高等数学重要公式

《高等数学》（专科升本科）复习资料

一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材

高等数学（一）第3版本书编写组高等教育出版社

二、复习内容及方法：

第一部分函数、极限、连续

复习内容

函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、

介值定理与零点存在定理。

复习要求

会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数

的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。

重要结论

1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函

数；奇函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数；

2. 单调有界数列必有极限；

3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不

一定收敛；

4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也

大于零；

5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与

无穷大量的乘积则有多种可能

6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；

7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。

重要公式

1. 若则

；

。

2. 两个重要极限公式

1）；2），。

3. 在求极限的运算中注意使用等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有：当

时，

。

第二部分一元函数微积分

复习内容

导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法则，微分的概念及计

算，罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定，函数的极值与极值点、最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。

复习要求

理解导数的定义，同时掌握几种等价定义，即

；掌握导数的几何意义，了解导数的物理意义；掌握连续与可导的关系，即连

续不一定可导，而可导一定连续；熟练掌握基本初等函数的导数公式与导数的

四则运算法则、反函数与复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法

则，掌握对数求导法与高阶导数的求法；理解微分的定义，明确一个函数可微

与可导的关系，即可微一定可导，反之一样；熟练掌握微分的四则运算和复合

函数的微分；理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几何意义；能熟

练运用洛必达法则求极限，必须记住使用洛必达法则的条件，同时应注意以下

几个问题：1.如果使用洛必达法则后，问题仍然是未定型极限，且仍满足洛必达

法则的条件，则可再次使用洛必达法则，2.如果在“0/0”型或“”型极限中含

有非零因子，该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以达到

简化运算的目的，3.如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合使用洛必达法

则，也可以达到简化运算的目的；会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方

程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的增减性，熟练掌握函数的极值与

最值的求法即需掌握以下步骤：1.求出函数的定义域，2.求出，

并在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点（驻点）3.判定驻点两侧

导数的符号，4.如果驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的符号

来判断极值，5.求最值时，只需求出所有的极值点与端点的值，最大（小）者即

为最大（小）值；掌握判断曲线的拐点、凹凸性的一般方法：1.求出

该函数的二阶导数，并求出其二阶导数等于零的点，2.同时求出二阶导数不存在

的点，3.判定上述各点两侧，该函数的二阶导数是否异号，如果在的

两侧异号，则（）为曲线的拐点，4.在的的取

值范围内，曲线是弧是下凹的，在的的取值范围内，曲线弧是上凸

的.；了解渐近线的定义，并会求水平渐近线与铅直渐近线，即，

则为曲线的水平渐近线，若，则称为曲

线的铅直渐近线；

重要结论

1. 如果函数在点的导数存在，则在几何上表明曲线

在点（）处存在切线，且切线的斜率为，且切线方程为

，

当时，法线方程为

，

2. 若函数在点处可导，那么函数在点处必定连续，反之不一定；

3. 函数在点可微的充分必要条件是在点处可导，且有

；

4. 罗尔定理：若函数满足以下条件：

1）在闭区间上连续，2）在开区间内可导，3），

则在开区间内至少存在一点，使得；

5. 拉格郎日中值定理：若函数满足以下条件：

1）在闭区间上连续，2）在开区间内可导，

则在开区间内至少存在一点，使得

。

重要公式

1. 设与在点可导，则

，

2. 设复合函数，若点处可导，在相应的点可

导，则复合函数在点处可导，且有链式法则

3. 设是由所确定，其中都为可导函数，且

，则

，

4. 在求导数时，有时要注意对数求导法的应用

5. 洛必达公式：当满足一定条件时，有

，

同时应注意可转化为“0/0”型或“”型的极限

第三部分一元函数积分学

复习内容

不定积分的概念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部积分公式与应用分部积分公式时应注意的一般原则，定积分的基本概念与基本性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形的面积，求旋转体体积。

复习要求

理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理；熟练掌握不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设具有原函数

存在连续导函数，则有换元公式

了解积分第二换元法；掌握分部积分公式，同时应注意在使用时应遵循的一般原则；理解定积分的定义与定积分的几何意义；熟练掌握定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式；熟练运用定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷区间上的广义积分的求法；会用定积分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。

重要结论

1. 若为在某区间上的一个原函数，则为的所有原函

数，称为的不定积分，记为；

2. 定积分表示一个数值，它只取决于函数与积分区间，与积分变量无关，

即；

3. 如果函数在区间上连续，则定积分必定存在；

4. 以及轴所围成的曲边梯形的面积等于；

5. 如果在区间上连续，则在上至少存在一点，使得

；

6. 如果在区间上连续，则积分上限函数在区间

内可导，且

；

7. 若是区间上的连续函数，则

。

重要公式

1. 先积分后求导，作用抵消，即

先求导后积分，相差一个常数，即

2. 分部积分公式：

3. 牛顿-莱布尼茨公式：1）如果在区间上连续，2）为在

内的一个原函数，则

。

4. 定积分的换元公式：设在区间上连续，函数满足以下条件：

1）

2）在上为单值、有连续导数的函数，则有

。