(2008-2015年)高校自主招生试题物理精选分类解析 专题05 动量和能量 含解析

一. 选择题

1、（2011年卓越自主招生）长为L ，质量为M 的木块静止在光滑水平面上。质量为m 的子弹以水平速度v 0射入木块并从中射出。已知从子弹射入到射出木块移动的距离为s ，则子弹穿过木块所用的时间为（ ）

A ．

0+L s v B ．01v L +(1+M

m

)s ] C ．

01v L +(1+m M )s ] D ．01v s +(1+M m

)L ] 【参考答案】：

D

2.（2011复旦大学）设土星质量为5.67×1026kg ，其相对于太阳的轨道速度为9.6km/s 。一空间探测器质量为150kg ，其相对于太阳的速率为10.4km/s 。并迎向土星飞来的方向飞行。由于土星的引力，探测器绕过土星沿着和原来速度相反的方向离去，则它离开土星后相对于太阳的速率为 A ．20km/s B ．29.6km/s C ．9.6km/s D ．4.8km/s 【参考答案】：B

【名师解析】：以探测器和土星组成的系统为研究对象，设探测器的速率为v 1，土星的速率为v 2，探测器绕

过土星后的速率为v1’，土星的速率为v2’，以探测器的初速度方向为正方向，由动量守恒定律，m v1-M v2= m v1’-M v2’，

由能量守恒定律：1

2

m v12+

1

2

M v22=

1

2

m v1’ 2+

1

2

M v2’ 2，

联立解得：v1’=-()

12

2

m M v Mv

m M

--

+

.

由于M>>m，所以v1’=( v1+2 v2)= 29.6km/s，选项B正确。

3. （2011复旦大学）质量为m的炮弹以一定的初速度发射，其在水平地面上的射程为d。若当炮弹飞行到最高点时炸裂成质量相等的两块，其中一块自由下落，则另一块的射程为

A．1.5d B．2d

C．d D．3d

【参考答案】：C

【名师解析】：设炮弹在最高点时的速度为v0，则v0t=d/2。炮弹炸裂过程动量守恒，有：m v0=1

2

mv。炸裂

后另一块以初速度v做平抛运动，水平位移为x=vt=2v0t=d。所以另一块的射程为0.5d+d=1.5d，选项A正确。

4.（2011复旦大学）在一根长的水平杆上穿着5个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们之间最多可以碰撞次。

A．4 B．5 C．8 D．10

【参考答案】：D

5.（2009清华大学）如图，忽略一切摩擦，弹簧压缩，物块M由静止释放，M至左端时即与小车固定，则

A．.M撞到左端后，小车静止

B ．.某一时刻小车可能向左运动

C ．小车一直静止不动. D. 小车可能一直向右运动 【参考答案】：A

二．填空题和实验题

1. (2013年卓越大学联盟)某同学用图ａ所示的实验装置验证碰撞中动量守恒，他用两个质量相等、大小相同的钢球A 、B 进行实验。首先该同学使球A 自斜槽某一高度由静止释放，从槽的末端水平飞出，测出球A 落在水平地面上的点P 与球飞出点在地面上垂直投影Ｏ的距离L OP 。然后该同学使球A 自同一高度由静止释放，在槽的末端与静止的球B 发生非对心弹性碰撞(如图b 所示)， 碰撞后两球向不同方向运动，测出两球落地点M 、N 与Ｏ点间的距离L OM 、L ON 。该同学多次重复上述实验过程，并将测量值取平均。

①下列关系正确的是___________________（填字母代号） A ．L OP =L OM +L ON B ．L OP L OM +L ON

②根据实验原理，试推导出OM 与ON 间夹角的大小。 【参考答案】．（1） ①B (2分)

②设球的质量为m ，碰撞前瞬间球A 的速度大小为v A ，碰撞后瞬间球A 、B 的速度大小分别为/

A v 、/

B v 。两球在碰撞过程中动量守恒，碰撞后两球动量的矢量和与碰撞前A 球动量的矢量相同，一定满足平行四边形定则，如图所示。

在弹性碰撞过程中，机械能守恒，因此有：

22//2

111222

A A

B mv mv mv =+ ① 设小球做平抛运动的时间为t ，则OP A L v t =

，/OM A L v t =，/

ON B L v t

=，由①式得， 222

OP OM ON L L L =+ ②

因此，OM 与ON 间的夹角为90°。

评分标准：明确说明该过程满足动量守恒得2分，①式2分，②式1分，判断出正确结果得1分。 【名师解析】：A 与静止的球B 发生非对心弹性碰撞，动量守恒，由于二球质量相等，碰撞后二球速度的矢量和等于碰撞前A 球速度。而用图ａ所示的实验装置实验，是用小球的水平位移等效替代小球速度，所以L OP

2．（2012年北约）质量为m 0 的小球，以初速v 0 与另一质量为 M （未知）的小球发生弹性正碰。若碰后 m 球的速度为v 0/2 且与原方向相反，则 M= ；若碰后 m 球速率为v 0/3且与原方向相同，则M= 。 【参考答案】：3m 0；m 0/2。

【点评】此题以小球弹性碰撞切入，意在考查动量守恒定律和能量守恒定律。

3. （2009上海交通大学）如图所示，在长为L 的轻杆的两端分别固定一个线度可忽略的质量分别为M=3m 和m 的小球，竖直放置在光滑的水平面上。因受到空气的扰动影响，系统倾倒。在M 落地的瞬间，M 的速度大小为v M = 。该过程中系统的质心相对于小球m 的位移大小为 。

【参考答案】L

三．计算题

1.(20 分) （2013北约自主招生）质量为M、半径为R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为m 的小青蛙(可处理成质点)，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为v x，竖直向上的分速度记为v y，合成的初始速度大小记为v，将圆盘后退的速度记为u。

(1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。

(1.1)对给定的v x，可取不同的v y，试导出跳起过程中青蛙所做功W 的取值范围，答案中可包含的参量为M、R、m、g(重力加速度)和v x。

(1.2)将(1.1)问所得W 取值范围的下限记为W0，不同的v x对应不同的W0值，试导出其中最小者W min，答案中可包含的参量为M、R、m 和g。

(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为W’，试求W’与(1.2)问所得W min间的比值γ=W‘/W min，答案中可包含的参量为M 和m。

(2) 设青蛙起跳速度为v ，青蛙跳起过程，水平方向动量守恒。由动量守恒定律， m v cos 45°=M u ， v cos 45°t=2R ， vsin45°=gt/2，

跳起过程中青蛙做功 W ’=21m v 2+2

1

Mu 2。 联立解得：W ‘=(1+

2m

M

)mgR 。 γ=W‘/W min =.(2+m M

).M M m

【点评】此题以小青蛙在水平圆盘跳跃切入，意在考查动量守恒定律、功、运动的合成和分解及其相关知识。此题需要运用数学知识求得功的极小值。

2.(18分) (2013年卓越大学联盟)如图所示，可视为质点的三个物块A 、B 、C 质量分别为m 1、m 2、m 3，三物块间有两根轻质弹簧a 、b ，其原长均为L 0，劲度系数分别为k a 、k b 。a 的两端与物块连接，b 的两端与物块只接触不连接。a 、b 被压缩一段距离后，分别由质量忽略不计的硬质连杆锁定，此时b 的长度为L ，整个装置竖直置于水平地面上，重力加速度为g 。

(1)现解开对a 的锁定，若当B 到达最高点时，A 对地面压力恰为零，求此时C 距地面的高度H ；

(2)在B 到达最高点瞬间，解除a 与B 的连接。并撤走A 与a ，同时解除对b 的锁定。设b 恢复形变时间极短，此过程中弹力冲量远大于重力冲量，求C 的最大速度的大小v 3(弹簧的弹性势能可以表示为21

2

p E k x =?，其中x ?为弹簧的形变量)；

(3)求C 自b 解锁瞬间至恢复原长时上升的高度h 。

3．（12分）（2012卓越自主招生）一质量为m=40kg的孩童，站在质量为M=20kg的长木板的一端，孩童与木板在水平光滑冰面上以v0=2m/s的速度向右运动。若孩童以a=2m/s2相对木板的匀加速度跑向另一端，并从端点水平跑离木板时，木板恰好静止。

（1）判断孩童跑动的方向；

（2）求出木板的长度L。

3．（12分）

【名师解析】：（1）孩童应沿着木板运动的方向跑动，即孩童开始时应站在木板的左端，向右跑。

（2）设孩童跑离木板时相对木板的速度为u，根据匀加速直线运动规律得

u2=2aL ○1

设孩童跑离木板时木板相对于冰面的速度为v，孩童相对冰面的速度为

v’=u+v，○2

v的由于冰面光滑，孩童和木板组成的系统在水平方向上不受外力，所以动量守恒。选冰面为参照系，

0方向为坐标正方向，则有：(M+m) v0=Mv+mv ‘○3

若木板恰好静止，即要求木板相对冰面的速度v = 0，由此可得

u=

m

m

M + v 0。

○

4 综合上述各式得：L=2

02

21v m m M a ??

? ??+ ○

5

将已知数据代入上式得L=2.25m 。○6

4．（14分）（2011北约）平直铁轨上停着一节质量为M=2m 的小车厢。可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。有N 名组员沿铁轨方向列队前行，另有一名组长在最后，每名组员的质量同为m 。

（1）当组员和组长发现前面车厢时，都以相同速度v 0跑步，每名组员在接近车厢时又以2v 0速度跑着上车坐下。组长却因跑步速度没有改变而恰好未追上车，试求N 。

（2）组员们上车后，组长前进速度减小为v 0/2，车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个水平跳下，组员离开车厢瞬间相对车厢速度大小同为u ，结果又可使组长也能追上车。试问：跳车过程中组员们总共消耗掉人体中多少内能？

5．（12分）（2010北京大学）如图所示，光滑平面上，两个相隔一定距离的小球分别以v 0和0.8 v 0反向匀速运动，它们中间另有两个小球（小球1和小球2）将一弹簧压紧，小球1和小球2的质量分别为m 和2m ，弹簧的弹性势能为E p 。 现将弹簧由静止释放，求： （1）小球1和小球2各自的速度。

m

2m

v 0

0.8v 0

12

（2）若小球1能追上左边的以v 0运动的球，而小球2不能追上右边以0.8 v 0运动的球，求m 的取值范围。

6．（2010北京大学）物体做如图所示的斜抛运动， （1）已知抛出速度v 和抛射角θ，求物体的水平位移s 。

（2）假设一个人站在光滑冰面上，以相对自己的速度v o 斜向上抛出一个球，当小球下落至抛出点高度时，水平位移为L ，设人与球的质量分别为M 和m ，求抛出速度vo 的最小值，以及小球抛出时速度与水平方向的夹角θ。

S

7.（12分）（2010清华大学等五校自主招生）卫星携带一探测器在半径为3R (R 为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在a 点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b 距地心的距离为nR (n 略小于3)，求卫星与探测器的质量比。

（质量分别为M 、m 的两个质点相距为r 时的引力势能为-GMm /r ，式中G 为引力常量）

【名师解析】：设地球质量为M ，卫星质量为m ，探测器质量为m'，当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律得

a

评分参考：本题12分。①②式各1分，③式2分，④式1分，⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分。

8.（11分）（2010清华大学等五校自主招生）A、B、C三个物体（均可视为质点）与地球构成一个系统，三个物体分别受恒外力F A、F B、F C的作用。在一个与地面保持静止的参考系S中，观测到此系统在运动过程中动量守恒、机械能也守恒。S'系是另一个相对S系做匀速直线运动的参考系，讨论上述系统的动量和机械能在S'系中是否也守恒。（功的表达式可用W F =F.S的形式，式中F为某个恒力，S为在力F作用下的位移）

评分参考：本题11分。①②式各1分，得出结论③给1分，得出动量守恒结论⑤给2分，⑥⑦式各1分，⑧式2分，得出机械能守恒结论⑨给2分。

9（2009浙江大学）两质量相同的汽车，甲以13m/s的速度向东行驶，乙向北。在十字路口发生完全非弹性碰撞，碰后两车一同向与东西方向成60度角飞去，求碰前乙的速度。

【名师解析】：以向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，设碰撞前乙车速度为v2，碰撞后两车共同速度为v，将速度v分解：v x=vcos60°，v y=vsin60°，

由动量守恒定律，mv1=2m vcos60°，mv2=2m vsin60°，

联立解得：v2v113m/s=22.5 m/s。

10.（2009浙江大学）一质量为m，以速率v0运动的粒子A，与质量为2m的静止粒子B发生碰撞，结果，粒子A的速度方向偏转了45°，并具有末速度v0/2。求粒子B的速度大小和方向。

11. （2008北大）（2009北京大学）直径和高同为d的不带盖子的小圆桶，用一根水平的直杆与直径和高同为2d的带盖子大圆桶连接后，静放在光滑水平面上，它们的总质量为M。大圆桶顶部边缘部位有一个质量为m的小猴，此时小猴、两圆桶底部中心和直杆处于同一竖直面内，如图所示。设小猴水平跳离大圆桶顶部，恰好能经过也处于运动状态的小圆桶上方圆周边缘部位后，落到小圆桶底部中心。

（1）计算小猴从小圆桶上方边缘部位落到小圆桶底部中心所经历的时间△t。

（2）试求直杆长度L。

（3）导出小猴跳离大圆桶时相对地面的速度v m。

12、（2008北大）碰撞后动能之和等于碰撞前动能之和的碰撞，称为弹性碰撞。

（1）质量分别为m1，m2的两个小球以同方向的速度v10，v20发生弹性碰撞，已知v10> v20，碰后速度分别记为v1，v2。假设碰撞是弹性碰撞，试列出方程求解得出v1，v2；

（2）光滑的水平桌面上平放着一个半径为R，内壁光滑的固定圆环，质量分别为m、2m、m的小球A、B、C在圆环内侧的位置和速度大小方向均在图中标出。初始B小球静止，已知所有碰撞为弹性碰撞。试问经过多长时间，A、B、C三个小球又第一次恢复到原来位置。