2019-2020年高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用(二)学案 新人教A版必修4

2019-2020年高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用

（二）学案 新人教A 版必修4

1．理解三角函数线的概念及意义．

2．能初步应用三角函数线分析解决与三角函数值有关的一些简单问题．

1．有向线段：带有方向的线段，叫做有向线段． 2．三角函数线：

如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1，0)作单位圆的切线，与α的终边(或其反向延长线)交于点T ，则图中有向线段MP ，OM ，AT 分别表示sin α，cos α和tan α.有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．

自测自评

1．角α＝－5π

2，则sin α，tan α的值分别为(A )

A ．－1，不存在

B ．1，不存在

C ．－1，0

D ．1，0

解析：由三角函数的定义及终边相同角的概念知A 正确，故选A. 2．若α是第四象限角，则sin α和tan α的大小的关系是(A ) A ．sin α>tan α B ．sin α

解析：画出三角函数线即可判断出来．如图，sin α＝－|MP |，tan α＝－|AT |，而|MP |<|AT |，故sin α>tan α.

3．在[0，2π]上满足sin α≥1

2

的α的取值范围是(B )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6

，5π6

C.⎣⎢

⎡⎦⎥⎤π6，2π3 D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤5π6，π

解析：利用单位圆和三角函数线解不等式．

4．在单位圆中画出适合sin α＝1

2的角α的终边，并由此写出角α的集合．

解析：作直线y ＝1

2交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则射线OA 与射线OB 为角α

的终边，如图所示．满足条件的角α的集合为

⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .

基础提升

1．若π4<θ<π

2

，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是(D )

A ．tan θ

B ．sin θ

C ．cos θ

D ．cos θ

解析：如图，作出角θ的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由图可知，OM

2．已知角α的余弦线的长度不大于角α的正弦线的长度，那么角α的终边落在第一象限内的范围是(C )

A.⎝

⎛⎦⎥⎤0，π4

B.⎣⎢

⎡⎭

⎪⎫π4，π2 C.⎣

⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z) D.⎝

⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4(k ∈Z)

解析：由单位圆中的三角函数线，可知角α的终边应落在如图所示的阴影区域，用终边相同角表示终边落在阴影区域的角为⎣

⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z)．故选C.

3．若0<α<2π，则使sin α<

32和cos α>1

2

同时成立的α取值范围是(D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π2 B.⎝

⎛⎭⎪⎫0，π3

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫53π，2π

D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π3，2π 解析：如图所示，适合sin α<

32的角α的范围和适合cos α>1

2

的角α的范围的公共部分，即为角α的范围．故选D.

4．已知MP ，OM ，AT 分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则一定有(D ) A ．MP

解析：作出75°角的正弦线、余弦线、正切线，结合图形知OM

5．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(D ) A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β

解析：运用单位圆中的三角函数线，采用排除法，易判断D 正确．故选D. 6．若△ABC 的两个内角α，β满足cos α·cos β<0，则此三角形为(B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能

解析：设0<α<β<π，当cos α·cos β<0时，cos α>0，cos β<0，所以π

2<β<π，

故△ABC 为钝角三角形．

7．函数y ＝|cos x |cos x ＋|tan x |

tan x 的值域是(B )

A ．{1，2}

B ．{－2，0，2}

C ．{－2，2}

D ．{0，1，2}

解析：当角是第一象限中的角时，y ＝1＋1＝2；当角是第二象限的角时，y ＝－1－1＝－2；当角是第三象限的角时，y ＝－1＋1＝0；当角是第四象限的角时，y ＝1－1＝0.故综上可知函数的值域是{－2，0，2}．故选B.

巩固提高

8．已知α为锐角，则sin α＋cos α与1的大小关系是________________． 解析：作出α角的正弦线MP 、余弦线OM ，则MP ＋OM >OP ，即sin α＋cos α>1. 答案：sin α＋cos α>1

9．在(0，2π)内，使tan α>1成立的α的取值范围是________________．