2010-2011《概率论》考试试卷答案1

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2010-2011学年第 1 学期 考试科目： 概率论 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

一、 填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1、事件A 在4次独立重复试验中至少成功一次的概率为81

80

，则事件A 在一次试验中成功的概率为_______

3

2

__________. 2、三个人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.2、1/3、0.25．则密码被破译的概率为_________0.6________.

3、设随机变量X 的分布函数0,

0.4,()0.8,

1,

F x ???=???? 111

13

3x x x x <--≤<≤<≥，则{1}P X ==__0.4______. 4、连续型随机变量(),0),(~>λλE X 则=k _____

λ

2

ln 时，4

1

)2(=

<

[0,6],X U 2X 服从参数3λ=的泊松分布，记123Y X X =-，则DY =____30________.

6、若随机变量ξ在[1，5]上服从均匀分布，则方程210X X ξ++=有实根的概率为_3/4___.

7、如果公共汽车车门的高度按男子碰头率在1％以下设计，而成年男子的身高 服从正态分布(165,36)N (cm)，则公共汽车车门的高度应为___178.98cm 或179cm__.(已知(2.33)0.99Φ=)

8、设某工厂生产的圆盘其直径在区间(,)a b 上服从均匀分布,则该圆盘面积的数学期望为____

22()12

b ab a π

++_____________.

二、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

1、设A ，B 为任意两个事件，0)(,>?B P B A ，则下式成立的为（ B ）

(A) B)|()(A P A P < (B) B)|()(A P A P ≤ (C) B)|()(A P A P > (D) B)|()(A P A P ≥ 2、下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为：( D )

(A) ???∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f (B) ?????<=其他

,

02,

2

1

)(x x f

(C) ?

????<≥=--0,

00

,21)(2

2

2)(x x e x f x σμπσ (D) ???<≥=-0,00,)(x x e x f x

3、设某连续型随机变量X

的概率密度为2

21

()x

x f x -+-=，则下列结论正确的

是（ A ） (A) 1

()1,()2

E X D X ==

(B) ()2,()1E X D X == (C) ()0,()2E X D X == (D) ()1,()2E X D X =-= 4、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为

010.20.8X P 01

0.20.8Y P

则有( C ).

(A) ()0;P X Y == (B) ()0.4;P X Y == (C) ()0.68;P X Y == (D) () 1.P X Y == 5、设A ，B 是两个随机事件，()()()

245

,,556

P A P B P B A =

==，则（ C ） ()()

()()

()()

()()

1

35122

4

8

25

A P A

B B P A B

C P A B

D P A B =

=

=

=

三、解答题（本大题共 6 小题，1-4每小题 10 分，第5题15分，第6题6分，共 61 分）

1、设离散型随机变量X 只取1、

2、3三个可能值，取各相应值的概率分别是1

4

,a -,2a ,求随机变量X 的概率分布函数. （10分） 解：由2114a a -+=得1231

().22

a a ==-或舍去…………………………4分

即111

(1),(2),(3).424

P X P X P X ======………………………………2分

所以

0,10,12(1)2()()(1)(2)3341313x x x P X x F x P X x P X P X x x x x

=≤

当时当时

1，当1时，当1时4

3，当2时，当2时，当时，当时

…4分

2、设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的20%，50%，30%，而且各车间的次品率依次为6%，4%，3%.现从待出厂的产品中任意取一个检查，问：（1）该产品是次品的概率？（2）如果该产品是次品，则该产品是由乙车间生产的概率有多大？（10分）

解：设B={该产品是次品}，123A A A 、、分别表示该产品由甲、乙、丙三个车间生产，则 ………………………………………………………………………1分

123123()0.2,()0.5,()0.3;

(|)0.06,(|)0.04,(|)0.03.

P A P A P A P B A P B A P B A ====== ………………………2分

（1） 由全概率公式有

112233()()(|)()(|)()(|)0.20.060.50.040.30.030.041.

P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=?+?+?= ………………4分

（2） 由贝叶斯公式有 222()(|)0.50.0420

(|)0.4878.()0.04141

P A P B A P A B P B ?=

===…………………3分

3、设随机变量X 的概率密度函数为21

(),(),(1)

X f x x x π=

-∞<<+∞+

求随机变量

1Y =-().Y f y （10分）

解：设Y 的分布函数为()Y F y ，则

33

3

()()(1)((1))1((1))1[(1)].

Y X F y P Y y P y P X y P X y F y =≤=-≤=≥-=-≤-=--……………………5分

所以，

322326

()()[(1)]3(1)(1)3(1)[(1)]1

3(1).()(1(1))

Y Y X X f y F y f y y y f y y y y π'==--?-?-=--=-?

-∞<<∞+-……5分

4、设随机变量X 的概率密度为：(),0220,

a a x x f x ?-<

=???其余，求：

（1） 常数a 的值；（2分） （2） X 的分布函数()F x ；（4分）

（3） 条件概率112P X X ??

>≤????

。（4分）

解：（1）

()2

2

200

124a a f x dx a x dx ax x a +∞

-∞

???

?=-=-== ? ??????

? （2分） 即()1

1,02

20,

x x f x ?-<

()()20,

0,

0241,

2

x

x x F x f x dx x x x -∞

?

==-≤

（4分）

（3）{}()()11111522121112P X F F P X X P X F ????<≤-?? ?

??????>≤===??≤??

（4分） 5、设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为：

1

,03

()30,X x f x ?≤≤?=???其他

33,0

()0,0

y Y e y f y y -?>=?≤?

试求：

(1) (X,Y)的联合密度函数；（5分） (2) 概率()P Y X <；（5分） (3) 试求()D X Y -。（5分）

解：（1）因为随机变量X ，Y 相互独立，……………………………………2分 所以它们的联合密度函数为：

3,03,0

(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -?≤≤>==??

其他 ……………………… ………3分

（2）{}(,)y x

P Y X f x y dxdy <<=

??

3

30

0[]x y e dy dx -=?? ………………………………………3分 3

30

(1)x e dx -=-?

339

181()333x x e e --=+=+ ()91

83e -=+ …………………………………………2分 （3）301332EX xdx ==?；()32

2330011339

E X x dx x ===?； 所以()()2

22333()24

DX E X EX =-=-=；………………………2分

3333000011333

y y y

y EY y e dy ye e dy e ∞∞--∞--∞=?=-+=-=?? 2

230239y EY y e dy ∞-=?=?

()()

2

2

2211

939

DY E Y EY ??=-=-= ??? ………………………………2分 所以

3131

()()()4936

D X Y D X D Y -=+=

+=

…………………………………1分 [解法二]

由密度函数可知~(0,3),(3)X U Y E ，所以，

22(30)311

(),(),12439

D X D Y -====……………………………………3分

所以

3131

()()()4936

D X Y D X D Y -=+=

+=

…………………………………2分 6、某学院有400名学生参加全国大学生英语四级考试，按历年的资料统计，该

考试的通过率为0.8。试计算这400名学生中至少有300人通过的概率。（10分） （已知(2.5)0.9938Φ=）

解：记：1,0,i X ?=??第i 个人通过考试第i 个人未通过考试

，i=12400.，，…，……………1分

由题设，这400名学生通过考试的人数400

1

i i X =∑服从二项分布(400,0.8)B ，由de

Moivre —Laplace 中心极限定理, 近似地有

400

1

320

~(0,1).8

i

i X

N =-∑…………………………2分

所以

4004001

13203003203001( 2.5)(2.5)0.9938.88i

i i i X P X P ==??

- ?-?? ?≥=≥

≈-Φ-=Φ= ? ???

???

∑∑ ………………………………………………3分