《消元——解二元一次方程组》教案

《消元——解二元一次方程组》教案1

第一课时

★新课标要求

（一）知识与技能

1．知道代入法的概念．

2．会用代入消元法解二元一次方程组．

（二）过程与方法

1．通过探索，了解解二元一次方程的“消元”思想，初步体会数学的化归思想．

2．培养探索、自主、合作的意识，提高解题能力．

（三）情感、态度与价值观

1．在消元的过程中体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，从而享受数学的化归美，提高学习数学的兴趣．

2．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神．

★教学重点

用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元．

★教学难点

用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉．

★教学方法

1．关于检验方程组的解的问题．教学时要强调代入“原方程组”和“每一个”这两点．

2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性．

3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．教师启发、引导，学生观察、试验、比较、思考，讨论、交流学习成果．

★教学过程

一、引入新课

教师活动：请同学们回忆上节课我们讨论的篮球联赛的问题．大家可以得到两种方程﹙组﹚．设此篮球队胜x 场，负y 场．

方法一：2(22)40x x +-=；

方法二：22240

x y x y +=??+=? 方法一得到的方程是我们学过的一元一次方程．大家很容易解得18x =．所以该篮球队胜18场，负22184-=场．

二、进行新课

1．代入消元法的概念

方法二得到的是二元一次方程组，怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么联系？

学生活动：思考、讨论、发现二元一次方程组中第1个方程20x y +=说明20y x =-，

将第2个方程238x y +=的y 换为20x -，这个方程就化为一元一次方程2(20)38x x +-=．

教师活动：介绍消元思想，师生共同归纳代入消元法的概念．

归纳：

消元思想：这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．

上面的解法，是把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．

2．学习用代入消元法解二元一次方程

教师活动：把下列方程写成用含x 的式子表示y 的形式：

（1）23x y -=；（2）310x y +-=．

学生活动：独立完成，回答结果．

教师活动：出示例１，巡视，指导学生解答．

例１：用代入法解方程组

3 381

4 x y x y -=??-=?①②

学生活动：解答例１，体验代入消元法解二元一次方程组，试着归纳用消元法解二元一次方程组的步骤．

分析：方程①中x 的系数是１，用含有y 的式子表示x ，比较就简便．

解：由①，得 3x y =+ ③

把③代入②，得3(3)814y y +-=．（把③代入①可以吗?）

解这个方程，得1y =-．

把1y =-代入③，得2x =．(把1y =-代入①或②可以吗？)

所以这个方程组的解是2,1.x y =??=-?

教师归纳总结强调：

（1）一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程”由于方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，而不能代入方程③．

（2）个未知数的值后，把它代入方程①②③都能得到另一个未知数的值，其中代入方程③最简捷．

教师活动：指导学生认真阅读教材Ｐ105例２．要求学生阅读思考找出题目中所包含的等量关系，列出二元一次方程组，并解答．

例2：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g ）和小瓶装（250g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2:5．某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、

小瓶两种产品各多少瓶？

学生活动：一生板演，余生自做．

教师活动：针对学生的解答进行点评．

分析：问题中包含两个条件：大瓶数:小瓶数=2:5，大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量．

解：设这些消毒液应该分装x大瓶和y小瓶．

根据大、小瓶数的比以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得

52,

50025022500000.

x y

x y

=

?

?

+=

?

①

②

由①，得

5

.

2

y x

=③

把③代入②，得

5

50025022500000

2

x x

+?=．

解这个方程，得20000

x=．

把20000

x=代入③，得50000

y=．

所以这个方程组的解是

20000,

50000.

x

y

=

?

?

=

?

答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶．

上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

三、课堂总结

这节课我们介绍了二元一次方程组的一种解法---代入消元法．了解到解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把二元变成“一元”．在学习方法上，还要学会主动探索，从不同的角度来思考问题的学习方法，逐步理解数学的转化思想和整体代入思想．

四、课后练习

1．把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：

（1）23x y -=；

（2）310x y +-=．

2．用代入法解下列方程组：

（1）23,328;y x x y =-??+=?

（2）25,34 2.

x y x y -=??+=? 3．有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛．了；篮、排球队各有多少支参赛？

4．张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5小时后到达县城．他骑车的平均速度是15千米/小时，步行的平均速度是5千米/小时，路程全长20千米．他骑车与步行各用多少时间？

第二课时

★新课标要求

（一）知识与技能

1．掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤．

2．能运用加减法解二元一次方程组．

3．培养学生的计算能力和应用数学解决实际问题的意识．

（二）过程与方法

经历探索用“消元”方法把二元一次方程组转化为一元一次方程,从而求方程组的解的过程,体会“消元”方法在解方程中的作用．

（三）情感、态度与价值观

1．进一步理解解二元一次组的消元思想,在化“未知为已知”的过程中,体验化归的数学美．

2．根据方程组的特点,引导学生多角度思考问题,培养开拓创新意识．

★教学重点

进一步渗透消元思想,掌握用加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤；能熟练运用加减法解二元一次方程组．

★教学难点

明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等

★教学方法

通过复习上节课利用代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入新课，让学生观察比较，从而发现只要将相同未知数前的系数化为绝对值相等的值，即可实施加减消元法．进一步让学生探究用代入法还是用加减法解方程组更简单，明确用加减法解题的优越性．通过反复的训练、归纳；再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论．

★教学过程

一、创设问题情境，导入新课

教师活动：请同学们考虑下列问题：

1．用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？

2．用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．

3213 32 5 x y x y +=??-=?

①② 学生活动：口答第１题，书面完成第２题，通过投影展示学生的不同解法．

教师活动：对学生的解法给予肯定，激励．问：对于二元一次方程是不是还有其它解法，也可以消去一个未知数，达到消元的目的呢？

二、进行新课

1．对加减消元法的认识

教师活动：第（2）题的两个方程中，未知数y 的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉y ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．

解：①+②，得618x =．解得3x =．

把3x =代入①，得9213y +=．

∴2y =．

∴3,2.

x y =??=? 学生活动：比较用这种方法得到的值是否与用代入法得到的相同．（相同）

上面方程组的两个方程中，因为x 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了y ,观察一下x 的系数有何特点？（相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去x ？（相减）

学生活动：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同．（相同）

教师活动：归纳总结．

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称“加减法”．

2．加减消元法解二元一次方程组

提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）

②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数） ③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）

教师活动：出示课本例3要求学生思考“不用代入法怎样解”？

例3：用加减法解方程组3416 5633 x y x y +=??-=?①

②

学生活动：在教师的引导下总结怎样解未知数的系数不一定刚好相等，也不一定互为相

反数的二元一次方程．﹙用最小公倍数将同一未知数系数转化为相等或相反的数，然后再把两个方程的左右两边分别相加或相减﹚一生板演，师生共评．

解：①×3，得91248.

x y

+=③

②×2，得101266.

x y

-=④

③+④，得19114

=，6

x=．

把6

x=代入①，得36416

y

?+=，

42

y=-，

1

2

y=-．

所以这个方程组的解是

6,

1

.

2

x

y

=

?

?

?

=-

??

教师活动：出示投影片

加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？（两方程中同一未知数的系数不相等也不相反，所以不能通过直接加减来消元．为消元需要在方程两边乘适当的数，使某个未知数在两方程中的系数相等或相反．）

用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么？

学生活动：分组讨论、总结，解决以上问题．

教师活动：和学生一道分析讨论结果，投影出示加减消元的基本思想和解二元一次方程组的一般步骤．

学生活动：阅读例４．师生共同分析列出方程组．然后交由学生解方程组．

例4：2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

教师活动：在解题中鼓励学生主动探索与交流，不强求方法统一，比如上题用整体代入也可．

分析：如果1台收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机均工作1小时工收割小麦公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作1小时共收割小麦公顷．由此考虑两种情况下的工作量．解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷．根据两种工作方式中的相等关系，得方程组

2(25) 3.6,

5(32)8.

x y

x y

+=

?

?

+=

?

去括号，得

410 3.6,

15108.

x y

x y

+=

?

?

+=

?

①

②

②-①，得11 4.4

x=．

解这个方程，得0.4

x=．

把0.4

x=代入①，得0.2

y=．

因此，这个方程组的解是

0.4,

0.2.

x

y

=

?

?

=

?

答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷．

此题解方程组的过程可以用下面的框图表示：

三、课堂总结

加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元．故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征从而方便解题．

第三课时

★新课标要求

（一）知识与技能

1．理解二元一次方程和它的解的概念，会检验一对数值是不是某一个二元一次方程的解．

2．理解二元一次方程组和它的解等概念．

3．能够灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．

（二）过程与方法

1．使学生能正确地选择解题方法，熟练的解二元一次方程组．

2．通过逆向思维训练，培养学生分析问题和解决问题的能力．

（三）情感、态度与价值观

体会数学的转化思想的奇妙作用，培养学生学习数学的兴趣．

★教学重点

二元一次方程组的解法

★教学难点

如何选择适当的方法求解二元一次方程组．

★教学方法

以复习的形式，以课堂练习为主，让学生学会解方程时要具体问题具体分析，合理选择解题方法．

一、创设问题情景，导入新课

教师活动：提问：解二元一次方程组有哪几种方法？它们各适用于什么情况下？ 学生活动：充分讨论、回答．师归纳．

二、课堂练习

教师活动：出示练习：已知四个方程组：

﹙1﹚3 1 54 2 x y x y -=??+=?

①② ﹙2﹚812 5 1513 1 x y y +=??-=?①

②

﹙3﹚57 359 x y x y -=??+=?

①② ﹙4﹚56 2 379 x y x y -=??+=?①

②

分别指出每一方程组比较简捷的解法．

学生活动：通过交流，互相取长补短，以口答为主．

﹙1﹚由①得用含x 的代数式表示y ，再代入②．

（2）单独用代入和加减都不简单，可将代入法和加减法结合应用．

将①＋②可得236x y -= ③

由③，可求出236y x =- ④

将④代入①即可求解．

（3）可用加减法先消去y ．

（4）加减消元或两种方法结合．

教师活动：要求学生做课本练习．

学生活动：选择合适的解题方法完成练习，师生共同评析．

解二元一次方程组的关键是要化“二元”为“一元”，求解关键在于消元．当方程组中某个未知数的系数为１或－１，或常数项为零时，用代入消元法比较简单，加减消元法的基本思路是根据等式的基本性质，化两个方程中的某个未知系数的绝对值相等，通过两个方程组加减，从而达到消去一个未知数的目的．我们通过本节课的复习，熟练解二元一次方程组，这关键在于理解解二元一次方程组的过程是“消元”，即化二元为一元．