上海高考数学试题及答案

2016年高考上海数学试卷（文史类）

考生注意：

1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.

2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 2．设32i

i

z +=

，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______. 3．已知平行直线1210l x y +-=：

，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____. 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为,,,,，则这组数据的中位数是______（米）. 5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 6．已知点（3,9）在函数()1x

f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1

()f

x -=______.

7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥??

≥??≥+?

则2x y -的最大值为_______.

8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____.

9

．在2

)n x

-的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____. 10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.

11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.

12.如图，已知点O (0,0),A ,B (0,?1),P

是曲线y =OP BA ×uu u r uu r

的取值范

围是 .

13.设a >0,b >0. 若关于x ,y 的方程组1,

1ax y x by ì+=??í

?+=??

无解，则a b +的取值范围是 . 14.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ?N ，{23}n S ?，则k 的最大值为 .

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.设a ?R ,则“a >1”是“a 2

>1”的（ ） (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件

16.如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）

(A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1

17.设a ?R ，[0,2π]b ?.若对任意实数x 都有π

sin(3)=sin()3

x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

18.设f (x )、g (x )、h(x )是定义域为R 的三个函数.对于命题：①若f (x )+g (x )、f (x )+ h (x )、

g (x )+ h (x )均是增函数，则f (x )、g (x )、h(x )均是增函数；②若f (x )+g (x )、f (x )+ h (x )、g (x )+ h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )、g (x )、h(x ) 均是以T 为周期的函数，下列判

断正确的是（ ）

(A)①和②均为真命题 (B) ①和②均为假命题 (C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，?AC 长为56π

，

?11A B 长为3

π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图 （1）求菜地内的分界线C 的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83

.

设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于S 1面积的“经验值”.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两

点.

（1）若l 的倾斜角为

2

π

，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b = 若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若

同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ?=?且*

N A B =U ，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.

（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n

且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；

（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通

项公式.

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x

+. （1）当 1a =时，解不等式()f x >1；

（2）若关于x 的方程()f x +2

2log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；

（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2

，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差

不超过1，求a 的取值范围.

参考答案

1. )4,2(

2. 3-

3.

5

5

2 4. 76.1 5. 3± 6. )1(log 2-x 7. 2- 8. 65,6π

π 9. 112 10.

3

3

7 11.

16

12.?-?

13.()2,+∞ 14.4

19.解：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =． 圆柱的体积22V 11r l πππ==??=， 圆柱的侧面积22112S rl πππ==??=．

（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ， 所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．

由?11A B 长为

3π，可知1113

π

∠AOB =∠A O B =， 由?C A

长为56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2

π∠OB =∠AO -∠AOB =， 所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π

．

20.解：（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以 EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分，其方程为24y x =（02y <<）． （2）依题意，点M 的坐标为1,14??

???

． 所求的矩形面积为

52，而所求的五边形面积为11

4

． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为

581

236

-=，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为

1181

4312

-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 21.解：（1）设(),x y A A A ．

由题意，()2F ,0c ，c ，()

22241y b c b A =-=，

因为1F ?AB 是等边三角形，所以2c A =，

即()

24413b b +=，解得2

2b =．

故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()2F 2,0．

设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．

由()2

213

2y x y k x ?-

=???=-?

，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()

23610k ?=+>．

由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()

2212223613k x x k +-=-， 故

()2122

6143

k x k +AB =

=-=

=-，

解得23

5

k

=

，故l 的斜率为5±．

22.解：（1）因为4?A ，4?B ，所以4?A B U ， 从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列． （2）因为416a =，所以1616420b =+=．

数列{}n b 的前16项的和为()()

23412202222++???+-+++

()5120

20221802

+?--=． （3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=． 由136151a d =-≥，得1d =或2．

若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾； 若2d =，则16a =，24n a n =+，,5

25,5

n n n b n n ≤?=?

->?．

综上，24n a n =+，,5

25,5n n n b n n ≤?=?->?

．

23.解：（1）由21log 11x ??

+>

???

，得112x +>，

解得()0,1x ∈． （2）()2221log log 0a x x ??

++=

???

有且仅有一解， 等价于211a x x ??

+=

???

有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解． 当0a =时，1x =，符合题意； 当0a ≠时，140a ?=+=，1

4

a =-． 综上，0a =或14

-

． （3）当120x x <<时，

1211

a a x x +>+，221211log log a a x x ????+>+ ? ?????

， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．

函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．

()()22111log log 11f t f t a a t t ????

-+=+-+≤ ? ?+????即()2110at a t ++-≥，对任意

1,12t ??

∈????

成立． 因为0a >，所以函数()2

11y at a t =++-在区间1,12??????

上单调递增，1

2

t =

时，y 有最小值

3142a -，由31042a -≥，得23

a ≥． 故a 的取值范围为2

,3

??+∞????

．