机械振动与噪声习题答案(1) 部分

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振动与噪声习题解答(1)

1-4 一简谐振动频率为10Hz ,最大速度为4.57m/s, 求其振幅、周期和最大加速度。 解:简谐振动的一般形式为: x (t )=Asin(ωt +φ) 速度:ẋ(t )=Aωcos(ωt +φ) 其最大速度为Aω=4.57,A =

4.57ω

=0.7273 周期T=1/f=0.1s, ẍ(t )=−Aω2sin(ωt +φ)

ẍ(t )max =4.57ω=287.14 m/s 2

1-6 一台面以一定频率做垂直正弦运动,如要求台面上的物体保持与台面接触,则台面的最大振幅可有多大?

解: 台面上的物体受力分析如下

根据牛顿第二定律: mg −F =mẍ(t )=−mAω2sin(ωt +φ) 保持接触,则F ≥0,

ẍ(t )max ≤g →A max =

g ω2

1-7 计算两简谐运动x1=Xcos (ωt ),x2=Xcos(ω+ε)t 之和,其中ε≪ω。如果发生拍振现象,求其振幅和拍频。

解:设x =x1+x2=X [cos (ωt )+cos (ω+ε)t ]=2Xcos (ε

2)t cos (ω+ε

2)t 上式可以看做是一个余弦函数,由于ε≪ω,频率可近似为ω:

x ≈2Xcos (ε

2

)t cosωt

振幅为可变振幅 2Xcos (ε

2)t ,当t: 0→ π

ε →2π

ε

, 振幅从 2X → 0 →2X , 每隔2π

ε时间重复一次,所以振幅的周期T =

2πε

,拍频为:T =ε

2π 1-11 阐明振动与声的关系和区别

答:声波是有振动引起的,这是声与振动的联系;

声与振动的区别:振动量是时间t 的函数,而声波的波动量则不仅是时间t 的函数,同时还是空间s 的函数,声波波动量存在的空间称为声场。

2-3. 如图2-33所示,质量为m 、半径为r 的圆柱体,可以沿水平面做纯滚动,它的圆心O 用刚度为k 的弹簧相连,求系统的振动微分方程。

解:采用能量法

1) 建立广义坐标。取质量元件沿水平方向的位移作为广义坐标。

坐标原点O 设在弹簧平衡位置,方向向左为正。

2) 让质量元件m 沿广义坐标方向移动一个位移x ,由于圆盘纯滚

动,所以圆盘逆时针旋转θ=x/r 角度。

3) 势能: U =1

2

kx 2

动能:(包括质心平动动能和绕质心的转动动能)

V =mẋ2

2+Jθ2

2=mẋ2

2+mr 22x r 22

2=3mẋ24

能量守恒定律:d(U+V)=0,可得振动微分方程为:

(

3m

2

ẍ+kx)ẋ=0 3m

2

ẍ+kx =0

2-5 求图2-35所示弹簧-质量-滑轮系统的振动微分方程(假设换轮与绳索间无滑动) 解:力法(一)

1) 建立广义坐标。取质量元件沿垂直方向的位移作为广义坐

标。坐标原点O 设在质量元件平衡位置,方向向下左下为正。

2) 让质量元件m 沿广义坐标方向移动一个位移x ,由于圆盘

纯滚动,所以圆盘逆时针旋转θ=x/r 角度。

3) m 受到重力和拉力F ,对质量m 运用牛顿第二定律 mẍ=mg −F

4) 对质量M 运用动量矩定理

Jθ=Fr −k (∆x +x )r

Mr 2ẍ

2r =Fr −k (∆x +x )r Mẍ

2=F −k (∆x +x ) 静平衡时有: mg =k (∆x )

得微分方程:

(

M

2

+m)ẍ+kx =0 能量法(二)

1) 建立广义坐标。取质量元件沿垂直方向的位移作为广义坐标。坐标原点O 设在质量元

件平衡位置,方向向下左下为正。

2) 让质量元件m 沿广义坐标方向移动一个位移x ,由于圆

盘纯滚动,所以圆盘逆时针旋转θ=x/r 角度。 3) 势能(设平衡位置时的势能为0)

U =[12k (x +∆)2−mgx]−12k (∆)2=1

2

k (x )2

4) 动能

V =12mẋ2

+12Mr 22

θ2

能量守恒定律:d(U+V)=0,可得振动微分方程为:

(

M

2

+m)ẍ+kx =0

2-11 系统参数如图2-40所示,刚性杆质量可以忽略不计,求系统对于广义坐标x 的等效刚度。

解:对小车施加向左的里F ,产生向左的位移x ,向左为正。则可利用刚度的定义有 F =k

e x

对小车在x 方向的受力进行分析:

弹簧1的伸长量∆1=xcosα,弹簧力在x 方向的分量为:F 1x =k 1∆1cosα=k 1xcos 2α

弹簧2的伸长量∆2=x

b

a ,弹簧力在x 方向为:k 2x

b

a

弹簧2与支点的上下力矩平衡, 设枝干作用在小车上的向右的力为F 2,则

k 2x

b aa =F 2b F 2=k 2

aax

bb

根据小车在x 方向的平衡条件

F =F 1x +F 2=k 1xcos 2

α+k 2a 2x

b

2

有效刚度为

k e =k 1cos 2

α+k 2a 2

b

2

2-15 用观察法建立图2-44所示的链式系统的振动微分方程。简要说明必须注意的问题。 解:1)对质量元m

1和m 2建立广义坐标如图所示,坐标原点在系统平衡时各质量元的位置。

2)根据视察法,系统的振动微分方程具有如下形式

[M ]{ẍ}+[C ]{ẋ}+[K ]{x }={0}

则质量矩阵

[M ]=[m

1

00

m 2

] 阻尼矩阵

[C ]=[c 1

−c 1−c

1

c 1]

刚度矩阵

[K ]=[

k 1+k 2+k 3

−k 3

−k 3

k 3+k 4

]

[m 100

m 2]{ẍ1

ẍ2}+[c 1−c 1−c 1

c 1]{x 1ẋ2}+[k 1+k 2+k 3

−k 3

−k 3

k 3+k 4]{x 1x 2

}={0}

2-18 行车载重小车运动的力学模型如图2-47所示,小车质量m1,受到两根刚度为k 的

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