刚度矩阵的性质和存储

常用单元的刚度矩阵

r u r r u r =-+= πππεθ22)(2 由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变θr v 和r v θ均为零。将应变写成向量的形式，则{}?? ?? ? ?????? ?????? ???????+??????=??????????????=r w z u z w r u r u rz z r γεεεεθ 根据上式，可推导出几何方程{}[]{})(e B ?ε= 其中几何矩阵[]????????? ?????????? ??= ij ji ki ik jk kj ji ik kj k j i ij kj jk z r z r z r r r r r z r N r z r N r z r N z z z B 000 0),(0),(0),(00021 3.弹性方程和弹性矩阵[D] 依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为 [])(1 θσσσε+-= z r r u E [])(1 z r u E σσσεθθ+-= [])(1 θσσσε+-=r z z u E rz rz E r τμ)1(2+= 所以弹性方程为{}[]{}εσD = 式中应力矩阵{}{}T rz z r τσσσσθ=

弹性矩阵[]? ? ??????? ???? ?-----+=221000010101)21)(1(μμμμμμμμμμ μμE D 4.单元刚度矩阵[])(e k 与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为 [][][][]dV B D B k V T e ?=)( 在柱面坐标系中，drdz dV π2= 将drdz dV π2=代入[][][][]dV B D B k V T e ?=)(，则[][][][]rdrdz B D B k T e ??=π2)( 即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]有的元素（如r z r N i ),(等）是坐标r 、z 的函数，不是常量。因此，乘积[][][]B D B T 不能简单地从式 [][][][]rdrdz B D B k T e ??=π2)(的积分号中提出。如果对该乘积逐项求积分，将是一个繁重的工作。一般采用近似的方法：用三角形形心的坐标值代替几何矩阵[B]的r 和z 的值。用[]B 表示在形心),(z r 处计算出的矩阵[B]。其中 3 ) (,3 ) (k j i k j i z z z z r r r r ++= ++= 只要单元尺寸不太大，经过这样处理引起的误差也不大。被积函数又成为常数，可以提出到积分号外面：

结构力学思考题答案

1、结构的动力特性一般指什么？答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 2、什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？答：振动过程的能量耗散称为阻尼。产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。 3、采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确。有限元法：有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用。一般的广义坐标中，广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，并且在广义坐标中，形状函数是针对整个结构定义的。而有限元法则采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域的。在有限元分析中，形函数被称为插值函数。综上所述，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点： (l) 与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念。但不同于广义坐标法在整体结构上插值（即定义形函数），而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式（形状）可以相对简单。 (2) 与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。 4、直接动力平衡法中常用的有哪些具体方法？它们所建立的方程各代表什么条件？答：常用方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法方程代表的是体系在满足变形协调条件下所应满足的动平衡条件；而柔度法方程则代表体系在满足动平衡条件下所应满足的变形协调条件。 5、刚度法与柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？答：刚度法与柔度法建立的运动方程在所反映的各量值之间的关系上是完全一致的。由于刚度矩阵与柔度矩阵互逆，刚度法建立的运动方程可转化为柔度法建立的方程。一般来，对于单自由度体系，求[δ]和求[k]的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都可以用同一方法求得，不同的是一个已知力求位移，一个已知位移求力。对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对于超静定结构就要根据具体情况而定。若仅从建立运动方程来看，当刚度系数容易求时用刚度法，柔度系数容易求时用柔度法。 6、计重力与不计重力所得到的运动方程是一样的吗？答：如果计与不计重力时都相对于无位移的位置来建立运动方程，则两者是不一样的。但如果计重力时相对静力平衡位置来建立运动方程，不计重力仍相对于无位移位置来建立，

结构力学概念题

概念题 1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？答：主要区别表现在： (1)在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力； (2)在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量； (3)动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。 1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。 1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。 1.4 结构的动力特性一般指什么？答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？答：振动过程的能量耗散称为阻尼。产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。 1.6 采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影

一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵

9.3 一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵 1.杆端内力与位移关系回顾（轴向）；；（弯曲）； 2.公式推导（图1）图1 杆件性质：长度l，截面面积A，截面惯性矩I，弹性模量E；杆端位移u、v、θ。（1）（2）列成矩阵形式：

（3）即：（4）局部坐标系下单元刚度矩阵：（5） 9.4 梁单元 1.简支梁简支梁单元见图1。图1 说明：（a）梁单元通常忽略轴向变形；（b）图10-3中；相应的力分量也应该为零；（c）依据刚度矩阵的物理意义，可以由一般单元的刚度矩阵生成梁单元矩阵。即去掉位移分量为零的相应行和列。

即：单元刚度方程：单元刚度矩阵：（1） 2.悬臂梁等思考：建立图2的单元刚度矩阵：（固定端位移为零；自由端有转角和竖向位移) 图2 图a：图b： 3.桁架仅有轴向位移 9.5 单元刚度系数的物理意义 1.单元刚度系数的意义一般地，第j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0 时所引起的第i个杆端力分量的值。

例：的物理意义：当第3个杆端位移分量时引起的第5个杆端力分量。对称性（反力互等定理） 3.奇异性（，不存在逆矩阵）根据式可由杆端位移求解杆端力，且是唯一解。但由杆端力求杆端位移，可能无解，如有解也是非唯一解。说明：已知6个杆端力分量，（a）无法保证力状态的合法性——可能造成无解；（b）无法确定杆的支承条件——可能造成非唯一解。 9.6 单元坐标转换矩阵的物理意义 1.问题的提出单元刚度矩阵——单根杆；多根根组成的复杂结构呢？（图1）

图1 分析（a）从数学的角度理解整体坐标系（xy）与局部坐标系（）的区别；（b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的数学关系：。同理： 2.公式推导矩阵形式：（1）同理：（2）

第4章多自由度系统的振动题解

62 习题 4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。解：由题3-10的结果 2 2121111)(l g m l g m m k k + ++ =，2 221l g m k - =， 2 212l g m k - =，2 2222l g m k k + = 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M ?? ? ? ??=m m M 0 0；?? ?? ? ???? ?- - =l mg l mg l mg l mg K 3 由频 02 =-M p K ，得 032 2 =????? ?? ?? ?-- --=mp l mg l mg l mg mp l mg B 0242 2 22 2 4 2=+ - ∴l g m p l g m p m l g p ) 22(1-= ∴ ，l g p ) 22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ???? ? ? ? ?? ?-=l mg mp l mg adjB 2 分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为 ? ? ????-=112) 1(A ??????+=112) 2(A 题4-1图

63 4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力 2111,k k ，由平衡条件得到， 2 22 111a k b k k +=， a k k 221-= 设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为 ?? ? ???=???????????? --++????????????? ?000031222222122 1x a k a k a k a k b k x m a m θθ 由频率方程02=-M K p ，得 031 2 22222 212 22 1=---- +p m a k a k a k p a m a k b k 4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到， l l k l l k I 434343432 1 1 1 11θθθ+-= 2 2434343432 2 2 1 1 1 22l l k l l k l l k I θθθθ--= 整理得到， 016 916 922 1 12 1 11=-+θθθl k l k I 题4-3图题4-2图

结构动力学复习新

结构动力学与稳定复习 1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力； (2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。 1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。 1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。1.4 结构的动力特性一般指什么？答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？答：振动过程的能量耗散称为阻尼。产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假

工程力学第17章复合材料的力学行为习题及解析

工程力学（静力学与材料力学）习题解答第17章复合材料的力学行为 17－1 图示结构中，两种材料的弹性模量分别为E a 和E b ，且已知E a >E b ，二杆的横截面面积均为bh ，长度为l ，两轮之间的间距为a ，试求： 1．二杆横截面上的正应力； 2．杆的总伸长量及复合弹性模量； 3．各轮所受的力。知识点：静不定问题，复合弹性模量难度：很难解答：解：1．P Nb Na F F F =+ （1） b a l l ?=? （2） bh E l F l a Na a =? （3） bh E l F l b b Nb = ? （4）将（3）、（4）代入（2），得b Nb a Na E F E F = （5）（1）、（5）联立解得 P b a a Na F E E E F +=，P b a b Nb F E E E F += bh F E E E bh F P b a a Na a +==σ，bh F E E E bh F P b a b Nb b +==σ 2．由（3）式 bh E E l F bh E l F l )(b a P a Na a +== ? 设复合弹性模量E c ) 2(c P bh E l F l =?，由于a l l ?=?，比较两式得 2 b a c E E E += 3．由于F Na >F Nb ，所以，轮C 、轮G 脱离接触面，所以受力为零。 0)(=∑F k M ，02 2R Nb Na =--a F h F h F H ∴ b a b a P R 2E E E E a h F F H +-=，b a b a P R R 2E E E E a h F F F H D +-== 17－2 玻璃纤维/环氧树脂单层复合材料由2.5kg 纤维与5kg 树脂组成。已知玻璃纤维的弹性模量E f = 85GPa ，密度f ρ= 2500kg/m 3 ，环氧树脂的弹性模量E m = 5GPa ，密度m ρ= 1200kg/m 3。试求垂直于纤维方向和平行于纤维方向的弹性模量E y 和E x 。知识点：单向铺层纤维增强复合材料，复合弹性模量难度：一般解答：解：纤维和基体的总体积：00517.01200 5 25005.2=+= V m 3 纤维体积与复合材料总体积之比：1934.000517 .025005 .2f ==V 11.685 )1934.01(51934.085 5)1(f f m f f m =?-+??=-+= E V E V E E E y GPa G D R F D Na F Nb F C H R F H P F a K (a) 习题17-1图

几个基本常数弹性模量-泊松比-应力应变曲线

全应力-应变曲线测量岩石的应力应变曲线一般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使用这种试验机测量时，容易发发生“岩爆”现象，导致试验中不能得到峰值以后的应力应变信息。另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不会有“岩爆”现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破裂的性质。刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变化量。强度是零件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等刚度反映的是变形大小，就是零件受力后的变形。刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义: 一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。 [C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。 [D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。物理概念：杨氏模量和泊松比在弹性范围内大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫杨氏模量。而横向应变与纵向应变之比值称为泊松比μ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量。1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas

第三节刚度矩阵(汇编)

第三节刚度矩阵 ——节点载荷与节点位移之间的关系一、单元刚度矩阵 1. 单元刚度矩阵 xj 单元e 是在节点力作用下处于平衡。节点i 的节点力为 {}T i xi yi R R R ??=?? （i , j , m 轮换）则单元e 的节点力列阵为 {} T e T T T m i j T xm ym xi yi xj yj R R R R R R R R R R ??? ? ???? = = 单元应力列阵为 {} T e x y xy σσστ???? =

假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e 的三个节点的虚位移为 {} * ***** *e T m m i i j j u v u v u v δ??? ? = 单元虚应变列阵为 {} ****T x y xy εεεγ???? ?? = 参照式（3-7），则单元虚应变为 {} {}**e e B εδ????= 作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为： {}{}* e T e R δ?? ?? ? 单元内的应力在虚应变上所做的功为： {}{}* T e tdxdy εσ? ?? ?? ? ?? 根据虚位移原理，可得单元的虚功方程 {} {}{} {}**e T T e e R tdxdy δεσ? ???? ? ??? ?? = ?? 或 {}{} {}{}* * e T T T e e B R tdxdy δδσ? ? ????? ? ??? ? ? ? ? =??

故有 {} {}e T B R tdxdy σ? ???? = ?? 将式（3-10）代入，的 {} {}{}e e e T T D B D B R B B tdxdy tdxdy δδ?? ??? ???????????? ?????????== ???? （3-27）简记为 {}{}e e e k R δ?? ?? = （3-29） --------上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）其中 T e D B B k tdxdy ? ????? ??????????? = ?? （3-28） e k ????称之为单元刚度矩阵（简称为单刚），是66?矩阵。如果单元的材料是均质的，矩阵D ????中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，矩阵B ????中的元素也是常

单元刚度矩阵(等参元)MATLAB编程

《有限元法》实验报告专业班级力学（实验）1601 姓名田诗豪学号1603020210 提交日期2019.4.24

实验一（30分）一、实验内容编写一个计算平面3结点三角形单元的应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵的MATLAB 函数文件[B3,S3,K3] = ele_mat_tri3(xy3,mat)，其中：输入变量xy3为结点坐标数组，mat为材料参数矩阵；输出变量B3为应变矩阵，S3为应力矩阵，K3为单元刚度矩阵。（要求给出3个不同算例进行验证，并绘制出单元形状和结点号）二、程序代码通用函数 function [B3,S3,K3] = ele_mat_tri3(xy3,mat) %生成平面3结点三角形单元的应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵的功能函数 %*********变量说明**************** %xy3------------------结点坐标数组 %mat------------------材料参数矩阵（弹性模量，泊松比，壁厚） %B3-------------------应变矩阵 %S3-------------------应力矩阵 %K3-------------------单元刚度矩阵 %********************************* xyh=[1,xy3(1,1),xy3(1,2);1,xy3(2,1),xy3(2,2);1,xy3(3,1),xy3(3,2)]; A=0.5*det(xyh); A=abs(A); D=mat(1)/(1-mat(2)^2)*[1,mat(2),0;mat(2),1,0;0,0,(1-mat(2))/2]; b=zeros(1,3);c=zeros(1,3); %********************************* for i=1:3 if i==1 j=2; m=3; elseif i==2 j=3; m=1; else j=1; m=2; end b(i)=xy3(j,2)-xy3(m,2); c(i)=xy3(m,1)-xy3(j,1); end %********************************* B31=1/(2*A)*[b(1),0;0,c(1);c(1),b(1)];

复合材料力学讲义

复合材料力学讲义第一部分简单层板宏观力学性能 1.1各向异性材料的应力—应变关系应力—应变的广义虎克定律可以用简写符号写成为：（1—1）其中σ i 为应力分量，C ij 为刚度矩阵ε j 为应变分量．对于应力和应变张量对称的情形(即不存在体积力的情况)，上述简写符号和常用的三维应力—应变张量符号的对照列于表1—1。按表1—l，用简写符号表示的应变定义为：表1—1 应力——应变的张量符号与简写符号的对照注：γ ij （i≠j）代表工程剪应变，而ε ij （i≠j）代表张量剪应变（1—2）其中u，v，w是在x，y，z方向的位移。在方程(1—2)中，刚度矩阵C ij 有30个常数．但是当考虑应变能时可以证明弹性材料的实际独立常数是少于36个的．存在有弹性位能或应变能密度函数的弹性材料当应力σ i 作用于应变dε j 时，单位体积的功的增量为：（1—3）由应力—应变关系式(1—1)，功的增量为：（1—4）

沿整个应变积分，单位体积的功为：（1—5）虎克定律关系式(1—1)可由方程(1—5)导出：（1—6）于是（1—7）同样（1—8）因W的微分与次序无，所以：（1—9）这样刚度矩阵是对称的且只有21个常数是独立的。用同样的方法我们可以证明：（1—10）其中S 是柔度矩阵，可由反演应力—变关系式来确定应变应力关系式为ij （1—11）同理（1—12）即柔度矩阵是对称的，也只有21个独立常数．刚度和柔度分量可认为是弹性常数。在线性弹性范围内，应力—应变关系的一般表达式为：（1—13）实际上，关系式(1—13)是表征各向异性材料的，因为材料性能没有对称平面．这

弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵

弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵中文名称: 弹性力学英文名称: theory of elasticity 其他名称: 弹性理论定义: 研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。所属学科: 水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利)(三级学科) 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统;而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。

弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822,1828年间，在A.-L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。

结构力学问答题总结

概念?题 1.1?结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？答：主要区别表现在：(1)?在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2)?在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3)?动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。 1.2?什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。确定动力自由度的目的是：(1)?根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2)?因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。 1.3?结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。 1.4?结构的动力特性一般指什么？答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）

所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5?什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？答：振动过程的能量耗散称为阻尼。产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。 1.6?采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，

动态设计简答

1.）什么叫做惯性耦合，弹性耦合？答：惯性耦合：质量矩阵中出现的耦合项称为惯性耦合，弹性耦合：刚度矩阵或柔度矩阵中出现的耦合项称为弹性耦合。 2.多自由度系统运动方程出现惯性及弹性耦合项的原因是什么？如何消除这些耦合项？答： 3.）惯性影响系数，阻尼影响系数，刚度影响系数和柔度影响系数的定义是什么？柔度影响系数与刚度影响系数的关系是什么？对于同一系统，若选用相同的广义坐标，则系统的柔度矩阵和刚度矩阵有什么关系？答：惯性影响系数，阻尼影响系数，刚度影响系数和柔度影响系数的定义是： ----使系统的第j坐标产生单位加速度。而其他坐标的加速度为零时，在第i坐标上所需m ij 加的作用力大小。 ------使系统的第j坐标产生单位速度。而其他坐标的速度为零时，在第i坐标上所需加的c ij 作用力大小。 k ------使系统的第j坐标产生单位位移。而其他坐标的位移为零时，在第i坐标上所需加的ij 作用力大小。 δ ------在系统的第j坐标上作用一单位力时，在第i坐标上所产生的位移大小 ij 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵对于同一个系统，若选取相同的广义坐标，则系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩阵。这是很重要的性质，对于那些直接确定刚度矩阵比确定柔度矩阵困难得多的系统，可以借助求柔度矩阵之逆矩阵的办法来得到系统的刚度矩阵。 4.）对于什么系统的运动方程，其刚度矩阵和柔度矩阵都是对称阵？ 5.）多自由度系统主振型的正交关系只有在质量矩阵和刚度矩阵是什么矩阵才有效？ 6.）在什么坐标下系统的质量矩阵和刚度矩阵是对角阵？该坐标成为什么坐标？ 7.）在广义坐标，莫泰坐标以及正则坐标下系统的振动特性会发生改变吗？ 8.）用模态分析方法求解系统动力影响的步骤有哪些？ 9.）多自由度系统中模态刚度，模态质量和固有频率之间的关系是什么？这种关系和系统的自由度数的多少有关吗？ 10.）采用传动矩阵法求解系统的振动特性对哪类结构的关系比较有效？采用这种方法的主要优点是什么？ 11.）点传递矩阵表明了系统中什么元件左边的状态到右边的状态的传递关系？场传递矩阵表明了系统中什么元件左边的状态到右边的状态的传递关系？左，右两边的状态包含那些状态？如何表示？ 12.）传动矩阵法求解系统的振动特性时，边界条件有何意义？

刚性杆

刚性杆由此可知.柔度矩阵吞和刚度矩阵‘互为逆矩阵，作用力方程和位称方程叮以互相转换。因此.对于那些宜接确定刚度矩阵比确定柔度矩阵困难得多的系统。当必须求出刚度矩阵时.可以借助求柔度矩阵的逆阵来得到。在图3 -4所示系统的作用力方程式巾.式(a)中的K,2.2和式(b》中的K=,:,使得两方程成为联立方程，因此.这两项称为祸联项。又因为是通过弹性项栩联的.所以称方程组为弹性拱联或静力藕联。同理.通过惯性项藕联的.称为惯性桐联或动力执联.藕联使方程组求解复杂化。下面举例讨论藕联的性质。如图3一，(.)所示的系统，质益为。的刚性杆，山刚度为‘.和ka的弹赞分别支于A 点和D点.A点支座的约束只允许刚性杆在二一了平面内运动，而限制沿二轴方向的平动。C点为刚性杆的质心.Jc表示绕通过C点二轴(垂宜于纸面.未示出)的转动惯盆。图中B 点是满足4,‘二气1，的特殊点.如果在8点作用有沿Y轴方向的力，系统产生平动而无转动。如果在B点作用有力矩，系统只产生转动而无平动。为了说明藕联的性质.以下选择三种不间的位移坐标进行讨论。以A点的平动r.和阴体烧A点的转动BA为系统的位移坐标。图3一，(b)中给出在刚杆A点处作用的力凡与力矩气.以及A点和D点的弹性力与C处的惯性力。如果将惯性力加在附性杆自由体上，可以认为该自由体处于动平衡状态。于是.应用达伦培尔原理.得出两个平衡方程并加以掀理.到得在方程式(3-21)中.质里矩阵和刚度矩阵的非对角元家都不为零.既出现该性精联又出现弹性藕联，前者表明两个加速度被此并非独立，就是说系统在动力上或质益上是栩联的。后者明说明一个位移不仅引起对应于自身的反力.fil且引起对应其他位移的力.系统在静力上或刚度上是辆联的。以B点的平动7I和刚性杆绕B点的转动0,为系统的位移坐标，只引起对应于自身的力.而不引起对应于其他位移的力。根据图3-S(c)可类似地写出平衡方程.同时把关 ; -ft (3-23》巾.K为对角阵.而M为对称阵。可见，式中只有们itwalffi无弹性藕联。以附性杆质心C点的平动YC和刚性杆烧C点的转动BC为系统的位移坐标。

ansys单元刚度矩阵的提取

看了这么久了都没人回，查了一些质料终于找到答案了，，下面提供三种方法：方便与其他程序进行接口编程1. Which matrix you would like? element stiffness matrix or full stiffness matrix? element stiffness is within file.emat. full stiffness matrix is within file.full A simple way to dump the matrix is as follow: ------------------- /aux2 fileaux2,file,emat form,long dump,all ------------------- 2. 可以使用/DEBUG命令来得到。详细步骤参见下面的宏文件 finish /clear PI=3.1415926 w1=3 w2=10 w3=6 w4=1.2 r=.8 t=0.08 /PREP7 !* ET,1,SHELL63 R,1,t ET,2,MASS21 R,2,500,500,500,2000,2000,2000, !* UIMP,1,EX, , ,2e11 UIMP,1,NUXY, , ,0.3, UIMP,1,DAMP, , ,0.2, UIMP,1,DENS, , ,7800,

BLC4,0,0,w2,w1 ESIZE,1.5,0, AMESH,all NSEL,S,LOC,X,0.0 D,all, , , , , ,ALL, , , , , allsel,all SFA,all,1,PRES,12 FINISH /OUTPUT,cp,out,, ! 将输出信息送到cp.out文件 /debug,-1,,,1 ! 指定输出单元矩阵 /SOLU SOLVE finish /OUTPUT, TERM ! 将输出信息送到output windows中 ! 这时用编辑器打开cp.out文件，可以看到按单元写出的质量、刚度等矩阵 3. 其原理很简单，即使用ansys的超单元即可解决问题。定义超单元，然后列出超单元的刚度矩阵即可。面是一个小例题，自可明白。 /prep7 k,1 k,2,3000 l,1,2 et,1,beam3 mp,ex,1,2e5 mp,prxy,1,0.3 r,1,5000,2e7,200 lesize,all,,,10 lmesh,all finish !----以上正常建立模型，不必施加约束和荷载 /solu antype,7 !substructuring分析类型 seopt

刚度矩阵的性质和存储

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