2020年美国大学生数学建模竞赛题目

2016年美国大学生数学建模竞赛题目

第５卷第２期

２０１６年６月

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２０１６年美国大学生数学建模竞赛题目

韩中庚译

（解放军信息工程大学四院，河南郑州４５０００１）

问题Ａ：热水澡

人们经常会通过用一个水龙头将浴缸注满热水，然后坐在浴缸里清洗和放松。这个浴缸不是带有二次加热系统和循环喷流的温泉式浴缸，而是一个简单的水容器。过一会儿，洗澡水就会明显变凉，所以洗澡的人需要不停地从水龙头注入热水，以加热洗浴的水。该浴缸的设计是这样一种方式，即当浴缸里的水达到容量极限时，多余的水就会通过溢水口流出。考虑空间和时间等因素，建立一个浴缸的水温控制模型，以确定最佳策略，使浴缸里的人可以利用这个策略让整个浴缸中的水保持或尽可能接近初始的温度，而且不浪费太多的水。

利用你们的模型来确定这个策略对浴缸的形状和体积，以及对浴缸中人的形状、体积、温度和活动等因素的依赖程度。如果这个人一开始用了一种泡泡浴剂加入浴缸中以助清洗，这会对你们的模型结果有怎样的影响？

除了要求提交１页的ＭＣＭ摘要之外，你们的报告必须包括１页为浴缸用户准备的非技术性的说明书，来阐述你们的策略，同时解释为什么保持洗澡水的恒温如此之难。

问题Ｂ：太空垃圾

地球轨道上的小碎片数量已引起人们越来越多的关注。据估计，目前有超过５０００００块的空间碎片，也被称为轨道碎片，由于被认为对空间飞行器是潜在的威胁而正在被跟踪。２００９年２月１０日，俄罗斯卫星Ｋｏｓｍｏｓ一２２５１和美国卫星Ｉｒｉｄｉｕｍ一３３相撞之后，该问题受到了新闻媒体更广泛的讨论。

目前提出了一些清除碎片的方法，这些方法包括使用微型的基于太空的喷水飞机和高能量的激光来针对一些特定的碎片，以及设计大型卫星来清扫碎片。碎片按照大小和质量的不同，从刷了油漆的薄片到废弃的卫星都有，碎片的高速运行轨道使得捕捉它十分困难。

试建立一个随时间变化的模型，确定最佳的方法或组合方法，为一个私营企业提供解决空间碎片问题的商机。你们的模型应该包括定量和／或定性地对成本、风险、收益的估计，并考虑其他相关的一些主要因素。你们的模型应该能够评估一种方法，以及组合方法，并能够解释各种重要情形。

利用你们的模型，试讨论这个商机是否存在。如果存在可行的解决方案，试比较不同的去除碎片的方案，并给出具体的方案是如何清除碎片的。如果没有这种可能的商机，请你们提供一个创新性的方案来避免碰撞。

除了ＭＣＭ要求提交的１页摘要外，你们还应提交１份２页纸的执行报告，要介绍你们所考虑的所有方案和主要的建模结果，并且利用你们的研究提供一个合理的行动建议，可以是单一的具体行动、联合行动，或不采取行动。这个执行报告是写给那些没有技术背景的高层政策制定者和新闻媒体分析者看的。

问题Ｃ：Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ的挑战

Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ基金会是一个慈善组织，其目的是提高美国高校就读的本科生的教育绩效。为此，基金

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?竞赛论坛?２０１６年美国大学生数学建模竞赛题目２０１６年６月会计划从２０１６年７月开始的５年中，每年捐赠１亿美元给符合条件的学校。在这样做时，他们不想重复投资和关注其他大型的捐赠组织，如盖茨基金会和基金会所。

Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ基金会要求你们的团队建立一个模型来确定最优投资策略，确定需要投资的学校、每个学校的投资额、这项投资的回报以及所需要持续的投资时间，以使得最有可能对学生表现有显著的正面影响。这个策略应该包含一个优化的和优先推荐的１到Ｎ个学校列表，而这些学校的选择都是基于已表明能够有效利用私人投资、有潜力的学校候选名单之中。此外，你们的策略还应包括适合诸如Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ基金组织投资的预估投资回报。

为了助你们一臂之力，附录中的数据文件（ｐｒｏｂｌｅｍｃｄａｔａ．ｚｉｐ）包含从美国国家教育统计中心（ｗｗｗ．ｎｃｅｓ．ｅｄ．ｇｏｖ／ｉｐｅｄｓ）提取的信息。它包含一个几乎所有的美国大学调查信息数据库和大学记分卡数据（ｈｔｔｐｓ：／／ｃｏｌｌｅｇｅｓｃｏｒｅｃａｒｄ．ｅｄ．ｇｏｖ），以及各种制度绩效数据。你们的模型和随后的投资策略必须基于这２个数据中一些有意义且可靠的数据。

除了ＭＣＭ要求提交的ｌ页摘要外，你们的报告必须包括给Ｇｏｏｄｇｒａｎｔ基金会首席财务官（ＣＦＯ）Ｍｒ．ＡｌｐｈａＣｈｉａｎｇ的一封信，描述你们的最优投资策略、你们的建模方法和主要结果，并简要地讨论你们提出的投资回报，以便于让ＧＯＯｄｇｒａｎｔ基金会用来评估２０１６年的捐款和未来在美国的慈善教育投资。这封信的长度不超过２页。

问题Ｄ：评估社会信息网络的演变和影响

在当今这个互联技术的通讯网络中，信息传播迅速，有时是由于信息本身的内在价值，也有时是由于信息传播到了有影响力的或网络中心的节点，从而加速其在社交媒体的传播。虽然内容发生了改变——在１９世纪，新闻更多地是关于当地的事件（如婚礼、暴风雨、死亡），而不是猫或艺人的社会生活的视频——但是共享信息（重要的和平常的）这种文化特征的前提条件是一直存在的。然而，信息传播

从未像现在一样，如此容易和广泛，使得具有不同重要程度的新闻在互联网的世界中迅速传遍全球。相对信息的内在价值而言，从历史角度来看信息的传播，传媒研究所（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＭｅｄｉａ，ＩＣＭ）寻求能够理解社会网络演变的方法、目的和功能。特别地，作为ＩＣＭ信息分析部的一部分，你们团队的任务是在考虑５个时期的基础上，分析信息速度／传播与信息固有价值的关系，这５个时期是：１９世纪７０年代，报纸由火车传送，急事靠电报传递；２０世纪２０年代，收音机成为更常见的家庭用品；２０世纪７０年代，电视出现在大多数家庭；２０世纪９０年代，家庭连接到了早期的互联网；在２１世纪前１０年，我们可以用手机与世界连接。指导老师要提醒学生写清楚建模时所做的假设和使用的数据。

你们的特定任务是：

１）建立一个或多个模型，研究信息传播和过滤（或找到）什么是新闻；

２）利用过去的数据验证模型的可靠性；预测现在的信息通讯情况，并与现实进行对比，验证模型的预测能力；

３）用你们的模型预测２０５０年左右通讯网络的关系和容量；

４）利用信息对网络影响的理论和概念，建模研究在当今互联的世界中，信息网络是如何改变公众的兴趣和观念的；

５）确定信息价值、人们最初的看法与偏见、信息的形式或其来源，以及一个地区、国家或世界的信息网络的拓扑结构或强度，是怎样被用来传播信息和影响公众看法的。

可能用到的数据源：

当建立模型并准备验证时，你们需要收集数据。题目给出一些你们在这个项目中可能觉得有用的数据的例子。根据具体的模型，某些类型的数据可能是非常重要的，其他的可能是无关的。除了这里所提供的数据源外，你们可能想要考虑一些历史上发生的重要事件——如果最近发生了一些重大新闻事件，例如流行歌手泰勒斯威夫特在１８６０年订婚的谣言，有多少比例的人知道它，并且传播速度是多快；同

样，如果一个重要的人今天被暗杀了，这一消息将如何传播？如何将它与美国总统亚伯拉罕?林肯被暗杀事件的新闻相比较？

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第５卷第２期数学建模及其应用ＶｏＩ．５Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２０１６问题Ｅ：我们会变成一个干渴的星球吗？

世界上清洁的水会耗尽吗？根据联合国的统计，有１６亿人（占世界人口的四分之一）缺水。上个世纪，水的消耗速度是人口增速的两倍。人类的工业、农业和住宅都需要水资源。水资源短缺的原因主要有２种：物理短缺和经济短缺。物理短缺是指地区水量不足以满足需求；经济短缺是指地区有水，但管理不善和基础设施缺乏，限制了清洁水的可用性。许多科学家认为，随着气候的变化和人口增长，缺水问题会越来越严重。用水量以人口的两倍速度增加的事实表明，水资源短缺还有其他的原因——可能是个人消耗速度的增长，或是工业消耗的增加，或是增加的污染消耗了清洁水的供应，或者是其他什么原因？

是否可以为所有人提供清洁水？水的供应必须考虑物理的可用性（如天然水资源，技术进步，如海水淡化设施或集雨技术等）。要解释水的可用性本身是个跨学科问题，不仅要理解环境对供水的限制，而且要考虑社会因素如何影响清洁水的可用性和分配。例如，缺乏适当的卫生条件可以导致水质的下降，人口的增加也会增加一个区域内的供水负担。在分析水资源短缺的问题时，必须考虑以下问题：人类历史上缺水是如何加剧或缓解的？缺水的地质、地形和生态原因是什么？我们如何准确预测未来水资源的可用性？潜在新的或备用水源是什么（例如，海水淡化设施，集雨技术或未被发现的地下蓄水层）？水资源短缺与人口和健康相关的问题是什么？

问题陈述

国际清洁水运动组织（ＴｈｅＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｌｅａｎｗａｔｅｒＭｏｖｅｍｅｎｔ，ＩＣＭ）希望你们团队来帮助他们解决世界水问题。你们能帮助改善清洁、新鲜水的获取吗？

任务１：试建立一个模型，提供衡量一个地区为其人口提供清洁水的能力，在建模过程中，你们可能需要考虑影响供给和需求的动态特性。

任务２：使用联合国缺水地图（ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｕｎｅｐ．ｏｒｇ／ｄｅｗａ／ｖｉｔａｌｗａｔｅｒ／ｊｐｇ／０２２２一ｗａｔｅｒｓｔｒｅｓｓ—ｏｖｅｒｕｓｅ－ＥＮ．ｊｐｇ），选择一个严重缺水或中度缺水的国家或地区，解释该地区为什么以及如何缺水？一定要通过物理位置和／或经济短缺２个方面来解释社会和环境影响因素。

任务３：用任务１的模型预测任务２中选择的地区未来１５年的水状况。这种状况如何影响这个地区居民的生活？一定要将环境影响因素纳人到模型组件中去。

任务４：根据你们所选择的区域，设计一个考虑到所有缺水驱动因素的干预计划。任何干预计划将不可避免地影响周围地区和整个水生态系统。在更大的环境中，讨论这种影响和整体计划的优缺点。你们的计划如何缓解水资源的短缺？

任务５：使用任务４设计的干预计划和你们的模型，预测未来水资源的供应情况。你们选择的地区会变得不太容易受缺水影响吗？水会成为未来关键议题吗？如果是这样，这种短缺什么时候会发生？

任务６：写一份２０页的报告（１页的摘要不计算在２０页内）来解释你们的模型，所选地区没有干预计划时的缺水状况，利用你们的干预计划，对所选地区和周边水资源可用性的作用。一定详细说明模型的优点和缺点。ＩＣＭ将使用你们的报告来帮助相关部门制定计划，为全世界所有居民提供清洁水。祝你们建模顺利！

注意，２０１３年数学建模问题Ｂ和２００９年高中生数学建模问题Ａ，是对缺水问题不同方面的建模。问题Ｆ：难民移民政策问题

随着成千上万的难民来到欧洲多个国家，许多国家和地区对难民的一体化政策和做法都给予了相当的重视。历史告诉我们，主要是由于政治、社会动荡和战争，会有大量的人群出现大规模逃离的现象。这些危机带来了一系列的挑战，我们必须要通过有效的政策进行管理。在中东发生的事件已造成大量难民从中东到欧洲和亚洲部分地区作为他们的避风港，通常穿越地中海到达诸如土耳其、匈牙利、德国、法国和英国等国家。截至２０１５年１０月底，欧洲国家接到７１５０００多个难民的避难申请。匈牙利排行榜首，每１００ｏｏｏ个居民中就有近１４５０份申请者，但只有一小部分请求被批准（２０１４年是３２％），在每

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?竞赛论坛?２０１６年美国大学生数学建模竞赛题目２０１６年６月１０万居民里有近１０００难民无家可归。欧洲已经建立了一个配额制度，每个国家都同意接收特定数量的难民，主要的安置负担落在了法国和德国。

难民的逃离有多条路线——从中东通过西地中海、地中海中部、东地中海、西巴尔干地区、东部边界或阿尔巴尼亚到希腊（这些路线见ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｂｂｃ．ｃｏｍ／ｎｅｗｓ／ｗｏｒｌｄ—ｅｕｒｏｐｅ一３４１３１９１１）。每一条路线都有不同程度的安全性和可达性，最流行的路线是地中海东部和最危险的地中海中部。负担最重的国家们关心他们为难民提供资源的能力，如食物、水、住所和医疗等。难民如何通过该地区由很多因素决定，运输工具的可行性、路线的安全性和到达目的地的基本需求，都是个人或整个家庭在这个大迁移中要考虑的。

联合国要求你们团队作为ＩＣＭ—ＲＵＮ（（ＲｅｆＵｇｅｅａＮａＩｙｔｉｃｓ），为了便于难民从原籍国到达避风港国家，来帮助他们更好地了解与难民逃离相关的因素。

你们的具体任务：

１）对难民危机的度量标准。确定具体的因素，它们可能有助于或约束难民的安全、高效流动。这里有以下属性特征：难民自身、迁徙路线、交通运输、接收国家的能力（包括入口点的数目和可提供的资源）。这项任务需要制定一系列措施和参数，并说明为什么分析危机时需要考虑这些因素。

２）难民的流动。建立一个最优的难民迁徙模型，模型要包括６条路线上预测的流动量，考虑以下几个方面：交通路线／可达性、路线安全性和国家的资源能力。你们可以包括不同路线、不同人口点、单个或多个入口点，甚至不同国家。利用你们在任务ｌ中建立的度量标准确定难民数量，以及满足难民迁徙所必要的入口点数和比率。务必要说明任何加入迁徙的新因素的必要性，同时解释这些动态变量的敏感性。

３）危机的动态。难民条件可能迅速改变，难民在寻求自身和他们家庭的生活必需品时，处在不断变化的政治文化背景中。此外，对这个移动人群的住所接待量、保

护、食物等是动态变化的，因为目的国很快达到其最大容量，会产生一系列影响导致要修改迁徙模型的参数。确定随时间变化的环境因素；同时说明容量如何被融入模型来解释这些动态因素。哪些资源可以提前配置，并且如何根据这些动态变化因素分配这些资源？优先投放哪些物资以及如何在模型中加人物资的实用性和流通性？考虑政府和非政府机构各自的任务和资源，非政府机构的行动如何改变你们的模型和策略？同时考虑难民的其他可能目的地，如加拿大、中国和美国。你们的模型在这些地区能否也起作用？

４）难民模型的政策。基于上述模型写个报告，提出一系列政策以确保移民模式最佳的优化条件。你们需要优先考虑难民和当地居民的健康与安全。你们可以尽可能多地包括你们认为适合推动政策制定的参数和因素，同时牢记受影响国家的法律和文化的约束。还要考虑非政府机构的任务和行动。

５）外源性事件。除了内源性的系统动力学，外源性事件也极有可能发生并改变这些不稳定环境中的情境参数。例如，巴黎的重大恐怖袭击把法国与叙利亚难民危机联系起来，导致之前尊重难民的许多欧洲国家在态度和政策方面发生实质性的转变，事件也引起了当地民众的关注，例如，巴黎恐怖袭击的嫌犯被锁定在比利时的布鲁塞尔。

ａ）在一件重要的外源性事件中模型的哪些参数会发生变化或者完全改变？

ｂ）邻国的难民事件会造成哪些连锁反应？

ｃ）你们建议的移民政策将如何适应此类事件？

６）可扩展性。使用你们的模型，将危机扩大到更大的规模——比如１０倍。模型中有不可扩展到更大人口规模的因素吗？当这场危机的范围大大增加，你们模型中的哪些参数发生变化或者变成无关量？需要添加新的参数吗？这个如何使得解决难民安置所需的时间增加？如果难民融合措施的实施显著拖延，为了维持难民和当地居民的安全与健康会出现哪些新的问题？这些新的想法起作用的时间阈值是在什么时候？例如，为了管控好疾病、生育、教育等问题需要哪些政策做到位？

报告：联合国难民组织要求你们ＩＣＭ—ＲＵＭ团队为他们提供一份２０页的报告，注意要考虑任务中所给的因素。每个小组还应该给联合国秘书长和移民部长写１页的政策推荐信。

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