2013年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年福建，文1】复数12i z =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】C

【解析】在复平面内，12i z =--对应点的坐标为(12)--，

，故选C ． （2）【2013年福建，文2】设点(,)P x y ，则“2x =且1y =-”是“点P 在直线:10l x y ++=上”的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】点(2，-1)在直线l ：x +y -1=0上，而直线l 上的点的坐标不一定为(2，-1)，故“x =2且y =-1”是“点P 在直

线l 上”的充分而不必要条件，故选A ．

（3）【2013年福建，文3】若集合{1,2,3},{1,3,4}A B ==，则A B 的子集个数为（ ）

（A ）2

（B ）3 （C ）4 （D ）16

【答案】C 【解析】由题知{}1,3A B = ，故它的子集个数为224=，故选C ．

（4）【2013年福建，文4】双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

（A ）1

2

（B

（C ）1 （D

【答案】B

【解析】221x y -=的渐近线方程为y x =±，顶点坐标为()1,0±，点()1,0±到y x =±

==， 故选B ．

（5）【2013年福建，文5】函数2()ln(1)f x x =+的图象大致是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A

【解析】由()00f =可知函数图象经过原点．又()()f x f x -=，所以函数图象关于y 轴对称，故选A ． （6）【2013年福建，文6】若变量,x y 满足约束条件2

1

0x y x y +≤??≥??≥?

，则2z x y =+的最大值和最小值分别为（ ） （A ）4和3 （B ）4和2 （C ）3和2 （D ）2和0 【答案】B

【解析】画出可行域如下图阴影部分所示．画出直线20x y =＋，并向可行域方向移动，当

直线经过点()1,0时，z 取最小值．当直线经过点()2,0时，z 取最大值． 故2204max z =?=＋，2102min z =?=＋，故选B ．

（7）【2013年福建，文7】若221x y +=，则x y +的取值范围是（ ）

（A ）[0,2] （B ）[2,0]- （C ）[2,)-+∞ （D ）(,2]-∞- 【答案】

D

【解析】∵221x

y

=≥＋2

221x y ??

?≥??

＋，即222x y -≤＋．∴2x y ≤-＋，故选D ．

（8）【2013年福建，文8】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输

出的()10,20S ∈，那么n 的值为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B

【解析】若3n =，则输出7S =；若4n =，则输出15S =，符合题意，故选B ．

（9）【2013年福建，文9】将函数()sin(2)()22

f x x ππ

θθ=+-

<<的图象向右平移(0)??>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x

的图象都经过点P ，则?的值可以是（ ）

（A ）53π （B ）56π （C ）2π （D ）6

π

【答案】B

【解析】∵()f x

的图象经过点? ??

，∴sin θ=ππ,22θ??- ???∈，∴π3θ=．∴()πsin 23f x =x ?

?+ ???． 由题知()π()sin 23g x f x x ????(-)+???=-?=

，又图象经过点? ??

，∴(

)π0=sin 23g ??

?-+= ???． 当5π6

?=时满足(

)0g =，故选B ．

（10）【2013年福建，文10】在四边形ABCD 中，(1,2),(4,2)AC BD ==-

，则该四边形的面积为（ ） （A

（B

） （C ）5 （D ）10 【答案】C

【解析】∵41220AC BD ?=?+?= ·

41220BD =-??= ＋，∴AC BD ⊥

．

12152

ABCD S AC BD ===

四边形，故选C ．

（11）【2013年福建，文11】已知x 与y 之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为???y

bx a =+．若某同学根据上表中前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y b x a ''=+，则以下结论正确的是（ ）

（A ）??,b b a a ''>> （B ）??,b b a a ''>< （C ）??,b b a a ''<> （D ）??,b b a a ''<< 【答案】C

【解析】123456762x +++++==，021*******

y +++++==，1

22

1

57n

i i i n

i

i x y nx y

b x

nx ==-==

-∑∑ ， 13

a y bx

=-=- ， 20221

b

b -=>-'=

， 2a a '=-<，故选C ． （12）【2013年福建，文12】设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是

（ ）

（A ）0,()()x R f x f x ?∈≤ （B ）0x -是()f x -的极小值点 （C ）0x -是()f x -的极小值点 （D ）0x -是()f x --的极小值点 【答案】D

【解析】由函数极大值的概念知A 错误；因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，所以0x -是()

f x -的极大值点．B 选项错误；因为()f x 的图象与()f x -的图象关于x 轴对称，所以0x 是()f x -的极小值

点．故C 选项错误；因为()f x 的图象与()f x --的图象关于原点成中心对称，所以0x -是()f x --的极小值点，故选D ．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）【2013年福建，文13】已知函数32,0

()tan ,02

x x f x x x π?

=?-≤<

??，则(())4f f π= ．

【答案】2-

【解析】∵ππtan 144f ??

=-=- ???，3121π2()()4f f f =-=????? ? ???-?

=-?．

（14）【2013年福建，文14】利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则事件“310a -<”发生的概率为 ．

【答案】1

3

【解析】由310a -<，得13a <．∵01a ≤≤，∴013

a ≤<．根据几何概型知所求概率为1

1

313=．

（15）【2013年福建，文15】椭圆22

22:1(0)x y a b a b

Γ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ．若直线l 与椭

圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 ．

1-

【解析】∵由)y x c =＋知直线的倾斜角为60?，∴1260MF F ∠=?，2130MF F ∠=?．∴1290F MF ∠=?．

∴1MF c =，

2MF =．又122MF MF a =＋

，∴2c a =

，即1e =

=． （16）【2013年福建，文16】设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足；

（i ）{()|}T f x x S =∈；（ii ）对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①*,A N B N ==；

②{|13},{|810}A x x B x x =-≤≤=-≤≤； ③{|01},A x x B R =<<=．

其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）． 【答案】①②③

【解析】①若1y x =+是从A 到B 的一个函数，且x A ∈，则满足（i ）(){|}B f x x A =∈．又()1f x x =+是单调

递增的，所以也满足（ii ）；②若()9722f x x =

-时，满足（i ）(){|}B f x x A =∈，又()9722f x x =-是单调递增的，所以也满足（ii ）③若()11tan π02x y x ??

??=- ????

?

()1tan π2f x x ??

??=- ????

???在()0,1上是单调递增的，所以也满足（ii ）．

三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2013年福建，文17】（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．

（1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围．

解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列，所以2111(2)a a =?+，

即21120a a --=，解得11a =-或12a =． （2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519

S aa >，所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<，解得152a -<<．

（18）【2013年福建，文18】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，

//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=?．

（1）当正视图方向与向量AD

的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图．（要求标出尺

寸，并画出演算过程）；

（2）若M 为PA 的中点，求证：//DM 面PBC ； （3）求三棱锥D PBC -的体积．

解：（1）在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD ==，

在Rt BEC ?中，由5BC =，4CE =，依勾股定理得：3BE =，从而6AB =，

又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥从而在Rt PDA ?中，由4AD =，60PAD ∠=?，

得PD =，正视图如右图所示： （2）解法一：

取PB 中点N ，连结MN ，CN ，在PAB ?中，M 是PA 中点，∴//MN AB ，1

32

MN AB ==，

又//CD AB ， 3CD =，∴MN CD ，MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形，∴//DM CN ．

又DM ?平面PBC ， CN ?平面PBC ，∴//DM 平面PBC ． 解法二：

取AB 的中点E ，连结ME ，DE ，在梯形ABCD 中，//BE CD ，且BE CD =，

∴四边形BCDE 为平行四边形，∴//DE BC ，又DE ?平面PBC ，BC ?平面PBC ， ∴//DE 平面PBC ，又在PAB ?中，//ME PB ，ME ?平面PBC ，PB ?平面PBC ， ∴//ME 平面PBC ．又DE ME E = ，∴平面//DME 平面PBC ，又DM ?平面DME ， ∴//DM 平面PBC ．

（3）1

3

D PBC P DBC DBC V V S PD --?==?，又6PBC S ?=

，PD =

，所以D PBC V -=

（19）【2013年福建，文19】（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，

25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，

[)90,100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

25周岁以上组 25周岁以下组

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的

频率；

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22?的列联表，并判断是

否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附：2

2

112212211212

n n n n n n n n n χ++++()=

解：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人

件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053?=（人），记为1A ，2A ，3A ；25周岁以下组 工人有400.052?=（人），记为1B ，2B ，从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是： 12(,)A A ，13(,)A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，其 中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，

31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ．故所求的概率：7

10P =．

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515?=（人），

所以得：2

1.79()()()()6040307014

K a b c d a c b d ===≈++++???，因为1.79 2.706<，

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

（20）【2013年福建，文20】（本小题满分12分）如图，在抛物线

2:4E y

x =的焦点为F ，准线l

与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的

交于不同的两点,M N ．

（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （2）若2AF AM AN =?，求圆C 的半径．

解：（1）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)

所以点C 到准线l 的距离2d =，又||CO ．所以||2MN ==．

（2）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为24222

0000()()416

y y x y y y -+-=

+，即2

2200202y x x y y y -+-=． 由1x

=-，得22002102y y y y -++=，设

1(1,)M y -，2(1,

)N y -，则：2

22000201244(1)24

0212

y y y y y y ??=-+

=->????=+??，

由2

||||||AF AM AN =?，得12||4

y y =，所以2

142

y +=，解得

0y =，此时0?>，

所以圆心C 的坐标为3(2或3(,2从而233||4

CO =

，|

|CO =C ．

（21）【2013年福建，文21】（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形OPQ ?中，90OPQ ∠= ，OP =，

点M 在线段PQ 上．

（1）若OM =PM 的长；

（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠= ，问：当POM ∠取何值时，OMN ?的面积最小？

并求出面积的最小值．

解：（1）在OMP ?中，45OPM ∠=?，OM =OP =

2222cos45OM OP MP OP MP =+-????，得2430MP MP -+=，解得1MP =或3MP =．

（2）设POM α∠=，060α?≤≤?，在O M P ?中，由正弦定理得sin sin OM OP

OPM OMP =∠∠，()

sin 45sin 45OP OM α?∴=?+， 同理()sin 45sin 75OP ON α?=?+，故1sin 2

OMN S OM ON MON ?=???∠()()

22

1sin 454sin 45sin 75OP αα?=??+?

+

()()

1

sin 45sin 4530αα=

?+?++?

=

??

==

=

因为060α?≤≤?，30230150α?≤+?≤?，所以当30α=?时，()sin 230α+?的最大值为1，此时OMN ? 的面积取到最小值．即230POM ∠=?时，OMN ?

的面积的最小值为8-

（22）【2013年福建，文22】（本题满分14分）已知函数()1x a

f x x e

=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）．

（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；

（3）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．

解：（1）由()1x a f x x e =-+，得()1x a

f x e

'=-．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，

得()10f '=，即10a

e

-=，解得a e =．

（2）()1x a

f x e

'=-，

①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值．

②当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>． 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值．

综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值． （3）解法一：

当1a =时，()11x f x x e =-+

，令()()()()1

11x

g x f x kx k x e =--=-+，则直线l ：1y kx =-与曲线 ()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，

11

11101k g k e -??

=-+< ?-??

，又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有 一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时，()1

0x g x e

=>，知方程()0

g x = 在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1． 解法二：

当1a =时，()1

1x f x x e

=-+．直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程

111x kx x e -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程：()1

1x k x e -=

（*） 在R 上没有实数解．

①当1k =时，方程（*）可化为1

0x e =，在R 上没有实数解．

②当1k ≠时，方程（*）化为1

1

x xe k =-．

令()x g x x e =，则有()()1x g x x e '=+．令()0g x '=，得1x =-， 当x 变化时，

g x '的变化情况如下表：

当1x =-时，()

min

1g x e =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围为1,e ??-+∞????

．

所以当

11

,

1

k e

??

∈-∞-

?

-??

时，方程（*）无实数解，解得k的取值范围是()

1,1

e

-．

综上，得k的最大值为1．