解三角形中的中线、角平分线、高线的处理策略
精心整理
解三角形中角平分线的处理策略：
1.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c AB 边上的高23
h c =.
（1）若ABC ?为锐角三角形，且3cos 5A =，求角B 的正弦值；
（2）若22213,a b c C M π++==，求M 的值.· 2.,且(sin c （1 3.?（1上，2,||32AB AC AM AM +==求?4.?,且2R （15.ABC ?,,A B C ,,a b c 99cos c a b A -=（1）求cos B （2）若角B 的平分线与AC 交于点D ，且1BD =，求11a c
+. 6.ABC ?中,D 是BC 上的点,AD 平分,2BAC BD DC ∠=.
（1）求sin sin B C （2）若60BAC ∠=,求B ∠.
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三角形的高、中线与角平分线(全国优质课一等奖)
2008年全国第六届初中数学优质课比赛教案 课题：§7.1.2三角形的高、中线与角平分线 教材：人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册第65～66页 授课教师：临川一中陈良琴 [教材分析] 1、本节教材的地位与作用： 学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔．本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线． 通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别．另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础．故学好本节内容是十分必要的． 2、教学重点： 能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．3、教学难点： 在钝角三角形中作高． 4、教学关键： 运用好数形结合的思想，特别是研究三角形的角平分线、中线、高时，从折叠、度量入手，获得三种线段的直观形象，以便准确理解上述基本知识。 [教学目标] 基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标： （1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点． （2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心． [学情分析] 七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养． [教学过程] 本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．
解三角形中的高、中线、角平分线问题
解三角形中的高、中线、角平分线问题 浙江温州龙湾中学2008级学生 王煜坤 指导老师 陈华云 [注]：此文获校首届“科技节”系列活动之“数学小论文”评比三等奖 在学习了《解三角形》这一章后，我们学会了怎样利用正弦定理和余弦定理来求三角形的边、角等问题。先让我们来回顾这部分主要内容： 正弦定理： C c B b A a sin sin sin = = 余弦定理：) 3(cos 2)2(cos 2)1(cos 22222 2 2 222C ab b a c B ac c a b A bc c b a -+=-+=-+= 思考1：正弦定理和余弦定理可以互推吗 ①正弦定理?余弦定理 设 R C c B b A a 2sin sin sin === … 则C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 2 22222222222222222222222222222222222sin 4)cos sin cos (sin 4]cos cos sin sin 2cos sin cos [sin 4]cos cos sin sin 2)sin 1(sin )sin 1([sin 4)]sin sin 2cos cos sin sin 2sin [sin 4)]sin sin cos (cos sin sin 2sin [sin 4)] cos(sin sin 2sin [sin 4)cos sin sin 2sin (sin 4cos sin sin 8sin 4sin 4cos 2a A R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R C B C B C B C B R C B C B C B R A C B C B R A C B R C R B R A bc c b ==+=++=+-+-=-++=-++=+++=-+=-+=-+∴ 同理B ac c a b cos 22 2 2 -+=；C ab b a c cos 22 2 2 -+= 故“正弦定理?余弦定理”成立 ②余弦定理?正弦定理 由 （1）+（2） 得B ca A bc c b a b a cos 2cos 222 2 2 2 2 --++=+ 即B a A b c cos cos +=代入（3）得 C ab b a B a A b cos 2)cos cos (222-+=+ ?C ab b a B A ab B a A b cos 2cos cos 2cos cos 222222-+=++
(完整版)初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点
初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点 我们在学习三角形的时候，学到好多“线”，比如：中线、角平分线、垂线、高线等等。它们都是三角形里面比较重要的东西，也是比较重要的知识点。 如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为多少？ 这道题题目比较简单，很容易得出答案是2。 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。 三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。（这是三角形的角平分线与角平分线的区别） 角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 三角形的高线
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
解三角形中的中线、角平分线、高线的处理策略
1.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c AB 边上的高23h c = . （1）若ABC ?为锐角三角形，且3cos 5 A =，求角 B 的正弦值； （2）若22213,4a b c C M ab π++==，求M 的值.· 2.ABC ?的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c , 且(sin )()(sin sin )c C B a b A B -=-+. （1）求A ； （2）若BC 边上的高h b == ABC ?的面积. 解三角形中中线的处理策略： 3.ABC ?的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,已知cos (3)cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若3b =，点M 在线段BC 上，2,||AB AC AM AM +==u u u r u u u r u u u u r u u u u r ABC ?面积. 4.ABC ?内接于半径为R 的圆,,,a b c 分别是,,A B C 的对边,且22 2(sin sin )()sin ,3R B A b c C c -=-=， （1）求A ； （2）若AD 是BC 边上的中线，2 AD = ，求ABC ?面积. 解三角形中角平分线的处理策略： 5.ABC ?的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,且99cos c a b A -=. （1）求cos B （2）若角B 的平分线与AC 交于点D ，且1BD =，求 11a c +. 6.ABC ?中,D 是BC 上的点,AD 平分,2BAC BD DC ∠=. （1）求 sin sin B C （2）若60BAC ∠=o ,求B ∠. 1.
三角形的角平分线、中线和高 教学设计
三角形的角平分线、中线和高 【教学目标】 知识与技能 1．经历折纸、画图等实践过程，认识三角形的中线、角平分线、高。 2．会画出任意三角形的角平分线、高、中线，通过画图了解三角形三条角平分线、三条中线、三条高会交于一点。 过程与方法 1．通过折纸、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展他们的空间观念。 2．注重学生在具体活动中的参与程度以及与同伴之间交流的情况。 情感、态度与价值观 在学生充分进行操作、思考和交流过程中，激发学生的求知欲。 【教学重点】 了解三角形的角平分线、中线、髙的概念，会画出三角形的角平分线、中线、高。 【教学难点】 了解三角形三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点。 【教学过程】 （一）情景一： 复习回顾：上节课我们学习三角形按角分为哪几类？ 学生回顾思考，并举例回答： 1．锐角三角形；2．直角三角形；3．钝角三角形。 （二）情景二 1．复习用量角器或折纸的办法画出或折出一个角的平分线。 学生在纸上利用量角器画出任意一个角的平分线，或用折纸的办法得到角的平分线。 2．在一张薄纸上任意画出一个三角形，你能设法画出它的一个内角平分线吗？ 学生可利用折纸的办法得到，也可通过量角器画出。 3．三角形角平分线定义。 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三
角形的角平分线。 学生观察、阅读、体会角平分线定义的含义，它是一条线段，而角的平分线是一条射线。 4．每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个： 每个学生拿出准备好的三角形利用量角器画出它们的角平分线。 （1）你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？ （2）你能用折纸的办法得到它们吗？ 学生先独立完成，然后小组内互相交流，最后小组派代表演示。 （3）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？ 学生讨论后举手回答。 （三）情景三： 1．提问 （1）什么是三角形的中线？ （2）如何画出三角形的中线？ 学生阅读教材相关内容，明确三角形中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 （3）什么是三角形的髙？ 理解垂线与高的区别。 2．每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。 （1）分别画出它们的三条中线。 （2）用折纸的办法能得到它们吗？你发现它们的位置有什么关系？ 学生思考后画、折，小组内讨论、相互交流。以小组为代表回答所得的结论。 3．相关结论： （1）三角形的三条角平分线交于一点。 （2）三角形的三条中线交于一点。 （3）三角形的三条髙交于一点。 学生通过自己动手实践，观察、交流得出结论。 （四）课堂练习： 教材“练习”1、2题。 （五）课堂小结： 1．本节课我收获了哪些知识？ 2．本节课我还有哪些不明白问题？
人教版八年级数学上三角形及其角平分线、中线和高线
初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 三角形及其角平分线、中线和高线 知识导引 1、三角形的有关概念： 定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。 三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。 2、三角形的边角关系： 边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。 角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。 边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。3三角形的分类： 按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。 典例精析 例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。 A 例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。求∠
＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的值。 例3—1：求如图1所示图形中∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的大小。 例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）= 例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。 例4—1：如图，点C 在直线BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点1A 。 （1）若∠A=60°，求∠1A 的度数； （2）若∠A=m 度求∠1A 的度数； （3）在（2）的条件下，若再作∠1A BE ，∠1A CE 的平分线，交于点2A ；作∠2A BE ，∠2A CE 的平分线，交于点3A ；…；以此类推，则∠2A ，∠3A ，…，∠n A 分别为多少度？
三角形的高、中线和角平分线教案
（设计说明：通过对已学知识的回忆来巩固基础知识的运用，并借此引入新课．）问题1：数一数，图中共有多少个三角形?请将它们全部用符号表示出来．
问题1：你能画出下列三角形的所有的高吗? 学生画出三角形所有的高，观察这些高的特点．
问题2：根据画高的过程说明什么叫三角形的高? 学生讨论回答，师完善并归纳：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，连接顶点和垂足之间的线段称为三角形的高． 问题3：在这些三角形中你能画出几条高?它们有什么相同点和不同点? 学生回答：每个三角形都能画出三条高． 相同点是：三角形的三条高交于同一点． 不同点是：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点． 问题4：如图所示，如果AD是△ABC的高，你能得到哪些结论? 学生回答：如果AD是△ABC的高，则有： AD⊥BC于D，∠ADB=∠ADC=90°． （教学说明：三角形的高的概念在书中并没有具体给出，所以学生在归纳定义的时候会有一定的困难．那么在授课时就要留给学生充足的时间进行思考和讨论，教师可以引导学生先利用具体图形进行定义，再由具体图形中抽出准确、简明的语言，同时要强调：三角形的高是一条线段．在问题3中，有些学生会认为直角三角形只能画出斜边上的一条高，这时教师要给予讲解，说明另外两条直角边也是这个直角三角形的高．而问题4是要将三角形的高用符号语言表示出来，这是为以后学习证明打基础．） 2．类比探索三角形的高的过程探索三角形的中线
学生回答：． 的中线，那么． 学生回答：无论哪种三角形，它们都有三条中线，并且这三条中线都会交于一点，这一点都在三角形的内部．
三角形中线高角平分线的专项练习30题(有答案)ok
三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案） 1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F． （1）试说明∠BCD=∠ECD； （2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）． 2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线， （1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数； （2）在△BED中作BD边上的高； （3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？ 3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长． 4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小． 5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小． （2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．
6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数． 7．在△ABC中． （1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图） （2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________°，再用你已学过的数学知识加以说明． （3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________°． 8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数． 9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B． （1）试说明CD是△ABC的高； （2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长． 10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数． 11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线． （1）求∠DAE的度数； （2）指出AD是哪几个三角形的高．
三角形的高、中线角平分线知识点与练习
三角形的高，中线，角平分线知识点及练习 知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三边上的高： 2、上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC=∠ = ° 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心。 练习一：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）． 知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 1、 作出下列三角形三边上的中线 2、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = =2 1 ， 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交于三 角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（5）交 点我们叫做三角形的重心。 练习二：如图，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有 个三角形，BD 是三角 形 中 边上的中线，BE 是三角形 中________上的中线； 知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题 自学课本66页三角形的角平分线并完成下列各题： 1、作出下列三角形三角的角平分线： A C B A C B A C B A C B A C B A C B
2、AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠BAD=∠ = 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ； （4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做 三角形的内心。 练习三：如图，已知∠1=2 1∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线为 . 总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。 三、综合练习 1．三角形的角平分线是（ ）． A ．直线 B ．射线 C ．线段 D ．以上都不对 2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；?②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，AF 是△ABC 的中线，写出图中所有相等 的角和相等的线段。 4在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长 分为12cm 和15cm 两部分，求三角形各边的长 A C B D E F
三角形的高、中线与角平分线练习题及答案
7.1.2 三角形的高、中线与角平分线 1．以下说法错误的是（） A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点 2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，?那么这个三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图1，BD=1 2 BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积． (1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC?的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（） A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形 6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD?与△ACD的周长之差． 7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．?可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？ 综合创新作业
8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，?由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）． 10．（创新题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE． 11．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是 AB、AC上的高，?且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠ BPC的度数是（） A．150° B．130° C．120° D．100°
《三角形的高、中线与角平分线》教学设计
一、内容和内容解析 1.内容 三角形高线、中线及角平分线的概念、几何语言表达及它们的画法. 2.内容解析 本节内容概念较多，有三角形的高、中线、角平分线和重心等有关概念;需要学生动手的频率也较高，要掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，培养学生动手操作及解决问题的能力;鼓励学生主动参与，体验几何知识在现实生活中的真实性，激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情. 理解三角形高、角平分线及中线概念到用几何语言精确表述，这是学生在几何学习上的一个深入.学习了这一课，对于学生增长几何知识，运用几何知识解决生活中的有关问题，起着十分重要的作用.它也是学习三角形的角、边的延续以及三角形全等、相似等后继知识一个准备. 本节的重点是了解三角形的高、中线及角平分线概念的同时还要掌握它们的画法，难点是钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系. 二、目标和目标解析 1.教学目标 (1)理解三角形的高、中线与角平分线等概念. (2)会用工具画三角形的高、中线与角平分线. 2. 教学目标解析 (1)经历画图实践过程，理解三角形的高、中线与角平分线等概念. (2)能够熟练用几何语言表达三角形的高、中线与角平分线的性质. (3)掌握三角形的高、中线与角平分线的画法. (4)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别相交于一点. 三、教学问题诊断分析 三角形的高线的理解：三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上.
三角形的中线的理解：三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点. 三角形的角平分线的理解：三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个 端点，另一个端点在对边上.而角的平分线是一条射线，即就是说三角形的角平分线与通常的角平线有一定的联系又有本质的区别. 四、教学过程设计 1.抛砖引玉，提出问题 先演示画三角形的一条高，再给出问题： (1)任画一个三角形，你能画出它的三条高吗? (2)同一个三角形的三条高线有什么位置关系? (3)不同类型的三角形的三条高线的交点位置有什么差别? 师生活动：先让学生画图实践，教师下位随机点拔，再让会画和不会画的学生相互交流提点，然后带着问题讨论，最后各小组派代表发言，师生共同归纳概念和画法. 【设计意图】这一环节是一个重要的实践活动，需要学生动手实践，动口交流，动脑思考，加深理解高线的概念和掌握画高线的作图能力. 2.从实践上升到理论，形成概念 师生活动： 定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，这个顶点和垂足之间的连线段叫做三角形的高线,简称三角形的高. 三角形的高有三条,特别强调：钝角三角形的高有两条在三角形外部，一条在三角形内部.直角三角形的两直角边就是高线.任何三角形的三条高所在直线交于一点，这点叫三角形的垂心. 归纳：锐角三角形有
专题四 三角形中的中线、角平分线、高线处理
专题5 解三角形中的中线、角平分线、高线处理 解三角形类问题在考查时除了结合正弦定理，余弦定理，勾股定理设置题目外，往往还和三角形的一些常见元素：中线，角平分线，高线结合在一起考查。在处理相关题目时，我们除了要充分运用正余弦定理处理边角关系，还要结合角平分线，中线，高线自身的一些性质进行解题。 小专题 中线 【知识准备】 如图，在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，D 为BC 的中点 （一）余弦定理法 在ABD ?中，ADB AD a AD a c ∠?-+=cos )21 (222在ACD ?中，)cos()21 (222ADB AD a AD a b ∠-?-+=π② ①+②得)(22222AD BD c b +=+ （二）向量法 由于)(21 BA BC BD += 所以)cos 2(41 222A bc c b AD ++= （三）倍长中线法 借助平行四边形性质：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和。 易得2222)2()(2AD BC AB AC +=+ （四）中线公式 在△ABC 中，BC 边上的中线和三边有如下关系（可以用上面三种方法推导）： 2 )(22 22a c b AD -+= 一、余弦定理/倍长中线法 【题目】在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c （1）若0cos sin =+A b B a ，求角A. （2）若D 为BC 的中点，4==AD BC ，求AC AB +的取值范围. A C D B
【解析】（1）由正弦定理0cos sin sin sin =+A B B A 所以1tan -=A ，又因为),0(π∈A ，4 3π =∴A （2）解法一利用余弦定理 因为D 为BC 的中点，所以4==AD BC 由余弦定理，在ABD ?中，ADB AB ∠??-+=cos 42242222① 在ACD ?中，)cos(42242222ADB AC ∠-??-+=π② ①+②得4022=+AC AB 所以54)(222=+≤+AC AB AC AB 又因为三角形两边之和大于第三边，所以]54,4(∈+AC AB 解法二利用倍长中线 由知识准备知80)(2)2(2222=+=+AC AB BC AD 所以4022=+AC AB 所以54)(222=+≤+AC AB AC AB 又因为三角形两边之和大于第三边，所以]54,4(∈+AC AB 二、向量法 【题目】已知ABC ?的面积为33，且内角C B A ,,依次成等差数列. （1）若A C sin 3sin =，求边AC 的长； （2）设D 为AC 的中点，求线段BD 长的最小值.
三角形的高线、中线与角平分线
11.1.2三角形的高线、中线与角平分线 （一）教材分析： 三角形的高、中线与角平分线位于第七章第一节第二课时，介绍三角形的高线、中线，角平分线和三线简单的运用。本节课是在垂线，角平分线，中点的基础上来学习的。承接九年级圆的内心、重心及三角形的五心。作图，归纳，等积思想贯穿于中学数学的各个阶段。课本通过作图和图形变换在学生不断构建已有知识的基础上，层层深入，循序渐进。从基础知识，基本思想，到能力构建，再能力提升。 （二）教学目标： （1）知识目标了解三角形的高线，中线，角平分线。比较垂线与高线，角平分线与三角形的角平分线的区别联系。通过图形变换学生实践体会做 高的要领。 （2）情感目标通过作图学生进行猜想归纳推理等教学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学习热情。 （3）能力目标培养学生的几何语言表达能力。通过作图学生体会从特殊到一般的归纳认识问题的方法。让学生体会到认识事物是一个由特殊到一 般，又由一般到特殊的过程。 （三）教学的重点难点及相应的措施： 重点：（1）三角形三线的理解和简单运用（2）会做各种三角形的高线。 措施：（1）学生通过实践作图理解三线的定义。 （2）采用图形变换体会作高的要领 难点：（1）作三角形的高。特别是作钝角三角形的高。 （2）归纳总结三线的特征。 措施：（1）学生通过实践作图和图形变换。（2）学生探究合作讨论。（四）学情分析： 初一的学生在学习数学方面数积极性较高，但是学习方法的逐渐形成，分析问题解决问题的思维的提高还需要教师的引导。本节课学生从画图理解三角形的三种线段，通过实践体会做高的要领。通过课本三线的定义由易到难，循序渐进，学习归纳总结符合学生认知规律。努力营造轻松、和谐的课堂气氛，充分激活学生的探索欲望。让学生在实践中好奇地学，留给学生足够的自主活动、相互交流的空间，让学生在观察中不断发现数学问题、在实践中领悟数学思想。在评价中逐步形成数学价价值观。 （五）教学方法： 1：启发式，问题讨论． 2：类比学习法。 3：实践。鼓励学生积极动手，当学生在探究过程中遇到困难时教师启发设计必要的铺垫，让学在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究。（六）媒体设计思路： 利用多媒体方便快捷展示学生的练习题和变式题目，并进行图形的变换。最后再进行小结。 （七）启发与反思： 1：基本作图的应用本身就内容丰富，对初一学生学习实践能力是极大的考验。
三角形的高、中线角平分线知识点与练习
三角形的高，中线，角平分线知识点及练习 班级： 姓名： 知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三边上的高： 2、上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC=∠ = ° 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点； （2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心。 练习一：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）． 知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三边上的中线 2、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = =2 1 ， 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的重心。 练习二：如图，D 、E 是边AC 的三等分点， 图中有 个三角形， BD 是三角形 中 边上的中线， BE 是三角形 中________上的中线； A C B A C B A C B A C B
知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题 自学课本第5页三角形的角平分线并完成下列各题： 1、作出下列三角形三角的角平分线： 2、AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠BAD=∠ = 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形 的 ；（5）交点我们叫做三角形的内心。 练习三：如图，已知∠1=2 1∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线为 . 总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。 三、综合练习 1．三角形的角平分线是（ ）． A ．直线 B ．射线 C ．线段 D ．以上都不对 2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；?②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，AF 是△ABC 的中线，写出图 中所有相等的角和相等的线段。 4．在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长 分为12cm 和15cm 两部分，求三角形各边的长 A C B A C B A C B D E F
三角形及其角平分线、中线和高线
三角形及其角平分线、中线和高线 知识导引 1、三角形的有关概念： 定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。 三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。 2、三角形的边角关系： 边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。 角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。 边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。3三角形的分类： 按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。 典例精析 例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。 例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。求∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值。
例3—1：求如图1所示图形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的大小。 例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）= 例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°， 求∠A 的度数。 例4—1：如图，点C 在直线BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点1A 。 （1）若∠A=60°，求∠1A 的度数； （2）若∠A=m 度求∠1A 的度数； （3）在（2）的条件下，若再作∠1A BE ，∠1A CE 的平分线，交于点2A ；作∠2A BE ，∠2A CE 的平分线，交于点3A ；…；以此类推，则∠2A ，∠3A ，…，∠n A 分别为多少度？ 例5：（1）如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于点G ，若∠BDC=140°，
三角形的高线_角平分线_中线
三角形的高线·角平分线·中线 教学思路： 本节课设计充分体现新课程标准下数学课堂教学，以学生为主体，教师为引导的目的去进行教学，开展以“自主、合作、探究、师生互动”的学习方式，让学生经历学习数学的严谨探索过程，真正成为学习的主人。 教学内容： 本节课教学内容是《义务教育课程标准实验教科书数学》（湘教版2011版）八年级（上）第二章“三角形”第一节“三角形”的第二课时。 教材分析： 三角形第二课时教学内容是在已有的数学基础上进行教学，教学目的是让学生会画并理解三角形的高线、角平分线、中线。为实现这节课的教学目标，充分揭示获取知识的思维过程，我采用引导探索教学方法，通过学生大量的动手实验，激发学生探究问题的积极性，重视学生的活动，以及决实际问题为特色，以教与学的协调发展为核心，以学生参与、探索为主要特征，面向全体学生因材施教。在此过程中培养学生观察能力、分析和解决问题能力、创新能力。 学生基本状况分析： 我校是嘉禾县的一所民办学校，办学条件差，学生大都是农村的留守儿童，学生的基础及学习习惯是比较差。学生对新的课堂教学方法不是很适应；不过，在新的教学理念的指导下，旧的教学方法和学习方法逐步淡化。现在，班级中已初步形成合作交流和勇于探究的良好学风，学生间互相评价和师生互动的课堂气氛已逐步形成。也有一部分学生受社会上的“读书无用论”的影响，厌学情绪严重。 教学目标： （一）学习目标： 1、经历折纸、画图等实践过程认识三角形的高线、角平分线、中线。 2、会画出任意三角形的高线中线、角平分线、中线，并达到在具体的三角形中做出它们。 3、通过画图了解三角形三条高线、角平分线、三条中线会交于一点。 4、三角形的重心。
三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题
三角形的角平分线、中线和高 1．已知，△ABC中，AD是BC边上的高，∠CAD=33°，则∠ACB= °．2．△ABC中，AD，CE是BC，AB边上的高，AD，CE相交于P，∠B=50°，则∠APC 的度数是． 3．△ABC中，∠B的外角平分线的与∠C外角平分线相交于点P，且∠BPC=80°，则∠BAP的度数为． 4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠ACB平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB= ． 5．如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=3，△ABD的周长和△ACD的周长相差．& 6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个 三角形是（填“锐角三角形”，“直角三角形”，“钝角三角形”） 7．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=46°，∠C=72°，则∠EAD= °． 8．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是a cm． 则AE+CD+BF= cm． @
9．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D．则 ∠ECD= ． 10．角平分线一定垂直于底边． 11．在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD= °． 12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC= ． 13．如图六，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示； （1）AC边上的高； （2）BC边上的高．（在上图中直接画） [ 14．在△ABC中，AC=3cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长比△ADC的周长大2cm，则BA= cm．
三角形的高中线与角平分线(教案)
七年级数学教学设计 课题11.1.2三角形的高、中线与角平分线课型新授 通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三 知识目标角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点． 三维 目标经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力能力 目标及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力． 情感 目标教学重点 教学难点 教学方法 教学过程 通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心． 能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解 它们概念的含义、联系和区别． 在钝角三角形中作高． 引导讲授法 引入新课 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? （引出三角形高） 活动1 （一）探究三角形的高 1．三角形高的定义：（你能描述三角形的高吗？） 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，在△ABC中，AD⊥BC,点D是垂足，AD是△ABC的一条高． 2．做一做： （每一个同学准备一个锐角三角形的纸片） 你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们 吗？从这三条高中你发现了什么？（这三条高之间有怎样的位置关系）（（可以反过来画好高后，找哪条边上高））
3．议一议：（使折痕过顶点，,顶点的对边边缘重合） 如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画的方法找到 它的高吗？它们的高有几条？它们又有什么样的位置关系？ 4．练一练： （1）AD 为 ?ABC 的高，则 ∠ADB = ∠ = （2）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这 个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 （△3）在下图中，正确画出 ABC 中 BC 边上高的是（ ）． 活动 2 （二）探究三角形的中线 问题 1：你能将 ?ABC 分为面积相等的两个三角形吗？（引出三角形中 线） 1．三角形中线的定义： 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段， 叫做这个三角形的中线．） 如图， D 是 BC 的中点，则线段 AD 是△ ABC 的中线，此时有 1 BD=DC= 2 BC ． 2．做一做： 你能画出三角形的所有中线吗？观察你们所作的图形，你又有哪些 发现？与同伴交流．（分组合作交流） 3．练一练： 如图，AD 、BE 为△ABC 的中线交于点 G,连 结 CG,并延长交 AB 于点 F. (1)则 AC= AE= EC ，CD= , AF= AB. (2)若 △S ABC =12cm 2，则 △S ABD = . 活动 3 (三)探究三角形的角平分线 问题：准备一个三角形纸片 ABC ，按图所示的方法折叠，展开后， 折痕 BD 把∠ABC 分成∠1 和∠2 两部分．观察∠1 和∠2 有什么关系？ （由学生动手操作，观察思考，引出三角形的角平分线）