2020湖南省永州市中考数学试卷及答案解析

2020年湖南省永州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）

1．（4分）﹣2020的相反数为（）

A．﹣B．2020C．﹣2020D．

2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）

A．注意安全B．水深危险

C．必须戴安全帽D．注意通风

3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）

A．6.353×105人B．63.53×105人

C．6.353×106人D．0.6353×107人

4．（4分）下列计算正确的是（）

A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2

C．a6?a3＝a9D．（a3）2＝a5

5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9

6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA

7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：

①P A＝PB；

②OP⊥AB；

③四边形OAPB有外接圆；

④M是△AOP外接圆的圆心．

其中正确说法的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）

A．B．25C．35D．63

9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左

视图的面积是（）

A．4B．2C．D．2

10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式

d ＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，

1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）

A ．

B ．﹣1

C ．﹣1D．2

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．

12．（4分）方程组的解是．

13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”

安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：

80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60

成绩90≤x≤

100

人数2515541

根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．

15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．

16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．

17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．

18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．

20．（8分）先化简，再求值：（﹣?）?（a+2），其中a＝2．

21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整．

（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”

知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．

23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？

（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？

24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交

AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线．

（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．

25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．

①求△CMN面积的最小值．

②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q

关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左

平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．

2020年湖南省永州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）

1．（4分）﹣2020的相反数为（）

A．﹣B．2020C．﹣2020D．

【解答】解：﹣2020的相反数为：2020．

故选：B．

2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）

A．注意安全B．水深危险

C．必须戴安全帽D．注意通风

【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：

选项A、B、C中的图形是轴对称图形，

选项D不是轴对称图形．

故选：D．

3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）

A．6.353×105人B．63.53×105人

C．6.353×106人D．0.6353×107人

【解答】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．

则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．

故选：C．

4．（4分）下列计算正确的是（）

A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2

C．a6?a3＝a9D．（a3）2＝a5

【解答】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；

a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；

a6?a3＝a9，故选项C正确；

（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．

故选：C．

5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9

【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，

所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，

方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，

故选：A．

6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA

【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，

∴△ABC≌△DCB（SAS），

故选：A．

7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：

①P A＝PB；

②OP⊥AB；

③四边形OAPB有外接圆；

④M是△AOP外接圆的圆心．

其中正确说法的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，

∴P A＝PB，所以①正确；

∵OA＝OB，P A＝PB，

∴OP垂直平分AB，所以②正确；

∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，

∴OA⊥P A，OB⊥PB，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴点A、B在以OP为直径的圆上，

∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；

∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，

∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．

故选：C．

8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）

A．B．25C．35D．63

【解答】解：∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴＝（）2＝（）2＝，

∴S△AEF＝S△ABC．

∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，

∴S△ABC＝25．

故选：B．

9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左

视图的面积是（）

A．4B．2C．D．2

【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，

∵AC＝2，

∴AD＝1，AB＝AD＝2，

∴BD＝，

∵左视图矩形的宽为2，

∴左视图的面积为2．

故选：D．

10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）

A．B．﹣1C．﹣1D．2

【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，

根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，

∴PQ＝﹣1，

故选：B．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．

【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，

解得x≠3．

故答案为：x≠3．

12．（4分）方程组的解是．

【解答】解：，

①+②得：3x＝6，即x＝2，

把x＝2代入①得：y＝2，

则方程组的解为，

故答案为：

13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m ＞﹣4．

【解答】解：由已知得：

△＝b 2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，

解得：m＞﹣4．

故答案为：m＞﹣4．

14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”

安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：

成绩90≤x≤

80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60

100

人数2515541

根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．

【解答】解：600×＝480（人），

即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，

故答案为：480．

15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．

【解答】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．

故答案为．

16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1

＝25°，则∠2＝35°．

【解答】解：过点B作EF∥a．

∵a∥b，

∴EF∥a∥b．

∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．

∵△ABC是含30°角的直角三角形，

∴∠ABC＝60°．

∵∠ABF+∠CBF＝60°，

∴∠2＝60°﹣25＝35°．

故答案为：35°．

17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为6．

【解答】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），

∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，

∴OB＝AB＝OD＝CD＝，

∴S△ABD＝BD?AB＝×2×＝6，

故答案为：6．

18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．

【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，

此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，

连接OP′，OP″，OP，

∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），

∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，

∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，

∴∠P′OP″＝120°，

过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，

∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，

∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，

则△PMN周长的最小值是5．

故答案为：5．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．

【解答】解：原式＝1+2×﹣2

＝1+1﹣2

＝0．

20．（8分）先化简，再求值：（﹣?）?（a+2），其中a＝2．【解答】解：原式＝[﹣?]?（a+2）

＝[﹣]?（a+2）

＝﹣

＝，

当a＝2时，

原式＝＝1．

21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整．

（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），

∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），

补全图形如下：

（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，

n%＝×100%＝5%，即n＝5；

B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，

故答案为：15，5，252°；

（3）画树状图如下：

共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，

∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．

22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．

【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：

作AD⊥BC于D，如图：

则∠ADB＝∠ADC＝90°，

由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，

∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，

∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；

（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，

∵BC＝3×30＝90，

∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，

在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；

答：A，C之间的距离约为79.50海里．

23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？

（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？

【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有

＝，

解得x＝2，

经检验，x＝2是原方程的解，

x+10＝2+10＝12．

故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；

（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有

2y+12（2000﹣y）≤10000，

解得y≥1400．

故至少购进一次性医用外科口罩1400只．

24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线．

（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．

【解答】证明：（1）如图，连接OC，OE，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵E为BD的中点，

∴BE＝CE＝DE，

∴∠ECB＝∠EBC，

∵BD与⊙O相切于点B，

∴∠ABD＝90°，

∴∠OBC+EBC＝90°，

∴∠OCB+∠ECB＝90°，

∴∠OCE＝90°

∴OC⊥CE，

又∵OC为半径，