第1章补充
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第一章补充例题
1、随机相位正弦序列,)2sin()(Φ+=s fnT A n X π,A ,f 均为常数,Φ为一随机变量,且
在0~2π内服从均匀分布,即⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=,其他,02021)(π
ϕπ
ϕp 。试求X(n)的均值,自相关函数,
并判断其平稳性。
解:021)
2sin()}2sin({)(20
=+=
Φ+=⎰
ϕπ
ϕπππ
d fnT A fnT A E n Ex s s
]
)(2cos[2
)2sin()2sin(2)}2sin()2sin({),(2
20
2
s s s s s xx T m n f A
d fmT fnT A fmT fnT A E m n r -=++=Φ+Φ+=⎰
πϕ
ϕπϕππ
πππ
所以是平稳序列。
2、随机振幅正弦序列)2sin()(s fnT A n X π=,其中f 为常数,A 为正态随机变量,设其均值为0,方差为2σ,即:N(0, 2σ),试求X(n)的均值,自相关函数,并判断其平稳性。
解:均值:)}2sin({)(s x fnT A E n Ex m n
π==
给定时刻n ,)2sin(s fnT A π为一常数,则
][)2sin(=
=A E fnT m s x n π
自相关函数:
)
)(2sin()2sin()})(2sin()2sin({),(2
s s s s xx T m n f fnT T m n f A fnT A E m n n r +=+=+ππσππ
所以,不是平稳的。
3、已知平稳信号X(n)的自相关函数1,)(>=a a
m r m
xx ,求其功率谱。
解:
1
,cos 211111111
)(2
2
<-+-=
--+
-=
-+
=
=
-∞----∞=-+∞
∞
-∑∑∑a w
a a a
ae
ae
e
a
e
a
e
a
e
P jw
jw
jwm
m
jwm
m m
jw
m
jw
xx
4、讨论随机相位正弦序列,)2sin()(Φ+=s fnT A n X π,其中 A ,f 均为常数,Φ为一随
机变量,且在0~2π内服从均匀分布,即⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=,其他,02021)(π
ϕπ
ϕp 的各态历经性。
解:)2sin()(Φ+=s fnT A n X π,其单一的时间样本ϕϕπ),2sin()(+=s fnT A n x 是一常数, 对x(n)作时间平均和时间相关函数:
∑-=∞
→==++>= M n s M n x E fnT A M n x )]([0)2sin(121 lim )(ϕπ () ) () 2cos(2 )] )2(2cos()2[cos(2 121 lim )(2sin )2sin(121 lim )(2 2 2 m r fmT A T m n f fmT A M T m n f fnT A M m r xx s s s M M n M s s M M n M xx ==+-+=++++>=<∑ ∑-=∞ →-=∞ →πππϕπϕπ 所以是各态历经的。