第15讲 相似三角形判定定理的证明(提高)知识讲解

相似三角形判定定理的证明(提高)

【学习目标】

1.熟记三个判定定理的内容.

2.三个判定定理的证明过程.

3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】

要点一、两角分别相等的两个三角形相似

已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′，∠B =∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.

证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′D ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE =∠B ，∠AED =∠C,

(.AD AE

AB AC

=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F ,则

(AD CF

AB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CF

AC CB

=

∵DE ∥BC,DF ∥AC,

∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE =CF . ∴

AD AE DE

AB AC BC

==. 而∠ADE =∠B,∠DAE =∠BAC,∠AED ==∠C, ∴△ADE ∽△AB C.

∵∠A =∠A ′,∠ADE =∠B =∠B ′,AD =A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.

要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法.

要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′,

''''

AB AC

A B A C =

,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.

证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则

∠B =∠ADE,∠C =∠AED,

∴△ABC ∽△ADE (两个分别相等的两个三角形相似).

∴AB AC

AD AE =

. ∵''''AB AC A B A C =

,AD =A ′B ′, ∴''AB AC

AD A C = ∴''

AC AC

AE A C = ∴AE =A ′C ′ 而∠A =∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′.

∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.

要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似 已知：在在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′, ''''''

AB BC AC

A B B C A C ==

. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.

证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD =A ′B ′,AD =A ′B ′,连接DE .

∵

''''AB AC

A B A C =

，AD =A ′B ′,AE =A ′C ′, ∴AB AC AD AE

= 而∠BAC =∠DAE,

∴△ABC ∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴

AB BC

AD DE =

又''''AB BC A B B C =

，AD = A ′B ′, ∴ ''AB BC AD B C =

∴''

BC BC DE B C =

∴DE =B ′C ′,

∴△ADE ≌△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.

【典型例题】

类型一、两角分别相等的两个三角形相似

1、（合肥校级四模）如图，己知：Rt △AB C 中，∠BAC =9O °，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 的中点，ED 交AB 延长线于F ，求证：

①△ABD∽△CAD；

②AB：AC=DF：AF．

【思路点拨】（1）由Rt△AB C中，∠BAC=9O°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠ACD，又由∠ADB=∠ADC，即可证得△ABD∽△CAD；

（2）由△ABD∽△CAD，即可得，易证得△AFD∽△DFB，可得，继而证得结论．

【答案与解析】

证明：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠BAD=∠ACD，

∵∠ADB=∠ADC，

∴△ABD∽△CAD；

（2）∵△ABD∽△CAD，

∴，

∵E是A C中点，∠ADC=90°，

∴ED=EC，

∴∠ACD=∠EDC，

∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，

∴∠BAD=∠BDF，

∵∠AFD=∠DFB，

∴△AFD∽△DFB，

∴，

∴,

∴AB：AC=DF：AF．

【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，难度适中．

类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

2、如图，在△AB C中，M、N分别为AB、AC边上的中点．D、E为BC边上的两点，且DE=BD+EC，ME与ND交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．

【思路点拨】因为M、N分别为AB、AC边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，又因为DE=BD+EC，所以有△MON≌△EO D．

【答案与解析】

解：△MON≌△EO D．

证明：∵M、N分别为AB、AC边上的中点，

∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2．

∵∠A=∠A，

∴△AMN∽△AB C．

∴∠AMN=∠ABC，MN=B C．

∴MN∥B C．

∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE．

∵DE=BD+EC，

∴DE=B C．

∴MN=DE．

∴△MON≌△DOE．

【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方

法，看缺什么条件，再去证什么条件．

举一反三

【变式】如图，点O是△ABC的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），连接AO交CB的延长线于点D，连接CO交AB的延长线于点E，连接DE．求证：△ODE∽△OC A．

【答案】

证明：∵O是垂心，

∴AO⊥CD，

∴∠CDO=90°，

同理∠AEO=90°，

∴∠AEO=∠CDO，

在△AEO和△CDO中

，

∴△AEO∽△CDO，

∴，

∴，

在△ODE和△OC A中

，

∴△ODE∽△OC A．

3、（大庆模拟）如图，△AB C中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长是多少？

【答案与解析】解：∵D为AB的中点，

∴BD=AB=，

∵∠DBE=∠ABC，

∴当∠DEB=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；

当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，

∵∠DAF=∠CAB，

∴△ADF∽△ACB，

∴△BDE∽△BCA，

∴=，即=，解得DE=，

综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或．

【总结升华】本题考查了相似三角形判定和性质，其次要注意分类讨论思想的运用．

举一反三

【变式】如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）

【答案】解：在射线BF 上截取线段，连接M1C，

?，

?∠ABP=∠CBM1，

∴△M1BC∽△ABP．

在射线BF上截取线段BM2=BP=3，连接M2C，

?△CBM2≌△ABP．（全等必相似）

∴在射线BF 上取或BM2=3时，M1，M2都为符合条件的M．

类型三、三边成比例的两个三角形相似

4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A．B．C．D．

【思路点拨】首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A，B，C，D各三角形的三边的长，

然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．

【答案与解析】

解：如图：AB==，AC==，BC=2，

A、∵DE==，DF==，EF=1，

∴，

∴△DEF∽△BAC，

故A选项正确；

B、∵MN==，MK==，NK=3，

∴，=1，，

∴△MNK与△ABC不相似，

故B选项错误；

C、∵PQ==2，PR==，QR=1，

∴==，=，=，

∴△PQR与△ABC不相似，

故C选项错误；

D、∵GH==，GL==，HL=2，

∴=，=，=，

∴△GHL与△ABC不相似，

故D选项错误．

故选：A．

【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用是解此题的关键．

5、如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF 相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（）

【思路点拨】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．

【答案与解析】

解：根据题意，△ABC的三边之比为1：：，

要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为1：：，

经计算只有甲点合适，

故选A．

【总结升华】本题考查了相似三角形的判定定理：

（1）两角对应相等的两个三角形相似．

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

（3）三边对应成比例的两个三角形相似．

举一反三

【变式】如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）

A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M

【答案】C.

M或N时，其各边是6、2 C．