复合函数零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题
1.已知函数???<≥=)
0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判
断不正确．．．
的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4
12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点
2、已知函数(0)()lg()(0)
x e x f x x x ?≥=?-
实数根的【 】
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3 、设定义域为R 的函数1251,0()44,0
x x f x x x x -?-≥?=?++
A 2
B 6
C 2或6
D 4或6
4.已知函数1+(0)()0(=0)x x f x x
x ?≠?=???
则关于x 的方程 2
()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解 的充要条件是【 】 A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且
5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】
A ．13
B ．16
C ．18
D ．22
6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤?
， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6
7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】
（A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点
（B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点
（C ）无论a 为何值，均有2个零点
（D ）无论a 为何值，均有4个零点
8、设R 上的函数2lg (>0)()-2(0)
x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为【 】． A 2 B 3 C 5 D 7
9、已知函数()x x f x e
=∈ (x R),若关于x 方程2()()10f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根， 则实数m 的取值范围【 】
A 1
(,2)(2,e)e B 1(,1)e C 1(1,1)e + D 1(,)e e
10．已知函数),0()0,()(+∞?-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，
1)(4)(2),2(2
1,20,12)(|1|-=?????>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为【 】
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
11．已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()
f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()3
2x f f x =
；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38
f f +=【 】 (A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 52 12．函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-．
当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递减区间是【 】
A ．[2,21]()k k k Z +∈
B ．[21,2]()k k k Z -∈
C ．[2,22]()k k k Z +∈
D ．[22,2]()k k k Z -∈ 13．函数f （x ）=234
20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ??
? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为【 】 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
14．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+???+，2342013
()12342013
x x x x g x x =-+-+-???-， 设函数()(3)(4)F x f x g x =+?-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈
A ．8
B ．9
C ． 10
D ． 11
15．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表．
()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．
下列关于函数()f x 的命题：
① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；
③ 如果当
[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；
④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点．
其中真命题的个数是 【 】
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
17．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ?∈-，，有()())1(xy
y x f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：
①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；③函数()f x 只有一个零点；
④)41()31()21(f f f <+．其中正确命题的个数是【 】
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
18.已知函数),4()0,(,,()(23+∞?-∞∈+++=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，0)(=-k x f
只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 只有3个相异实根，现给出下列4个命题： 中正确命题的序号是
①04)(=-x f 和0)(='x f 有一个相同的实根；
②0)(0)('==x f x f 和有一个相同的实根；
③03)(=-x f 的任一实根大于01)1(=-f 的任一实根；
④05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 任一实根.
19、已知定义R 的函数()||1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k --=，给出下列四个命题中 真命题的序号有
①存在K 值使方程恰有2个不同的实根 ②存在K 值使方程恰有4个不同的实根
③存在K 值使方程恰有5个不同的实根 ④存在K 值使方程恰有8个不同的实根
20．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式c
b a 111++ c
b a m ++≥恒成立，则实数m 的最大值是_ _ __ 复合函数、分段函数零点个数问题
1、 已知函数???<≥=)
0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，
下列判断不正确．．．
的是【 D 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4
12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点
2、已知函数(0)()lg()(0)
x e x f x x x ?≥=?-
实数根的【 C 】
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3 、设定义域为R 的函数1251,0()44,0
x x f x x x x -?-≥?=?++
A 2
B 6
C 2或6
D 4或6
4、 已知函数1+(0)()0(=0)x x f x x
x ?≠?=???
则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解
的充要条件是【 C 】 A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且
5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【A 】
A ．13
B ．16
C ．18
D ．22
6 、已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤?
， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【A 】 A 3 B 4 C 5 D 6
7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 A 】
（A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点
（B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点
（C ）无论a 为何值，均有2个零点
（D ）无论a 为何值，均有4个零点
8、设R 上的函数2lg (>0)()-2(0)
x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为【D 】． A 2 B 3 C 5 D 7
9、已知函数()x x f x e
=∈ (x R),若关于x 方程2()()10f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根， 则实数m 的取值范围【 C 】
A 1
(,2)(2,e)e B 1(,1)e C 1(1,1)e + D 1(,)e e
10．已知函数),0()0,()(+∞?-∞是定义在
x f 上的偶函数，当0>x 时， 1)(4)(2),2(2
1,20,12)(|1|-=?????>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为【 D 】
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
11．已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()
f x
在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()3
2x f f x =
；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38
f f +=【B 】 (A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 52 12．函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-．
当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递减区间是【 A 】
A ．[2,21]()k k k Z +∈
B ．[21,2]()k k k Z -∈
C ．[2,22]()k k k Z +∈
D ．[22,2]()k k k Z -∈ 13．函数f （x ）=234
20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ??
? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为【 C 】 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
14．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+???+，2342013
()12342013
x x x x g x x =-+-+-???-， 设函数()(3)(4)F x f x g x =+?-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈
A ．8
B ．9
C ． 10
D ． 11
15．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表．
()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．
下列关于函数()f x 的命题：
① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；
③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；
④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点．
其中真命题的个数是 【 D 】
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
16．O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，给出下列命题： ①0OA OB OC ++=； ②0OD OE OF ++=；
③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC;
④R λ?∈，使得()||||AB AC AD AB SINB AC SINC
λ=+。 以上命题正确的个数是 【B 】 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4； 18.已知函数),4()0,(,,()(23+∞?-∞∈+++
=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，0)(=-k x f
只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 只有3个相异实根，现给出下列4个命题： 中正确命题的序号是 ①②④
①04)(=-x f 和0)(='x f 有一个相同的实根；
②0)(0)('==x f x f 和有一个相同的实根；
③03)(=-x f 的任一实根大于01)1(=-f 的任一实根；
④05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 任一实根.
19、已知定义R 的函数()||1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k --=，给出下列四个命题中 真命题的序号有 全对
①存在K 值使方程恰有2个不同的实根 ②存在K 值使方程恰有4个不同的实根
③存在K 值使方程恰有5个不同的实根 ④存在K 值使方程恰有8个不同的实根
20．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式c
b a 111++
c
b a m ++≥恒成立，则实数m 的最大值是__5+14.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋
c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，
并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤?
??
??x ＋122. (1)求f (1)的值；
(2)证明a >0，c >0；
(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R)是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1.
复合函数零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判 断不正确．．． 的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6 7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】 （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点
高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数()
函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是 一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区 间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系 数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零 点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<-
复合函数的零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题 2012.12.31 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是（ ） A .若)(,41x g t = 有一个零点 B .若)(,4 1 2-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0) ()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2 +=x f x f 的零点的个数为 ________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2 ()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 6 已知函数31 +,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2 >+=a a x x f x 的零点个数不可能．．． 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6
函数的零点及判断零点个数提高题
函数的零点及判断零点个数提高题 1．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>?=?++≤?，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,1- B ．[]0,2 C ．[)2,2- D ．[)1,2- 【答案】D ． 【解析】 22()()232x x a g x f x x x x x a -+>?=-=?++≤?，而方程20x -+=的解为2，方程 2320x x ++=的解为1-或2-，所以?? ???≤-≤-->，当1x ≤-?1x -≥，又f （x ）为奇函数， ∴0x <时， ()(] 12log (1),1,0()()13,,1x x f x f x x x ?--+∈-?=--=??-+--∈-∞-?，（也可以不求解析式，依 据奇函数的图象关于原点对称，画出y 轴左侧的图象），画出y =f （x ），y =a （01a <<）的图象，如图 共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则45123,322 x x x x ++=-=
复合函数图像研究及零点个数问题
复合函数图像研究零点 例1、求方程02324=+-x x 实数解的个数为个。 例2、已知函数 则下列关于函数的零点个数的判断 正确的是（ ） A. 当 时，有3个零点；当时，有2个零点 B. 当时，有4个零点；当时，有1个零点 C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点 例3、已知函数f (x )＝????? |ln x |，x >0x 2＋4x ＋1，x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x )－bf (x )＋c ＝0(b ，c ∈R )有8个不同的实数根，则b ＋c 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B ．(0,3] C ．[0,3] D ．(0,3) 例4、已知函数c bx ax x x f +++=23)(有两个极值点21,x x ，若211)(x x x f <=，则关 于x 的方程0)(2)(32=++b x af x f 的不同实根个数为。
及时训练 1、已知函数和在的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）. 2、定义在()+∞,0上的单调函数函数)(x f ，对任意(),,0+∞∈x 都有[]4log )(3=-x x f f ，则函数21)()(x x f x g -=的零点所在区间是（ ） A 、??? ??41,0 B 、??? ??21,41 C 、??? ??43,21 D 、? ?? ??1,43 )(x f y =)(x g y =]2,2[ -0)]([=x g f 0)]([=x f g 0)]([=x f f 0)]([=x g g
高中数学专题练习-函数零点问题
高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
复合函数的零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0) ()-2(0) x x f x x x x ?=? -≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且
函数的零点问题
函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有
复合函数零点(题)
复合函数零点 类型一：直接作图 1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是 2、已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22 f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 3、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时， 1)(4)(2),2(2 1,20,12)(|1|-=?????>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为 类型二：与二次函数结合 1、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________. 2、已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______. 3、设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++?=?--+≤??，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( ) A. 1 (0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)4 5.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2 x x x f x x ?≤≤??=??>??，若关 于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取
函数零点个数问题赏析
函数零点个数问题赏析
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近年高考试卷中的N 型函数零点个数问题赏析 近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。 N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数3 2 ()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数 2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。 例1、（2006年福建高考卷）已知函数2 ()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。 （Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ； （Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数2 ()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >； 求导得：22862(1)(3) '()x x x x x x x ?-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,)+∞ '()x ? + - + ()x ? 7m ?=- 极大 6ln 315m ?=+-极小 依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，()0x ?<，当x 充分大时，()0x ?>，为此有：707156ln 36ln 3150m m m ??=->? ?<<-? =+-
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(
复合函数零点问题
复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =???? 2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知()()2 2,x f x g x x x ==-，计算()2g f ???? 解：()2 224 f ==()()2412 g f g ∴==????3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知()2x f x =，()2 2g x x x =-，若()0g f x =????，求x 解：令()t f x =，则()2 020g t t t =?-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =?=?=，则x ∈? 当()2222x t f x =?=?=，则1x = 综上所述：1x = 由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，外层是解关于 g(x)的方程，观察有几个t ，g(t)的值使得等式成立；内层 是结合着()f x =t ，求出每一个()f x =t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 例1：关于x 的方程()2 22 13120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.8
高中数学题型解法归纳《函数的零点个数问题》
【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(
函数零点问题(讲解)
函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2
解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+．
函数零点经典习题
函数零点经典习题 一．选择题 1．函数f(x)=-x2+4x-4在区间[1，3]上的零点情况是： A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点 2函数f(x)=(x2-4)/(x-2)的零点是 A -2，2 B 2 C -2 D 不存在 3.函数f(x)=x2+27/x的零点是 A -3 B -1/3 C 3 D 1/3 4.如果方程2ax2+x-3=0在区间（0，1）内有一个解，则a的取值范围是 A a<-1 B a>1 C -1
9.函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是3，5 则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是 A -3，-5 B 3，5 C -1/3，-1/5 D 1/3，1/5 1.函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,2 1 D.(1,2) 2.若0x 是方程31 )2 1 (x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ． ?? ? ??1,3 2 . B ．?? ? ??32,21 . C ．?? ? ??21,31 D ．?? ? ? ?31,0 3.函数x x x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)1 ,1(e 和)4,3( D ．),(+∞e 二．填空题 10．已知函数f9x)=x 2-1则函数f(x+2)的零点是------------ 11．方程x 2-2x-5=0在区间（2，3）内有实数根，取区间的中点x 0=2.5，下一个有根区间是------------- 12．若函数f(x)=ax+b 的零点是-3则函数g(x)=bx 2-ax 的零点是-------- 10.若函数 a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是
复合函数零点问题专题
复合函数零点问题 例1：设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程 ()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212 3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得： 1230,1,2x x x ===，所以222 1235x x x ++= 答案：5 例2：关于x 的方程( ) 2 2 213120x x ---+=的不相同实根的个 数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得： 1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即 可，共有5个 答案：C 例3：已知函数 11 ()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程 2 ()()0f x a f x b ++=可视为()()2 0f x a f x b ++=，故考虑作出
()f x 的图像：()2 ,12,01 2,102 ,1x x x x f x x x x x ?>?? <≤?=? --≤时，()()121,0212,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方 程()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程()()2 610f x f x --=????可解，得 ()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23 y y ==- 与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出 0x >的图像，2x >时，()()1 22 f x f x = -，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩 为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程 ()()()2 320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
求函数零点的几种方法
函数零点 一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 注意：（1）零点不是点； （2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是 例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围． 变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围． 2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<<
零点个数问题
微专题函数零点个数的判定 活动一：预习◆反馈◆导学 1.函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 2.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是 ________． 3.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m 的图 象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 4. 【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = 活动二. 合作◆提炼◆探究 例1.设f(x)＝e x ·sin x ＋ax(a 为常数)，x ∈[0，2π]． （1））若f(x)在区间(0，2π)的极大值、极小值各有一个，求实数a 的取值范围． 例2. 已知函数()1x x f x ax e =-+. （2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.
例3.设函数21()()ln 2 f x x a b x ab x = -++（其中e 为自然对数的底数，,a e b R ≠∈），曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为212y e =-. （1）求b ； （2）若对任意1[,)x e ∈+∞，()f x 有且只有两个零点，求a 的取值范围. 例4.已知()21ln 2 f x x a x =-, a R ∈. （1）求函数()f x 的增区间； （2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围，并说明理由； 例5.已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
高中数学讲义 复合函数零点问题
微专题12 复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =???? 2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ???? 解：()2 224f == ()()2412g f g ∴==???? 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知()2x f x =，()2 2g x x x =-，若()0g f x =????，求x 解：令()t f x =，则()2 020g t t t =?-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =?=?=，则x ∈? 当()2222x t f x =?=?=，则1x = 综上所述：1x = 由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点 5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为 ()0g f x =????的根的个数 6、求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧： （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像
高考数学专题函数零点的个数问题
第 10 炼函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析： 1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x 称 为函数y f x x D 的零点 2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ， 那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得 f x 0 。 （1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续） ① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点 ③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号 3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一 4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系 设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵 活转化。（详见方法技巧） 二、方法与技巧： 1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构 造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对