第1章补充

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第一章补充例题

1、随机相位正弦序列,)2sin()(Φ+=s fnT A n X π,A ,f 均为常数,Φ为一随机变量,且

在0~2π内服从均匀分布,即⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤=,其他,02021)(π

ϕπ

ϕp 。试求X(n)的均值,自相关函数,

并判断其平稳性。

解:021)

2sin()}2sin({)(20

=+=

Φ+=⎰

ϕπ

ϕπππ

d fnT A fnT A E n Ex s s

]

)(2cos[2

)2sin()2sin(2)}2sin()2sin({),(2

20

2

s s s s s xx T m n f A

d fmT fnT A fmT fnT A E m n r -=++=Φ+Φ+=⎰

πϕ

ϕπϕππ

πππ

所以是平稳序列。

2、随机振幅正弦序列)2sin()(s fnT A n X π=,其中f 为常数,A 为正态随机变量,设其均值为0,方差为2σ,即:N(0, 2σ),试求X(n)的均值,自相关函数,并判断其平稳性。

解:均值:)}2sin({)(s x fnT A E n Ex m n

π==

给定时刻n ,)2sin(s fnT A π为一常数,则

][)2sin(=

=A E fnT m s x n π

自相关函数:

)

)(2sin()2sin()})(2sin()2sin({),(2

s s s s xx T m n f fnT T m n f A fnT A E m n n r +=+=+ππσππ

所以,不是平稳的。

3、已知平稳信号X(n)的自相关函数1,)(>=a a

m r m

xx ,求其功率谱。

解:

1

,cos 211111111

)(2

2

<-+-=

--+

-=

-+

=

=

-∞----∞=-+∞

-∑∑∑a w

a a a

ae

ae

e

a

e

a

e

a

e

P jw

jw

jwm

m

jwm

m m

jw

m

jw

xx

4、讨论随机相位正弦序列,)2sin()(Φ+=s fnT A n X π,其中 A ,f 均为常数,Φ为一随

机变量,且在0~2π内服从均匀分布,即⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤=,其他,02021)(π

ϕπ

ϕp 的各态历经性。

解:)2sin()(Φ+=s fnT A n X π,其单一的时间样本ϕϕπ),2sin()(+=s fnT A n x 是一常数, 对x(n)作时间平均和时间相关函数:

∑-=∞

→==++>=

M

n s

M n x E fnT

A M n x )]([0)2sin(121

lim

)(ϕπ

()

)

()

2cos(2

)]

)2(2cos()2[cos(2

121

lim )(2sin )2sin(121

lim )(2

2

2

m r fmT A

T m n f fmT A

M T m n f fnT A

M m r xx s s s M

M n M s s M

M

n M xx ==+-+=++++>=<∑

∑-=∞

→-=∞

→πππϕπϕπ

所以是各态历经的。

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