小六寒假班讲义

第一讲抓不变量解题

1、某班有学生48名，女生占全班人数的37.5%，后来又来了若干名女生，这时女生人数恰好是全班人数的2/5，问共转来了多少名女生？

2、某工厂有240名工人，其中女工占5/8，后来又调进若干名女工，这时女工占现有

工人总数的20/29，调进多少名女工？

3、某养殖专业户养黑兔和白兔共64只，其中黑兔占1/4，后来又买进一些黑兔，现

在黑兔占总数的2/5，买进黑兔多少只？

4、学校阅览室有36名学生在看书，其中女生占4/9，后来又有几名女生来看书，这

时，女生人数占所有看书人数的9/19，问后来又来了多少名女生？

5、把10%的盐水1000克，制成8%的盐水，应加水多少克？

6、把12%的盐水500千克，制成含盐10%的盐水，应加水多少千克？

7、在80千克含盐10%的盐水中，再加入多少千克盐，能使它变为含盐20%的盐水？

8、有含15%酒精的溶液2000克，要使酒精浓度为20%，需加入酒精多少克？

9、从分数89/149的分子分母中减去相同的整数，使它成为2/5，分子和分母应减去

哪一相同的整数？

10、分数8/23的分子分母都加上一个质数后，分数变成5/8，这个质数是多少？

11、将58/79这一分数的分子和分母减去同一个数，新分数约分后是2/3，那么分子分母减去的同一个数是几？

12、甲仓库内有存粮196吨，乙仓库内有存粮332吨，要使甲仓库内的存粮是乙仓库的3倍，必须从乙仓库中运出多少吨粮食放入甲仓库？

13、某校选派360名学生参加夏令营，结果发现男生占40%。为了使男生占50%，又增派了一些男生，增派了多少名男生？

14、某乡去年有蔬菜田600公顷，水稻田300公顷。为确保城市的蔬菜供应，今年又将一部分水稻田改为蔬菜田，使水稻田的数量相当于蔬菜田的1/8。今年这个乡把多少公顷的水稻田改为蔬菜田？

第二讲用倒推法解题

1、华球商店出售洗衣机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩余的一半少20台，结果还剩105台。华球商店原有洗衣机多少台？

2、小明有钱若干元，第一次用去2/5后，又得到240元，第二次用去这时所有钱的1/3后，还剩720元。问第一次用去多少元？

3、3只猴子吃篮子里的桃子，第一只猴子吃了1/3，第二只猴子吃了剩余的1/3，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的1/4，最后篮子里还剩下6个桃子。问篮子里原有多少个桃子？

4、甲、乙两人各有钱若干元，甲拿出1/6给乙后，乙又拿出1/5给甲，这时他们各有钱240元。两人原来各有多少元钱？

5、甲、乙两港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲港同样多的船只，那么照这样四次后，甲乙港所停的船只数都是48只，求甲、乙两港原来各有多少只小船？

6、甲、乙、丙三人各有若干本书，甲给乙、丙两人几本书，使两人书的本数增加1

倍，然后乙也照这样送给甲、丙两人，最后丙也照这样送给甲、乙两人，结果甲有书48本，是丙的书的本数的4/5，乙的书本数是丙的书的本数的17/15。甲、乙、丙原来各有书多少本？

7、甲、乙、丙、丁各有棋子若干枚，甲先拿也自己的棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙两人的棋子数增加一倍，然后乙也把自己棋子的一部分以同样的方式给了丙、丁，丙也把自己的棋子的一部分以这样的方式给了甲、丁，最后丁也以这种方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16枚，原来四人各有多少枚棋子？

8、把180个苹果按每人一个分给幼儿园里甲、乙、丙、丁四个班组的小朋友，如果甲班人数加2，乙班人数减2，丙班人数乘2，丁班人数除以2，四个班人数相等。那么这四个班各应分多少个？

9、一筐梨，甲取了一半又1个，乙取了余下的一半又1个，丙取了余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个梨。这筐梨共值4.4元，问每个梨值多少钱？

10、一堆西瓜第一次卖出总数的1/5还多4个,第二次卖出剩下的1/4还多3个,第三次卖出剩下的1/3还多3个,第四次卖出剩下的1/2少1个半,还剩12个.这堆西瓜原有多少个?

11、仓库里有水泥若干袋，第一次运出全部的水泥的1/3，第二次运进400袋，第三次运出现有水泥的1/5又40袋，结果仓库里还剩水泥800袋。问仓库里原有水泥多少

袋？

12、把一根木头对半锯开，再取其中的一段木头对半锯开，这样锯了4次，剩下的正好是2米。这根木头原长多少米？

13、有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/4给乙桶后，又从乙桶中倒出1/4给甲桶，这时两桶油各有90千克，原来甲、乙两个桶各有多少千克油？

14、甲、乙、丙三个袋子里各有若干个小球，从甲袋中拿出3个放入乙袋，再从乙袋中拿出5个放入丙袋后，三个袋子里的小球个数相等。原来乙袋比丙袋多几个球？

15、三个袋中各装一些球，现从甲袋中取出3

1

的小球放人乙袋，然后乙袋中取出现

在的41放人丙袋，最后再从丙袋中取出现在的101

放人甲袋，那么各袋中的球都是

18个，原来甲袋中有多少个球？

16、小红倒满了一杯饮料，她先喝了这杯饮料的61，加满水后又喝了3

1

，接着再加

满水。再次加满水后把一杯都喝了，小红共喝了多少杯水？

17、一次数学考试时，有一道题要求将一个数乘以5，小华却错以为除以5来计算，接着题目要求将所得的数再减去24，他又错以为是加上24，犯了这些错误之后，非常幸运地，他的答案竟然是正确的，那么正确的答案是多少？

18、小马虎在计算一道除法算式时，把除数4.13错写成41.3，结果所得到的商比正确的商减少了2.52，这道除法算式的被除数是多少？

第三讲火车行程问题

1、甲火车长210米，每秒行18米，乙火车长140米，每秒行13米，乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶，求甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少时间？

2、小明以每秒2米的速度沿铁路旁的人行道跑步，身后开来一列长188米的火车，火车每秒行18米，问这列火车追上小明到完全超过小明共用了多少秒钟？

3、A火车长180米，每秒行18米，B火车每秒行15米，两火车同方向行驶，A火车从追上B火车到超过它共用了100秒，求B火车的长是多少米？

4、一列火车长180米，每秒行25米，全车通过一条120米的山洞，要多少秒？

5、一座大桥长2100米，一列火车以每分钟800米的速度通过这座大桥，从车头上桥到车尾离开桥共用3.1分钟，这列火车长多少米？

6、五年级222名同学排成两路纵队去春游，每两名同学相隔0.6米，队伍以每分钟60米的速度通过长294米的市民广场，一共要多少时间？

7、一列火车穿过长2400米的隧道要1.7分钟，以同样的速度通过一座长1050米的大桥要48秒，这列火车长多少米？

8、有两列火车，一列长220米，每秒行22米，另一列火车长200米迎面开来，两车从相遇到离开共用了10秒钟，求另一列火车的速度？

9、有两列火车，一列长320米，每秒行18米，另一列火车以每秒22米的速度迎面

开来，两车从相遇到离开共用了15秒，求另一列火车的长？

10、一列火车通过2400米的大桥要3分钟，用样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，只用了1分钟，求这列火车的速度？

11、一列火车从小明身旁通过用了15秒，用同样的速度通过一座长100米的桥用了20秒，这列火车的速度是多少？

12、一列火车长900米，从路边的一棵大树旁通过用了1.5分钟,以同样的速度通过一座大桥用了3.5分钟,求这座大桥的长度?

13、甲火车每秒行20米，乙火车每秒行`14米，若两列齐头并进，则甲车行40秒超过乙车，若两列齐尾并进，则甲车行30秒超过乙车，求甲乙两车各长多少米？

14、快车每秒行18米，慢车每秒行10米，两列火车同时同方向齐头并进，行10秒钟后，快车超过慢车；如果两列火车齐尾并进，则7秒后快车超过慢车，求两列火车的车长各是多少？

15、王叔叔沿铁路边散步，他每分钟走50米，迎面驶来一列长280米的列车，他与列车车头相遇到车尾离开共用了半分钟，求这列火车的长？

第四讲比例的意义和基本性质

一、填空。

1．（

）叫做比例。

2．（）叫做比例的项。（）叫做比例的外项，（）叫做比例的内项。

3．（

）这叫做比例的基本性质。

4．（

）叫做解比例。

5．两个比的（）相等，这两个比就相等。

二、按要求写比例。

1．写出一个你喜欢的比例。

2．写出一个比值是3/5 的比例。

3．一个比例的两个外项互为倒数，一个内项是1/10 ，写出符合条件的一个比例。

4．一个比例的两个内项的积是4/5 ，一个外项是3/8 ，写出符合条件的一个比例。

5．一个比例，组成比例的比的比值是1/4 ，两个外项分别是17和3/5 ，写出这个比例。

6．有两个比，比值都是2/3 ，第一个比的后项与第二个比的前项都是6，把这两个比组成比例。

三、按要求转化。

1．把6×8＝24×2改写成四个比例。

2．把7m ＝８n 改写成四个比例。

３．如果7 a＝6 b，那么a：b ＝（）/（）。

４．如果9 a＝5b ，那么b：a ＝（）/（）。

５．如果 3/5a＝4/9b ，那么 a：b＝（）/（）。

６．如果3/8a＝0.45b ，那么 b：a＝（）/（）。

７．如果甲数的4/5与乙数的7/9相等，那么甲数与乙数的比是（）。

８．男生人数的5/8与女生人数的5/9相等，那么女生人数与男生人数的比是（）。

四、选择题（选择正确答案的序号填在括号里）。

１．比例5∶3＝15∶9的内项3增加6，要使比例成立，外项9应该增加（）。

⑴6 ⑵18 ⑶ 27

2．把2千克盐加入15千克水中，盐与盐水重量的比是（）。

⑴2∶15 ⑵15∶

17 ⑶ 2∶17

3．下面的比中能与3∶8组成比例的是（）。

⑴ 3.5∶6 ⑵ 1.5∶4 ⑶ 6∶1.5

4．下面的数中，能与6、9、10组成比例的是（）。

⑴7 ⑵

5.4 ⑶ 1.5

(1)如果A：7=9：B，那么AB=（）

(2) 已知A÷10.5＝7÷B（A与B都不为0），则A与B的积是（）。

(3)如果5X=4Y=3Z，那么X：Y：Z=（）

(4)如果4A=5B，那么 A:B=（）。

(5)甲数的4/5等于乙数的6/7（甲、乙两数都不为0），甲乙两数的比是（）。

(6)把1.6、6.4、2和0.5四个数组成比例（）

(7)已知三个数12、16、9，如果再添上一个数，使之能与已知三个数组成比例式，这个数应该是多少?

(8)X：Y=3：4，Y：Z=6：5，X：Y：Z=（）

(9)从24的约数中选出四个约数，组成两个比例式是（）

(10)根据6a=7b，那么a:b=( )

(11)根据8×9＝3×24，写出比例（）

(12)在一个比例中，两个外项分别是12和8，两个比的比值是3/4，写出这个比例（）

(13)在12 、8 、16 这三个数中添上一个数组成比例，这个数可以是（）、（）或（）。

(14)用18的因数组成比值是的比例（）

(15)在一个比例中，两个外项互为倒数，如果一个内项是2.25，则另一个内项是( )。

(16)运一堆货物，甲用7小时运完，乙用5.5小时运完，甲和乙所用的时间的比是( )，工作效率的比是( )

(17)X的7/8与Y的3/4相等，X与Y的比是（）

(18)如果x/8=Y/13 ，那么X：Y=（）

(19)甲数除乙数的商是1.8，那么甲数与乙数的比是( )。

(20)在一个比例中,两个比的比值等于2,比例的外项是0.08和0.6,写出这个比例( )

第五讲正比例、反比例的意义

☆知识要点：

（1）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．

①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：

②正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．

所表示的两种相关联的量，成正比例关系．

注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．

例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．

反比例：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系．

用字母表示：两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是： xy=k（一定）

②反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变．

例：图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例．

因为实际距离×比例尺=图上距离（一定）

所以，实际距离和比例尺成反比例．

3.正比例和反比例

相同点：两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．

不同点：两种量成正比例，是一种量扩大，另一种量也随着扩大，一种量缩小，另一种量也随着缩小，它们扩大，缩小的规律是，这两种量相对应的两个数的比值不

变，即商一定．

两种量成反比例是一种量扩大，另一种量反而缩小一种量缩小，另一种量反而扩大，它们变化的规律是这两种量中，相对应的两个数积不变（一定）．

☆基础练习：

1.填空

①两种（）的量，一种量变化，另一种量（）．如果这两种量中（）的两上数的（）一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做（）．

判断下面两种量成什么比例，并说明理由．

①时间一定，每小时织布的米数和织布总米数．

②平行四边形面积一定，它的底和高．

③分子一定，分母和分数值．

④报纸的单价一定，总价与订阅的份数．

⑤正方形的周长和边长．

⑥正方形的边长和面积．

⑦路程一定，车轮的直径与车轮的转数．

⑧被成数一定，成数与差．

⑨三角形的高一定，底和面积．

⑩甲、乙两数互为倒数，甲数和乙数

☆数学医院：

①铺地的总面积一定，每块砖的面积与需要的块数成正比例．

②班级学生的总人数一定，出勤率与缺勤率成正比例．

③小刚跳高的高度和他的身体成正比例．

④长方形周长一定，它的长和宽成反比例．

⑤圆的半径和它的面积成正比例

第六讲比例中的工程问题

1、甲、乙两队开挖一条水渠，甲队独挖8天完成，乙队独挖12天完成现在两队同时控了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内挖完。乙队挖了多少天？

2、单独完成一项工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天完成。如果甲、乙两人合做2天后，剩下的由乙独做，那么，刚好在规定时间内完成，甲、乙两人合做要多少天完成？

3、完成一项工程，甲队独做正好可以按计划天籹完成，乙队独做要超过计划31

2

天

才能完成。如果甲、乙两队先合做22

5

天后，再由乙独做，也可以按计划天数完成，

完成这项工程计划用多少天？

4、一项工程，如果让甲独做，比规定时间提前1天完成，让乙独做则要超过规定时间3天才能完成，如甲乙两人合做工1天，剩余的乙继续做，刚好在规定的时间内完成。甲乙两人合做要多少天完成？

5、一项任务，如果单独做，甲按规定时间可以提前3天完成，乙则要超过规定时间5天完成。现在甲乙两人合做3天后，剩余的乙继续做，刚好在规定日期完成，若甲单独做，完成这项任务要几天？

6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工效的比是2：3，如果这项工程由乙单独做，要多少天才能完成？

7、一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成，现在两队合做，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不在同一天休息）。从开始到完工共用了多少天？

8、一项工程，如果甲队独做可6天完成，甲3天的工作量乙要4天完成，两队合做了2天后由乙队独做，还要多少天完成？

9、两列火车同时从甲、乙两地相对开出，快车行完全程要20小时，慢车行完全程要30小时，开出后15小时两车相遇。已知快车中途停留了4小时，慢车停留了几小时？

10、搬运一个仓库的货物，甲要10小时，乙要12小时，丙要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物，丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

11、师徒两人加工相同数量的零件。师傅每小时加工自己任务的

1

10

徒弟每小时加工

自己任务的1

15

师徒同时加工，师傅完成任务后，立即帮助徒弟加工，直到完成任务。

师傅帮助徒弟加工了几小时？

12、搬运一个仓库的货物。甲要18小时，乙要12小时，丙要9小时。有同样的两个仓库A和B，甲乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬。最后，两个仓库同时搬完全。甲帮助乙、丙各多少小时？

13、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的5

8

乙每小时加

工12个零件，甲单独加工这批零件要12小时。这批零件有多少个？

14一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天能完成。现由甲组2人和乙组7人合做。多少天能完成这项工作？

15、一批零件，师傅每天加工8小时，15天完成，徒弟每天加工9小时，20天完成。如两人合作每天都加工6小时，要几天完成？

16、加工一批零件，甲组5人6天可完成，乙组4人15天可完成，现在由甲组3人和乙组2人合做，要几天完成？

17、甲组6人15天能完成的工作，乙组5人12天也能完成。乙组7人8天能完成的工作，丙组3人14天也能完成。一项工作，要甲组8人4天完成。如果由丙组派人10天完成，丙组应该派多少人？

18、一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成，如果甲工作6小时后，乙丙

合做2小时，可以完成这项工作的2

3

，如果甲乙合做3小时后，丙做6小时，也可

以完成这项工作的2

3

；如让甲丙合做，要几小时完成？

19、一项工程，甲、乙、丙3人合做4小时可以完成，如果甲工作4小时后，乙丙

合做2小时，可以完成这项工作的13

18

如果甲乙合做2小时后，丙做4小时，也可以

完成这项工作的11

18

；如让甲丙合做，要几小时完成？

20、一项工程，甲、乙、丙3人合做6天可以完成，如果甲工作8天后，乙丙再做

3天，可以完成这项工作的3

4

如果甲乙合做4天后，丙做6天，也可以完成这项工

作的3

4 如让甲丙合做，要几天完成？

21、一项工程，甲、乙、丙3人合做10天可以完成，如果甲先做10天后，乙丙合

做4天，可以完成这项工作的3

5

；如果甲乙合做6天后，丙再做9天，可以完成这

项工作的3

4 这项工程如让甲丙合做，要几天完成？

第七讲 比例中的行程问题

1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？

2．甲乙辆车同时从a b 两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？

3、在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？

5、在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）

7、猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。

8、AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?