高中数学二项式定理高考复习
1 / 11 / 1
课题：二项式定理
一、知识要点
1.二项式定理
一般地,对于任意整数n ,都有n n n n n n n n b C b a C a C b a ++=+-110)(,这个公式叫做二项式定理.
【注意】⑴等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式;
⑵),2,1,0(n r C r n =叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数r n C 一定为正,而项的系数与b a , 的系数有关,正负不能确定.
⑶公式右边共有1+n 项,比二项式的次数n 大1.
⑷各项的次数都等于二项式的幂指数n ;字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0,字母b 按升幂排列,次数由0递增到n .
⑸二项式定理表示一个恒等式,对于任意的b a ,,该等式都成立.通过对b a ,取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便.
令x b a ==,1,则得到一个比较常用的公式: n n n n n
n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(； 若令1,1==b a
,则得到一个组合数恒等式: n n n n n n C C C C ++++= 2102； 2.二项展开式的通项
二项展开式的第1+r 项),2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+叫做二项展开式的通项.
【注意】⑴它表示二项式展开的第1+r 项,该项的二项式系数是r n C ,而不是1+r n C ;
⑵字母b 的次数和组合数的上标相同;
⑶a 与b 的次数之和为n ;
⑷n 是常量,n r ,,2,1,0 =是变量;
⑸公式中第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒;
⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;
⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着
广泛的应用. 3.二项式系数的性质
一般地, n b a )(+展开式的二项式系数n
n n n n C C C C 210,,有以下性质
⑴r n n r n C C -=;⑵r n r n r n C C C 11+-=+;
1 / 11 / 1
⑶当21- 1->n r ,r n r n C C <+1,即当n 为偶数时,二项式系数中, 2n n C 最大;当n 为奇数时, 二项式系数中, 21 -n n C 和21 +n n C （两者相等）最大. ⑷n n n n n n C C C C 2210=++++ ； ⑸131202-=++=++n n n n n C C C C ,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和, 二、金典题型 题型一:通项公式的应用 求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 【?例1】已知在n x x ??? ? ?-3321的展开式中,第6项为常数项. ⑴求n ;⑵求含2x 的项的系数;⑶求展开式中所有的有理项. 点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件（n ,r 均为非负整数,r n ≥））;第二,根据所求的指数,再求所求解的项. 【?例2】若n x x ??? ? ?+1展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.10 B.20 C.30 D.120 1 / 11 / 1 题型二:系数最大值问题 在求展开式中系数最大项时,可设第1+r 项的系数为1+r t 最大,则利用???≥≥+++2 11r r r r t t t t ,解不等式组即可得出. 【?例3】已知()n x x 2323+展开式各项系数和比它的二项式系数和大992. ⑴求展开式中二项式系数最大项; ⑵求展开式中系数最大项. 点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用1+r T 来求,而二项式系数能直接写出. 【变式训练】 1. ()n x 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 题型三:赋值法的应用 对形如()n b ax +、()m c bx ax ++2),,(R c b a ∈的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法, 只需令1=x 即可;对()n by ax +),(R b a ∈的式子求其展开式各项系数之和,只需令1==y x 即可. 【?例4】已知()7722107 21x a x a x a a x ++++=- . 1 / 11 / 1 ⑴求721a a a +++ ;⑵7531a a a a +++;⑶6420a a a a +++;⑷||||||||7210a a a a ++++ . 【变式训练】 2.对于12 212??? ??-x x 的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之和. 三、基础落实 1.二项式5 21??? ? ?+x x 展开式中,x 的系数为（ ）A.5 B.10 C.20 D.40 2.如果n x x ??? ??-2323的展开式中含有非零常数项,则正整数n 可能是（ ）A.6 B.8 C.9 D.10 3.已知n x x ?? ? ??-1的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（ ）A.15 B.-15 C.20 D.-20 4.若n x x ?? ? ??-13展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.-540 B.-162 C.162 D.540 5.在n x x ??? ??-312的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ）A.-7 B.7 C.-28 D.28 6.在n x x ??? ? ?+2的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于（ ） A.3 B.6 C.9 D12 7. 61??? ? ?-x mx 的展开式中3x 的系数为15.则m 的值为 . 8.若)(*6271327N n C C n n ∈=++,则n x x ??? ? ?-32的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 9.已知92??? ? ??-x x a 的展开式中,3x 的系数为94,则常数a 的值为 . 10.6)21(x -展开式中,所有项的系数之和为 ;6 3)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为 . 1 / 11 / 1 四、课堂小结与作业 1.“各项的二项式系数”是指),,2,1,0(n i C i n =,而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1 时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的. 2.二项式系数之和为n n n n n n C C C C ++++= 2102;各项系数之和是每项的所有系数之和. 3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一. 4.注意r r n r n r b a C T -+=1表示的是二项式展开式中的第1+r 项,而非第r 项,此式为二次展开式的通项. 【作业】见复印件 选修2-3 1.3.1 二项式定理 一、选择题 1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2(n ＋1) 2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( ) A ．C r n B ． C r ＋1n C ．C r －1n D ．(－1)r －1C r －1n 3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27 C 410 C ．－9C 610 D ．9C 410 4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 5．在? ?? ??2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．5 C ．8 D ．10 6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297 D ．207 7．(2009·北京)在? ?? ??x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2 9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是 ( ) A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜25 10．在? ????32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项 二、填空题 11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________． 12．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________． 13．若? ?? ??x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________． 三、解答题 15．求二项式(a ＋2b )4的展开式． 16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数． 17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项． 圆梦教育中心二项式定理历年高考试题 一、填空题( 本大题共24 题, 共计120 分) 1、(1+2x)5的展开式中x2的系数是。（用数字作答） 2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是. 3、已知,则(的值等于。 4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。（用数字作答） 6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 7、的二项展开式中常数项是。(用数字作答). 8、(x2+)6的展开式中常数项是。(用数字作答) < 9、若的二项展开式中的系数为，则。（用数字作答） 10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。 11、（x+）9展开式中x3的系数是。（用数字作答） 12、若展开式的各项系数之和为32，则n= 。其展开式中的常数项为。（用数字作答） 13、的展开式中的系数为。(用数字作答) 14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= 。 15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为. 16、的展开式中常数项为; 各项系数之和为.（用数字作答） 17、(x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答) 18、(1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________. < 19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________. 20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________. 21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝. 22、(x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答) 23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________. 24、展开式中x的系数为. 二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3 +C 44(－ 2b )4 =a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例2】展开(2x － 223x )5 . 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2 23x )3+ C 4 5 (2x )(－223x )4+C 55(－2 23x )5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x －223x )5=105 332)34(x x =10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5 ］ = 10 321 x (1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－ r (－3)r . 令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4 10. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项 二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数 年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得，令,则，所以 故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, % 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】 决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为 __________． ' 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解： 的展开式为： ，当 ，时，，当 ， 时，，据 此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】 试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 ￥ A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C 、基本知识点 n On 1n 1. 1 rnrr nn, 1、二项式疋理：(a b) Ca 6a b C.a b C n b (n N ) 2、几个基本概念 (1)二项展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式 (2)项数：二项展开式中共有n 1项 (3)二项式系数：C n (r 0,1,2, ,n)叫做二项展开式中第r 1项的二项式系数 (4)通项：展开式的第r 1项，即T r 1 C；a n r b r (r 0,1, ,n) 3、展开式的特点 (1) 系数都是组合数，依次为c,,c：,c n,…,c n (2) 指数的特点①a的指数由厂0(降幕)。 ②b的指数由0 * n (升幕)。 ③a和b的指数和为n。 (3) 展开式是一个恒等式，a, b可取任意的复数，n为任意的自然数。 4、二项式系数的性质： (1)对称性： 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等?即C m c：m (2)增减性与最值 二项式系数先增后减且在中间取得最大值 n 当n是偶数时，中间一项取得最大值c n2 n 1 n 1 当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值=CF 二项式定理 c0 c1 c2 (3)二项式系数的和：Cn Cn Cn Cn C：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和2n 即C0+Cn+L W + L =2n-1 二项式定理的常见题型 一、求二项展开式 1?“ (a b)n”型的展开式 例1?求(3 . x1 )4的展开式；a J x 2. “(a b)n”型的展开式 —1 例2?求)4的展开式； J V 3?二项式展开式的“逆用” 例3?计算 1 3C：9C2 27 C3 .... ( 1)勺匕：； 二、通项公式的应用 1.确定二项式中的有关元素 例4.已知(￡.. X)9的展开式中x3的系数为9，常数a的值为_______________ x \ 2 4 2.确定二项展开式的常数项 例5. (-x 31 )10展开式中的常数项是_________________ 3' X 二项式定理 【2011?新课标全国理，8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【答案】D 【最新考纲解读】 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二 项式系数；展开式共有n +1项. 注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1 时，系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第 3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ m n m n n C C- = ）． 【方法技巧提炼】 (2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、 的通项公式，综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246 答案： D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 . 答案： 632 例5 若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ，则2 a的值为（） 1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得，令,则， 所以 故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】 决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________． 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时， ，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】 试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】 8.【2017浙江，13】已知多项式() 1x +3 ()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则 4a =________，5a =________． 二项式定理典型例题-- 例1 在二项式n x x ?? ? ??+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数． 分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开． 解：方法一：[]6 262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4 4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5 x 项的系数为6． 例3 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n ； （2）)12(1 1C 11C 31C 21C 1210 -+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 n n n n n n 2C C C C 210 =++++ ． 解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-? =k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边． （2）)! ()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+ 11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 1 1C 11C 11++++++++++= n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 例4 展开5 2232??? ? ?-x x ． 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开． 解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即 ∑=-?+=++=++100101010 10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开， 不同的乘积k k k z y x C ?+-1010) (（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)(（10,,1,0 =k ）． 其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定， 二项式定理知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二项式定理 ()n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100+?++?++=+--( )* N n ∈. 展开式具有以下特点： （1）项数：共1+n 项. （2）二项式系数：依次为组合数n n n n n C C C C ，?,,,2 1 . （3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地， ()n n n n n n x C x C x C x +?+++=+22111. 二、二项式展开式的通项（第1+r 项） 二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ?=.其中r n C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1， 可得1+r T 的系数. 注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清r r n r n b a C -是第1+r 项，而不是第r 项； ②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T r n r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的 情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数 二项式系数仅指n n n n n C C C C ，?,,,2 1 而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如： ()n x +2的展开式中，含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而r x 的系数应该是 r n r n C -2（即含r x 项的系数）. （2）二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，r n n r n C C -=. ②二项展开式中间项的二项式系数最大. 如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12+n 项，其二项式系数n n C 2 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第 12 1 ++n 项，它们的二项式系数21-n n C 和21 +n n C 相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和 011+12n n n n n n C C C ++?+==（） . 二项式定理的高考常见题型及解题对策 浙江省温州22中学 高洪武 325000 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。 题型一：求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4 )13(x x + 的展开式； 解：原式=4 )13( x x += 2 4 ) 13(x x + = ])3()3()3()3([144 3 4 2 2 4 3 1 4 4 42 C C C C C x x x x x ++++ = )112548481(12 3 4 2 ++++x x x x x =5411284812 2 ++ + +x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4 )13(x x - 的展开式； 分析：解决此题，只需要把4 )13(x x - 改写成4 )]1(3[x x - +的形式然后按照二 项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3 )1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 3 3 2 2 1 1 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 题型二：求二项展开式的特定项 二项式定理典型例题-- 典型例题一 例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17页 系数和为n 3． 典型例题四 例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 二项式定理展开的特殊项 例 在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数． 题型二 求参数的值 例 若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值． 题型三 展开项的系数和 例 已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B 【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10 12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r r r r r r r r x C x C T -???-=--??=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ， ∴()1802128108 8=??-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解 【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型 题型四 二项式定理中的赋值 二项式()932y x -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 【答案】（1）9 2 （2）-1 （3）2 159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919 092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9) 9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2 15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和． 【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值 【巩固训练】 题型一 二项式定理展开的特殊项 1.在 ()10 2-x 的展开式中，6x 的系数为（ ） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C - 【答案】A 二项式定理 一、基本知识点 1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ΛΛ 2、几个基本概念 （1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项 （3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n Λ=叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r Λ==-+ 3、展开式的特点 （1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C n n (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。 ②b 的指数由0 n （升幂）。 ③a 和b 的指数和为n 。 (3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。 4、二项式系数的性质： （1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值 二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C （3）二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210=+???++???+++∴L L 0213n-1 n n n n C +C +=C +C +=2 二项式定理的常见题型 一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x +的展开式；a 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x x -的展开式； 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9 ，常数a 的值为 2．确定二项展开式的常数项 1.2018 年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】 C 【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得，令, 则， 所以 故选 C. 2. 【2018 年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】 7 【解析】分析 : 先根据二项式展开式的通项公式写出第r +1 项，再根据项的次数 为零解得 r ，代入即得结果 . 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3. 【2018 年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】 决问题的关键． 4．【山西省两市 2018 届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】 B 5．【安徽省宿州市2018 届三模】的展开式中项的系数为__________． 【答案】 -132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时， ，据此可得：展开式中项的系数为. 6.【2017 课标 1，理 6】(1 1 6 展开式中 2 的系数为x 2 )(1 x) x A． 15 B． 20 C． 30 D． 35 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 (1 1 2 )(1 x)6 1 (1 x)6 12 (1 x)6，则 (1 x)6展开式中含 x2的项为x x 1 C62x 2 15 x2，1 2 (1 x) 6展开式中含 x2 的项为 1 2 C64 x4 15x2，故 x2前系数为x x 15 15 30 ，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同 . 7. 【 2017 课标 3，理 4】x y 2x 5 y的展开式中 x 3y3的系数为 A．80 B．40 C． 40 D． 80 【答案】 C 【解析】 8. 【 2017 浙江， 13 】已知多项式x 13x 22= x5 a1x4 a2 x3 a3x2 a4 x1 a5，则 a4=________， a5=________． 学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 （包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 二项式定理的十一种考题解法 1．二项式定理： 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用 1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ， 是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即0n n n C C =，···1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为 0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11 222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项 式系数1 2n n C -,12n n C +同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?， 绵阳市开元中学高2014级高三复习 《二项式定理》 知识点、题型与方法归纳 制卷：王小凤 学生姓名：___________ 一．知识梳理 1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N * )这个公式所表示的定 理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数 C r n (r ＝0,1，…，n )叫 二项式系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . (3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n . 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r n n C C -= (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项 1122n n n n C C -+=取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1 . 一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项 式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例 【题型一】求()n x y +展开特定项 例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解：由条件得 C 5n 35＝C 6n 36，∴ n ！ 5！（n －5）！ ＝ n ！6！（n －6）！ ×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B. 例2：(2014·大纲)? ????x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答) 解：? ????x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8? ????x y 8－r ? ????－y x r ＝()33842281r r r r C x y ---， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 4 8＝70.故填70. 【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项 例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74 D ．－121 解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 3 8(－1)3＝－121. 【题型三】求()()m n a b x y +?+展开特定项 例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax · C 1 5x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.(完整word)高中数学二项式定理练习题
二项式定理历年高考试题荟萃
(完整版)二项式定理典型例题解析
二项式定理知识点总结
二项式定理高考题(带答案)
二项式定理知识点及典型题型总结
(推荐)高中数学二项式定理
(完整版)二项式定理高考题(带答案)
二项式定理典型例题
二项式定理知识点及题型归纳总结
二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理典型例题
2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练及参考答案
二项式定理知识点及典型题型总结
(完整版)二项式定理高考题(带答案).doc
2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
二项式定理的十一种考题解法
高三复习：二项式定理-知识点、题型方法归纳