16， ∴AO=4， OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90， ∴BC=310；
（2）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16， ∴AD=4， DB=AB-AD=5-4=1．
在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10， ∴10 ；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010． 【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键． 14．．（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【分析】
题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标． 【详解】
解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；
（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：
①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP 22OP OC -2254-3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，
在直角△PDM 中，PM 22PD DM -3，
当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）；
当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）． 故P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.
15．15
【分析】
根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案 【详解】
∵8,AB AC AD BC ==⊥ ∴点B 与点C 关于AD 对称
过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小 ∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥ ∴BD=2
在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =-=-=
∵S △ABC=
11
22
BC AD AB CE ??=?? ∴42158CE ?= 得15CE = 故此题填15
【点睛】
此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题
16．10 【分析】
首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案． 【详解】
作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．
根据轴对称的定义可
知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10． 故答案为10．
【点睛】
本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．
17．310232【解析】 【详解】 ∵（x-6）2=9， ∴x-6=±3， 解得：x 1=9，x 2=3，
∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，
∴当x=3时，x 、y 223332+=； 当x=9时，x 、y 2293310+=； 当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-. 故答案为：310232 【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解． 18．5 【解析】
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析
中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ) A ．121 B ．110 C ．100 D ．90 3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )
A ．2 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( ) A ．2n ﹣2 B ．2n ﹣1 C ．2n D ．2n+1 5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2 a b +值为（ ） A ．25 B ．9 C ．13 D ．169 7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．2 C ．8 D ．10 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
勾股定理全章知识点总结大全
C A B D 勾股定理全章知识点总结大全 专题一：直接考查勾股定理及逆定理 1．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 2、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。 3、（1）.已知?ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则?ABC 为 三角形 4.在?ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则?ABC 是 三角形，且∠ ?90 5、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。 6、.若?ABC 的三边a 、b 、c 满足条件2a c b a c b 26241033822+ +=+++，试判断 ?ABC 的形状。 7.已知,0)10 (8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是 8.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积． 专题二 勾股定理的证明 1、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2 ＝ ＋ ．化简后即为c 2 ＝ ． ． a b c
A B C 专题三网格中的勾股定理 1、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC 上的高为（） A. 2 2 3 B. 5 10 3 C. 5 5 3 D. 5 5 4 专题四实际应用建模测长 1、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的 长是0.5米，把芦苇拉到岸 边，它的顶端B恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 专题五梯子问题 1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的 顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑 动了几米？ 专题六最短路线 1、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1米，且封闭的正方体盒子外部的顶点A向顶点B爬行，问这 只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？ A A′ B B′ O 第20题图 B A
中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案
中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案 一、选择题 1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=?BEC ，1FG =，则2AB 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．如图，点A 的坐标是(2)2， ，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A ．（2，0） B ．（4，0） C ．（－22，0） D ．（3，0） 3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ） A ．6 B ．6 C ．42 D ．266．已知：如图在△ABC ，△AD E 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（） A．24 B．30 C．40 D．48 8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)() A．3 B．5 C．4.2D．4 9．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75?的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（） A．北偏西15?B．南偏西75° C．南偏东15?或北偏西15?D．南偏西15?或北偏东15? 10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（） A．3 4 B． 3 5 C． 4 5 D． 12 5 二、填空题 11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___． 12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A，B，C是网格线交点）．
新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A
勾股定理知识点总结
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是，类似地可作 。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
勾股定理全章知识点归纳总结
全国中考信息资源门户网站 https://www.360docs.net/doc/803225058.html, 勾股定理全章知识点归纳总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2 全国中考信息资源门户网站 https://www.360docs.net/doc/803225058.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（） A．5 B．35C．332 D．213 2．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF= （） A．5 B．8 C．13 D．4．8 3．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（） A．4 B．5 C．7 D．6 4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( ) A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（） A ．2cm B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm 6．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．42 C ．8 D ．10 7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( ) A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．4和5之间 8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A ．② B ．①② C ．①③ D ．②③ 9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米 B ．15平方千米 C ．75平方千米 D ．750平方千米 10．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?， 4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．15 典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6 "不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐 3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 勾股定理知识点与常见题型总结 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ? 勾股定理复习 一.知识归纳 1．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是多少呢？ 【知识梳理】 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 2、勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数， 那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是 直角三角形。 （经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5、勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段 【经典例题】【例1】（2016山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角 第十七章勾股定理知识点总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 勾股定理全章知识点总结大全 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b +， 22b c a -，22a c b -） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2 勾股定理知识总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2 ） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主 要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+， 22b c a =-，22 a c b =-） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2 勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： 1?勾股定理 内容：____________________________________________________________ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 2 2 n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用 勾股定理全章知识点 总结大全 勾股定理全章知识点总结大全 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 C ∠=?，则 c，b=，a） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 （定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：，4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD 2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形： 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A勾股定理知识点及练习题附解析
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