共线向量与平面向量基本定理

§5-2共线向量与平面向量基本定理

2018年1月1日

1.实数与向量的积

设#»a 是一个非零向量，则2#»a 表示与#»a 方向相同且长度为#»a 的2倍的向量，12

#»a 表示与#»a

方向相同且长度为#»a 的12的向量.类似地，−3#»a 表示与#»a

方向相反且长度为#»a 的3倍的向量，−23#»a 表示与#»a 方向相反且长度为#»a 的23倍的向

量（如图5-2-1）.

一般地，实数λ与向量#»a 的积是一个向量，记作λ#»a ，它的长度

与方向规定如下：

（1） λ#»a = λ #»a ；

（2）当λ>0时，λ#»a 的方向与#»a

的方向相同；当λ<0时，λ#»a 的方向与#»a 的方向相反；当λ=0时，λ#»a =#»0.

#»a #»12#»−3#»23

#»图5-2-1

2.运算律

（1）对数因子的交换律：λµ#»a =µλ#»a

；（2）对数因子的结合律：λ(µ#»a )=(λµ)#»a

；（3）向量对数因子的分配律：(λ+µ)#»a =λ#»a +µ#»a

；（4）数因子对向量的分配律：λ(#»a +#»b )=λ#»a +λ#»b .

3.共线定理

定理向量#»b 与非零向量#»a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得#»b =λ#»a

.4.平面向量基本定理

物理中的力既有大小，又有方向，因此力是向量.

我们知道，力可以进行合成和分解.一个力可以分解为两个不共线的力.一般地，一个向量也可以分解

为两个不共线的向量的和（如图5-2-2）.

图5-2-2

平面向量基本定理

如果#»e 1

、#»e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量#»a ，有且只有一对实数λ1

、λ2，使#»a λ1#»e 1+λ2#»e 2.【例1】如图5-2-3，ABCD 的两条对角线交于点M ，且# »AB =#

»a ，# »AD =#»b ，用#»a 、#»b 表示# »MA 、# »MB 、# »

MC 和#

»MD .A

C 图5-2-3

变式1

如图5-2-4，

，ABCD 的两条对角线交于点M ，且# »MA =#

»a ，# »MB =#»b ，用#»a 、#»b 表示# »AB 、# »AC 、# »

AD .

A

C

图5-2-4

【例2】如图5-2-5，# »

OA、

# »

OB不共线，

# »

AP=t

# »

AB(t∈R)，用

# »

OA、

# »

OB表示

# »

OP.

O

图5-2-5

变式2

（1）（2015课标I理7）设D为△ABC所在平面内一点，# »

BC=3

# »

CD，则（）

（A）# »

AD=−

1

3

# »

AB+

4

3

# »

AC（B）

# »

AD=

1

3

# »

AB−

4

3

# »

AC

（C）# »

AD=

4

3

# »

AB+

1

3

# »

AC（D）

# »

AD=

4

3

# »

AB−

1

3

# »

AC

（2）（2013四川理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，# »

AB+

# »

AD=λ

# »

AO，

则λ=.

（3）（2013江苏10）设D，E分别是△ABC的边AB，BC，上的点AD=1

2

AB，BE=

2

3

BC..若

# »

DE=λ1# »

AB+λ2

# »

AC（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为.

【例3】（2014全国新课标I 文6）设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则# »EB +# »F C =（）

（A ）# »BC （B ）12# »AD （C ）# »AD （D ）12

# »BC 变式3（2010湖北理5）已知△ABC 和点M 满足# »MA +# »MB +# »MC =#»

0.若存在实数m 使得# »AB +# »AC =m # »

AM 成立，则m =（）

（A ）5

（B ）4

（C ）3

（D ）2

【例4】P 为△ABC 内一点，且满足# »P A +2# »P B +3# »P C =#»

0，则△ABC 的面积与△AP C 面积之比

是

（

）

（A ）2:1

（B ）3:1

（C ）4:1

（D ）5:2

变式4

已知O 为△ABC 内一点，若# »OA +# »OC =−3# »

OB ，则△AOB 与△AOC 的面积的比值为

（）

（A ）1

3（B ）23（C ）1

（D ）43