高三数学知识点归纳三角函数

高三数学总复习讲义——三角函数

一、角的概念、定义 1. 终边相同的角

①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）:

{}

Z k k ∈+?=,360

|αββο

;

②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,180|οββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|οοββ; ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ.

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.

3.弧度制下的公式

扇形弧长公式r =l α，扇形面积公式211

||22

S R R α==l ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

4.三角函数定义: 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+，

则sin y r

α=，cos x r

α=，tan y x

α=，cot x y

α=。

注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.

⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:

①诱导公式：即

2

k π

αα±→或902k αα±→o g 之间函数值关系()k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)α-=o cos α-

②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.

⑶重视用定义解题.

⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种 图示方法.如单位圆;;MP OM AT 正弦线:余弦线:正切线:

5. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦

二、三角函数公式 （一）基本关系

公式组二 (k Z ∈)

sin(2)sin ,cos(2)cos tan(2)tan ,cot(2)cot k x x k x x

k x x k x x ππππ+=+=+=+=

公式组三

sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x x x x

x x

x x

-=--=--=-=-

公式组四 公式组五

x

x x x x x x

x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x

x x x x

x x

x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ

公式组六 sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x x x x

x x x x ππππ-=-=--=--=-

(二)两角和与差公式 公式组一

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

-

公式组二: αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

α

αα2tan 1tan 22tan -=

2

cos 12

sin

α

α-±

= 2

cos 12

cos

α

α+±

=,1cos sin 1cos tan

21cos 1cos sin ααααααα--=±=++

公式组三

1cos()sin 2παα-=,1cos()sin 2παα+=-1sin()cos 2παα-= 1

sin()cos 2παα

+=, 1tan()cot 2παα-=,1

tan()cot 2παα

+=-

常用数据: 30456090o o o o

、

、、的三角函数值 62sin15cos 75-==

o

o

,4

2

615cos 75sin +==οο，3275cot 15tan -

==οο ,3215cot 75tan +==οο

注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan(tan αβ+ 2

21cos 1cos cos ,sin 2222

α

ααα

+-=

=

等. 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.

⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。

①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; 配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、

22αβαβα+-=+、22

αβαβ

β+-=-

、()ααββ=+-等. ③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

⑤引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号

确定，?角的值由tan ?=a

b

确定。

函数sin()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x

=????→图例变化为②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地，

①的单调增区间2,222

k k ππππ??-++??

?

?

???→变为 222

2

k x k π

π

πω?π-

+++≤≤

的解集是②的增区间.

注:

⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω）的周期ω

π

2=T ;

⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2

x k π

π=+

（Z k ∈），对称中心(,0)k π；

cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2

k ππ+；

)tan(?ω+=x y 的对称中心（

0,2

π

k ）.