高级微观经济学03：理性消费者.

高级微观经济学

第三章 理性消费者

本章以单个消费者为着眼点，研究理性消费者的行为特点与活动规律。我们的基本假设是：消费者以追求效用最大化为目的，是市场价格的接受者，完全依据价格行事。本章及后面几章都假定市场上总共有 种可供选择的商品。

第一节 可行的消费

消费活动表现为消费者选择若干数量的一系列商品进行消费，或者说选择完整的消费计划。假定市场上总共有 种可供选择的商品，于是一个完整的消费计划(或者消费方案)就表现为一个 维向量。这样，消费活动就表现为消费者选择商品空间 R 中的向量。

习惯上，人们总是用正消费来表示消费者对一种商品的真正消费，用负消费来表示消费者向市场提供商品(比如提供劳动)。按照这个解释，消费计划),,,(21 x x x 的意义就明显了。0>k x 表明消费者计划真正消费h x 个单位的商品h ；0

一、消费集合

一般来说，并非商品空间中的任何商品向量都允许作为消费者的消费计划。消费活动必然受到消费者所生存的社会环境和自然环境的影响，受到法律、制度、政策、物质财富、生理状态等条件的制约。例如，毒品虽然是商品，但法律规定不允许买卖和消费。又如，人总是要吃饭的，人对食物的消费应当是正消费。这样或那样的限制，导致商品空间中的一部分向量所代表的消费计划，成为不允许或不可能选择的消费计划，应当把它们加以排除，剩下来的那些允许作为消费计划的向量构成了商品空间的一个子集合，我们把这个集合叫做消费者的消费集合，并用X 表示之。消费集合中的向量称为可行消费向量或可行消费计划。 应当注意，消费集合同具体的消费者有关，不同消费者的消费集合可能会不同。我们现在考虑的是一个任意指定的消费者，消费集合X 便是固定的。

二、关于消费集合的假定

消费集合描述了消费者选择活动的允许范围，即他的自由选择范围。上面对这个范围的描述显然是很一般的，没有说出它应具有什么样的结构特点。从理论上讲，没有特点的描述或表示，对于理论的建立和发展就不会有很大的作用。因此，在提出消费集合的概念之后，首要的任务是去寻找消费集合的一般特征。经济学中，寻找消费集合的特征，表现为对消费集合提出一些合理的前提假设，即对消费选择进行一些可行性分析。

(一)闭性假设

假设HC1(闭性). 消费集合X 是商品空间 R 的非空闭子集。

这是一个为人们普遍接受和承认的假设，即认为可行消费具有连续性，其经济含义是，凡是能由一系列可行消费计划来接近的消费计划，仍然是可行的消费计划。用简明的数学语言来说，如果一个商品向量是消费集合中的一列向量的极限，那么这个商品向量就属于消费集合，即它代表着可行消费计划。我们把这条假设称为闭性假设，它等价于说, 消费集合边界上的消费计划都是可行的，即消费集合包含着它的边界。

(二)下有界性假设

假设HC2(下有界性)．存在向量 R w ∈使得对一切X x ∈, 都成立w x ≥ 。

从消费者本身考察可发现，用于真正消费的商品，其消费量不会无限制地缩小下去。例如食品是消费者生存之必需品，对它的消费量有一个最小需要量的限制。另一方面，由消费者提供的商品，其供给量不可能无限制地增大。比方说由消费者提供的劳动，由于消费者生理上的限制，他对劳动的供给量必有一个最大限度。这样一来，正消费商品的消费量有一个下限，负消费商品的消费量的绝对值有一个上限，因而负消费量也有一个下限。结果消费集合是下有界的。这就是下有界性假设的意义, 它是一条基本需要假设。

(三)连通性假设

假设HC3(连通性). 消费集合X 是商品空间 R 的连通子集。

市场的完全性假定了消费者掌握的信息是完全的，他可以根据市场行情不断地改变自己的行动计划，在允许的范围内不断调整消费方案，从一种方案过度到另一方案。这便要求消费集合具有完整性，不能是拼凑起来的相互隔离的块，即消费集合X 不应能被分离成这样的两个范围A 与B ：

1) A 与B 非空且不相交，A 与B 的并集是X ；

2) 消费者不论从A 中哪一种消费计划出发，也不论在A 中采取哪种方式去不断改变消费计划，都无法接近B 中的任何一种计划；

3) 同样也不论从B 中哪一种计划出发，不论在B 中采取什么样的方式来不断改变消费计划，都无法接近A 中的任何一种计划。

消费集合的这种性质，称为消费集合的连通性。用数学的语言讲，连通性表明X 不能表示成为两个相隔离的非空子集之并。所谓X 的子集A 与B 相隔离，是指A 连同自己的边界不与B 相交，同时B 连同自己的边界不与A 相交；等价地说，A 中任何序列的极限都不在B 中，且B 中任何序列的极限也都不在A 中。X 连通的等价条件是，X 不能表示成为两个不相交的非空(相对)闭(开)子集之并。

(四)凸性假设

假设HC4(凸性). 消费集合X 是商品空间 R 的凸子集。

实际消费活动中，当消费者面临两种选择时往往进行综合，使其二者兼顾。例如，消费者面临着选择四两米饭或者选择四两馒头时，常常会作出这样的综合处理：同时选择二两米饭和二两馒头来消费，即消费多样化。通常，消费多样化的处理方法是对两种消费计划进行加权平均。于是，消费集合表现出凸性。

所谓X 的凸性，是指对X 中任何两个向量x 和y 以及任何的实数α：10<<α，皆成立X y x ∈-+)1(αα. 这正说明任何两种可行消费的加权平均消费方案仍然是可行的。

消费集合的凸性是比连通性更好的性质，凸性直接明确地指出了从一种可行消费方案过

渡到另一种可行消费方案的最短连续途径，凸性蕴含着连通性。

有时消费集合不具有凸性，甚至连连通性都不具备。一种情形是考虑位于不同地区的商品，此时消费集合不具有凸性。例如，考虑位于北京和深圳两地的商品，消费者不可能同时既位于北京，又位于深圳。当他位于北京时，只面临着北京市面上的商品；位于深圳时，只面临着深圳市面上的商品。想在同一时刻既购买位于北京的商品，又购买位于上海的商品，则是不可能做到的。因此，他的消费集合不是凸集。图3-1描绘了这种消费集合的形状：它是由两条座标轴的正半部分构成的。在完全的市场中，任何两种商品之间都可以进行直接交换，结果这种不同地区的考虑被排除外。

另一种情况是商品用整数来计量，此时消费集合也是非凸的(见图3-2)。但从理论上讲，对非凸集合进行凸化处理，即用它的凸包(即包含它的最小凸集)来代替它，这是可行的。尤其是当对商品的消费量较大时，至于用整数还是用一般实数来计量多少，便无关紧要。凸化处理后得到的结论，同未进行凸化处理情况下的结论的偏差并不很大，而且凸化处理给建立理论带来了很大的方便。鉴于这个原因，可以直接假定消费集合是凸集。

通常认为，闭性、下有界性和连通性是消费集合特有的性质，尤其是连通性表明，任何两种可行消费方案方案之间都有连续的过渡渠道。实际消费活动中，消费集合还往往表现出比连通性更好的性质——凸性。凸性替代了连通性，并与闭性和下有界性一道共同构成如下假设，被常常采用之。

假设HC . 消费集合X 是商品空间 R 的非空下有界闭凸子集。

第二节 消费者偏好

消费集合划定了消费者的允许选择范围，在这个范围内消费者选择自己满意的消费方案。消费者对这种方案满意，而对那种方案不满意，意味着消费能够对各种可行消费方案的好坏作出比较和评价，这种评价反映了消费者的偏好(即嗜好或爱好)。本节研究这种偏好。

一．效用与偏好

偏好与效用是联系在一起的。如果一种商品对于消费者没有效用，消费者就不会产生对这种商品的偏好。所谓效用，是指消费者消费一定数量的若干种商品后所感受到的满足程度。商品之所以能让消费者感到一定程度的满足，是因为商品具有一定的满足人们需要的能力。商品的效用，实际上就是消费者主观感受到的商品的使用价值，因人而异。 不同消费者在消

图3-1 位于不同地区的商品 图3-2 用整数计量的商品

费了同等数量的同一商品后，所取得的效用是不同的，各个有各人的感受。例如，对于喜欢吃米饭的人来说，吃完四两米饭后会感到很满足，而对于不喜欢吃米饭的人来说，吃完后会感到不满足。效用还因时因地而定，不同时刻不同环境下同一消费者消费同等数量的同一商品，其所感受到的满足程度也是不一样的。例如，“酒逢知己千杯少”就是说在愉快的环境中借酒可助兴和使人感到满足；反之则不然。又如，“雪中送碳”说的也是同样的道理。

效用作为自我感受，可以进行自我比较，即同一人对自己消费不同(数量或种类的)商品后所感到的满足程度可以进行比较，对自己在不同时刻或环境下消费商品后所取得的效用可以进行比较。但是，不同消费者消费商品后所取得的效用不能进行比较。各个人的喜好及对满足程度的主观评价原则都会不同，因此效用不能在消费者之间进行比较，即不能进行相互比较。

效用可自我比较，意味着消费者对各种可行消费方案总可以排出个好坏次序，即不论他能否说出满足程度到底有多少，但总可以说出“这种消费比那种消费更好一些或较差一些或没有什么差异”，这便是序数效用论的观点。。消费者对消费方案作出的这种评价和比较，就是消费者的偏好。当然，这种评价不具有基数效用那样的绝对意义。

二．偏好关系

为了描述消费者的偏好，设消费集合为X ，并设x 和y 是X 种的任意两种消费方案。如果消费者认为x 比y 好，就记为y x , 称作“x 优于y ”；如果他认为x 比y 差，就记为y x ，称作“x 次于y ”；如果他认为x 与y 一样好，就记为y x ~，称作“x 与y 无差异”。当然，当x 优于y 时，y 次于x 。因此，y x 与x y 具有同样的意义。

注意，理性消费者不能够对方案x 和y 同时作出这三种评价的两种或两种以上，也就是说，关系y x 、y x 和y x ~不能同时有两个或两个以上成立。如果某人认为x 优于y 的同时，又认为x 次于y ，那么他就是一个失去理性的人。

当然，有些时候人们有可能对某两种方案的“谁好谁坏”无法作出判断。但作为一个理性人，应该不会发生这种情况。另一方面，为了讨论上的方便，我们也要假定经济人能够对任何两种方案作出“谁好谁坏”的评价。这样，理性消费者必然能够作出而且最多只能作出三种评价之一：要么y x ，要么y x ，要么x y 。

消费方案之间的比较“ ”，好象实数之间的大小比较“<”一样，确定了消费集合X 上的一种“序”关系。我们知道，在比较实数大小时可以使用不严格的序关系≤(或≥)。同样，在消费方案的比较中也可使用不严格的“序”关系 (或), 定义如下：(x y )是指y x

或x y ，称作“x 不优于y ”；x y 是指y x 或x y ，称作“x 不次于y ”。遵照数学表

示上的习惯，当x y 不成立时，就用x y 表示之。可以看出：

x ()y x ((?x

y ()∧))y

x y x (()(? x

y ()∧))y

?)(y x x ((x y ()∧))y

由此引出的消费集合X 上的二元关系 (或 )，称为消费者的偏好关系。它服从下面

三条公理：

自反性(reflexivity)： x X x )((∈?)x

完全性(completeness)： x X y x )((,(∈?y y ()∨))x

传递性(transitivity)： x X z y x )(((,,(∈?y y ()∧x z ())?))z

或者说，偏好关系 (或 )是消费集合X 上的自反、传递、完全的二元关系。关系 (或

)反映的是消费者偏好，关系 (或 )反映了消费者的严格偏好，关系反映了消费者的无差

异偏好。可以证明，无差异偏好“”是X 上的等价关系。集合y X y x :{][∈=}x 称作x 的

等价类或者无差异类或者无差异曲线，它由两两无差异的消费方案构成。不同的无差异类互不相交。

我们对上述三个公理作一点解释。偏好关系服从自反性公理，这是因为任何消费方案都同自身是无差异的。如果某个消费者认为一种消费方案x 同它自己比较时都存在有差异，那么很难认为该消费者具有理性。至于完全性公理，它是说消费者在任何两种可行消费方案之间都可作出“谁好谁坏”的评价，这一点在前面已经讲过了。

最后来看传递性公理。传递性意味着对于任何X z y x ∈,,：若y x 且y z ，则z x ；

若x y 且z y ，则z x 。事实上，当y x 且y z 时，传递性已告诉我们，x z 。假如

说x z 成立，那么就有y z x ，从而y x ，即或者x y ，或者y x 。结合y x 可知，

y x 、x y 、y x 中有两个同时成立，这是不可能的。可见，x z 不能成立，故只有z x 。

同理可证，当x y 且z y 时，z x 。

如果说消费者偏好不服从传递性公理，会出现什么情况？举例来说，比方张三认为苹果比梨好，梨比桃好，而桃又比苹果好。张三手中拿有一个苹果，李四手中拿有一个梨和一个桃。那么此时李四提出用桃换张三的苹果，并要求张三找给李四微不足道的一分钱，李四就不会不答应。交换完毕后，李四又提出用梨换张三手中的桃，并要求张三找李四一分钱，张三又会答应下来。交换完后，李四再次提出用苹果换张三的梨，同样要求张三找李四一分钱，张三还是会同意的。这样的交换一直可无限进行下去，而且每次交换后张三都会感到更满足。由此可想而知，即使张三是个百万富翁，在这种无限的交换过程中，尽管每次交换都让张三很感满意，最后张三必然要成为穷光蛋，而李四仅用一个梨和一个桃就变成了百万富翁。显然这样的事情不可能发生在理性消费者身上，即理性消费者的偏好一定会服从传递性公理。

三．关于偏好的假设

理性消费者对于商品消费的偏好还具有一些特点，偏好关系具有一些一般性质。这些一般性质通常以下面的假设形式提出：

假设HP . 消费者的偏好关系是无满足的、连续的、严格凸的。

这个假设实际上由三个分假设构成：无满足性假设、连续性假设、凸性假设。有时候，还会对偏好提出单调性假设。下面，我们分别介绍和讨论这四种假设。

(一)偏好的无满足性

人们常说，欲望是无止境的，一个欲望满足了，接着就有另一个更大的欲望出现，没有理由去限制更大欲望的不断产生。对于消费者而言，他的欲望是通过他的偏好来反映的。欲望的无止境就表现为，当他每选择到一种消费方案之时，总发现还有比这种方案更好的可行消费方案。消费者选择过程中所表现出的这种现象，叫做偏好的无满足性，这里以“假设”的形式提出这条性质。

假设HP1(偏好的无满足性). 对于消费集合X 中的任一方案x , 总存在X 中的另一方案y , 使得y x , 即消费者认为y 比x 好。

针对无满足性，可以再提出两个概念。设W 是消费集合X 的子集。方案W x ∈叫做是消费者在W 中的满足消费，是指对一切W y ∈都有y x 。如果W 中没有满足消费方案，就称

消费者在W 中无满足；否则，称消费者在W 中有满足。显然，偏好的无满足性是说消费者在X 中无满足。今后为了简单起见，我们把消费者在X 中的满足消费称为消费者的满足消费。

消费者在方案X x ∈处局部无满足，是指对x 的任何邻域U , 都存在X U y ?∈, 使得

y x 。如果消费者在任何可行方案处都是局部无满足的，则称他(的偏好)是局部无满足的。显然，局部无满足性隐含着无满足性，但反之不然。

(二)偏好的连续性

偏好的连续性，是指消费者在对消费方案进行评价时表现出的这样一种规律：选定一种方案X x ∈作为衡量其它方案优次的标准以后，任何一列不比x 优的可行消费方案的极限依然不比x 优，任何一列不比x 次的可行消费方案的极限依然不比x 次。也就是说，消费者的主观评价具有连续性。例如，如果一个人被人们认为表现好，那么在大家心目中他就总是表现好，即使他做出了坏事；如果人们认为他表现差，那么他总会被戴上表现差的帽子，即使他做了好事。用数学术语来表达，即

假设HP2(偏好的连续性). 对任何X x ∈, 集合y X y :{∈}x 与y X y :{∈}x 都是X 的

闭子集。等价地说，集合}:{x y X y ∈与}:{x y X y ∈都是X 的相对开子集（这里，X 的相对开子集是指 R 的开子集同X 的交集）。

在生活水平低下，温饱问题都没有得到基本解决的情况下，消费者的偏好不具有连续性。他首先要设法解决吃饭问题，其次才去考虑穿着问题。吃穿问题都得到妥善解决之后，才再来考虑改善住宅条件的问题。因此，在对食物、衣服和住宅三种商品的消费方面，他的偏好可用字典序来表示。可以证明，这种偏好是不连续的(具体证明留作读者练习)。当生活水平较高时，消费者不再需要去考虑必须首先解决哪一种商品的消费问题，而要考虑全面消费与综合效用问题，能够对消费计划作出综合评价时，他的偏好就表现出连续性。 因此，偏好的连续性是消费者生活水平较高的体现。

(三)偏好的凸性

消费集合的凸性，允许消费者采取加权平均法对任何两种可行消费计划进行综合。那么综合消费的效果如何? 一般来讲，综合消费方案会比原来较差的方案要好。举例来说，假如某人认为消费2斤猪肉比消费2斤鸡蛋要好(或不差)，那么同时消费1斤猪肉和1斤鸡蛋就比只消费2斤鸡蛋要好。这种现象叫做偏好的凸性。具体来说，凸性有如下几种表达方式：

定义(偏好的凸性). 设消费集合X 是凸集。偏好关系 称作是：

（1）弱凸的，是指对任何X y x ∈,及)1,0(∈λ,若x y , 则y x )1(λλ-+y ；

（2）凸的，是指对任何X y x ∈,及)1,0(∈λ,若y x , 则y y x )1(λλ-+；

（3）严格凸的，是指对任何X y x ∈,及)1,0(∈λ, 若x y 且y x ≠, 则y y x )1(λλ-+；

（4）内部严格凸的，是指是凸的，并且对任何∈y x ,int X 及)1,0(∈λ, 若x y 且y x ≠,

则y y x )1(λλ-+。

下面对这几种凸性作一些分析。

1. 弱凸偏好的特征

设消费集合X 是凸集， 是X 上的偏好关系。则

(1) 是弱凸偏好当且仅当对任何X z ∈，集合x X x z P :{)(∈=}z 是凸集；

(2) 是弱凸偏好当且仅当对任何X z ∈，集合}:{)(z x X x z Q ∈=是凸集。

我们来证明这两个事实。

(1)的证明. 设是弱凸的，我们来证明：对任何X z ∈, )(z P 是凸集。为此，任意给定)(,z P y x ∈和)1,0(∈t ，并记y t x t t w )1()(-+=。从的完全性可知，总有x y 或x y 成立，

但不论哪一个成立，的弱凸性和传递性都保证了)(t w z , 即)()(z P t w ∈，这就证明了)(z P

是凸集。

反之，设对任何X z ∈，)(z P 都是凸集，我们来证明： 是弱凸的。为此，设X y x ∈,，

x y ，

)1,0(∈t ，并记y t x t t w )1()(-+=。注意，)(,y P y x ∈且)(y P 是凸集。于是，)()(y P t w ∈, 即y t x t )1(-

+y ，这就证明了的弱凸性。

(2)的证明. 设是弱凸的，我们来证明：对任何X z ∈, )(z Q 是凸集。为此，任意给定)(,z Q y x ∈和)1,0(∈t ，并记y t x t t w )1()(-+=。从的完全性可知，总有

x y 或

x y 成立。于是，的弱凸性保证了)(t

w z x 或者)(t

w z y , 从而z t w )(，即)()(z Q t w ∈，这就证明了)(z Q 是凸集。

反之，设对任何X z ∈，)(z Q

都是凸集，我们来证明 是弱凸的，即欲证明：对任何X y x ∈,，

x y ，)1,0(∈t ，记y t x t t w )1()(-+=，都有)(t

w y 。用反证法来证明，假定)(t

w y 不成立，即假定y t w )(。于是，

x )(t w y ，这说明))((,t w Q y x ∈。既然))((t w Q 是凸集，因此应该有))(()1()(t w Q y t x t t w ∈-+=，即)()(t w t w ，这是不可能发生的结果。可见，)(t

w y 不成立是不可能的，故只有)(t

w y 成立。这就证明了的弱凸性。

2. 连续凸偏好的特点

凸偏好未必是弱凸的，弱凸偏好也未必是凸的。但是对于连续偏好来说，凸性蕴含着弱凸性，即连续凸偏好必然是弱凸的，这正是“弱凸性”中 “弱”字的意义所在。当消费者具有连续、凸的偏好时，两种不同无差异消费方案的加权平均也具有特殊的效果：要么所有的加权平均方案都与原来的方案无差异，要么所有的加权平均方案都比原来的方案更优。不会出现“一些加权平均方案与原方案无差异，另一些加权平均方案则比原方案好”的情况。用简明语言表达，即，对于任何X y x ∈,，y x ≠，

x y ，要么y t x t t )1())(1,0((-+∈

?)y ，要么))1())(1,0((y y t x t t -+∈?。

连续凸偏好为什么会具有如上所述的特点呢？我们作一点分析。

首先看连续凸偏好必然是弱凸的这一事实是否成立。任意给定X y x ∈,，

x y , )1,0(∈t 。记y t x t t w )1()(-+=，欲证)(t

w y 。采用反证法，假定y t w )(。则)(t w x 。记)}1,0(:)()1({))(,(∈-+=αααt w x t w x I ，即))(,(t w x I 是连接x 和)(t w 的开线段(不包含端点)。的凸性说明，)(t w z 对一切))(,(t w x I z ∈成立。

我们指出，

z y 对一切))(,(t w x I z ∈成立。事实上，任意给定))(,(t w x I z ∈，则)(t w z ，且),()(z y I t w ∈，即)(t w 位于连接y 和z 的开线段),(z y I 上（如图3-3所示）。如果说

z y ，即y z 或y z ，那么在y z 的情况下的凸性说明y t w )(，这与y t w )(相矛盾；在y z 的情况下的凸性说明z t w )(，这又与)(t w z 相矛盾。可见，

z y 不能成立，故只有

z y ，即z 与y 无差异。

既然))(,(t w x I 中的所有方案都与y

无差异， 的连续性便蕴含着x 和)(t w 都与y 无差异，从而

x )(t w ，这与)(t w x 相矛盾。可见y t w )(不能成立，因而只有)(t

w y

。的弱凸性得到证明。

其次，再来看无差异方案加权平均的效果。设X y x ∈,，y x ≠且

x y 。仍用),(y x I 表示连接x 和y 的开线段。既然连续凸偏好是弱凸的，),(y x I 中的任何方案就都不比x 和y 差。如果),(y x I 中确实有某个方案z 优于x ，那么的凸性便保证了),(y x I 中的任何方案都要优于x 和y (因为x 与y 无差异)。这就说明，要么),(y x I 中的任何方案都与y 无差异，要么),(y x I 中的任何方案都要比y 好。

3. 严格凸偏好的特点

图3-3 连接两点的线段

显然，严格凸偏好必是凸偏好，也必是弱凸偏好。一个更有意义的特点是，严格凸偏好下的任何无差异类都不包含有非单点的非空凸子集，因而无差异类很薄，而且不会包含任何直线段。下面，我们对这个特点作一论证。

用反证法。假如某个无差异类y X y x :{][∈=}x 包含有非单点的非空凸子集，那么在该

凸子集中就可取出两个不同的点y 和z ，并令z y w 5.05.0+=。从偏好的严格凸性可知，y w z x ，从而x w ；但注意，][x w ∈，即w x ，这与x w 相矛盾。可见，][x 中不

可能包含有非单点的非空凸子集。证明完毕。

偏好的内部严格凸性介于凸性和严格凸性之间。需求函数的存在性离不开严格凸性或至少离不开内部严格凸性。因此，我们把严格凸性作为对消费者的一种假设而接受下来。

假设HP3(凸性假设). 消费者的偏好关系是严格凸的。

(四)偏好的单调性

欲望无止境也反映在商品的消费数量上，即消费者认为商品数量越多越好，这就是消费者偏好的单调性。单调性也有多种表述方式，并且在理论研究中往往会为用到，但本书不把它作为讨论的必要前提。

定义(偏好的单调性). 消费集合X 上的偏好关系 叫做是：

(1) 弱单调的，是指对任何X y x ∈,,若y x <<, 则x y ；

(2) 单调的，是指对任何X y x ∈,,若y x ≤, 则x y ；

(3) 严格单调的，是指对任何X y x ∈,,若y x <<, 则y x ；

(4) 强单调的，是指对任何X y x ∈,,若y x <, 则y x 。

四种单调性之间的关系如下：(1)强单调性最强，弱单调性最弱；(2)如果连续且X 满足条件))())(()((X y x y R y X x ∈?>>∈?∈? ，则严格单调性隐含着单调性；(3)如果严格凸，则单调性等价于强单调性，严格单调性等价于弱单调性；(4)如果连续、严格凸，且X 满足条件))())(()((X y x y R y X x ∈?>>∈?∈? ，则这四种单调性相互等价。

四．理性消费者

一般认为，假设HC 和假设HP 所描述的特点，是理性消费者所具备的特点。因此，我们对理性消费者作出这样的构画：理性消费者的消费集合X 是商品空间 R 的非空下有界闭凸子集，他的偏好 是无满足的、连续的凸偏好。在这个构画下，我们进一步分析一下理性消费

者的特点。

特点1. 具有连续偏好的消费者在消费集合X 的任何非空有界闭子集中都有满足，从而理性消费者在他的消费集合的任何非空有界闭子集中都有满足。

本特点的直观含义如图3-4所示。设M 是X 的任意一个非空有界闭子集。对于M x ∈，令y M y x U :{)(∈=}x ，则}:)({M x x U ∈是M 的具有有限交性质的闭子集族，从而具有非

空的交集（因为M 是紧集）。从该交集中取出一点z ，则)(x U z ∈（即z x ）对一切M x ∈成

立，这说明z 消费者在M 中最满足的消费方案。既然这种消费方案存在，因此消费者在M 中有满足。

特点2. 具有无满足的凸偏好的消费者必然局部无满足，从而理性消费者局部无满足。 为了证实这一特点, 任意给定X x ∈, 并设U 是x 的任一邻域。偏好 的无满足性保证

了X 中有比x 更好的消费方案y 存在。对于这个y ，连接x 和y 的开线段),(y x I 必然要与U 相交(如图3-5所示)，取其交点之一，并用z 表示之。注意， 是凸偏好，x y 且z 是x 与y

的加权平均方案。因此，x z 。既然z 是从U 中取出来的点，临域U 中存在着比x 更好的消费方案。这就说明

是局部无满足的偏好。

第三节 效用函数

效用理论是消费理论的基础，起源于基数效用学说，后来发展成为序数效用论。序数效用论者认为，作为主观感受的效用是一个抽象概念，无法计量多少，只可进行比较并用序数给出优次排序。本节从序数效用概念出发，对消费者在商品消费中获得的满足程度进行分析。

一、效用函数的概念

消费者对各种可行消费方案排出的优劣次序，很类似于实数之间的大小顺序。的确，序数效用论者就是这么看待商品效用的。他们认为，按照实数之间的大小顺序可以标出各种消费方案之间的优劣次序。但是，这种观点的正确性直到1954年才由德布罗给出了证明。 效用函数就是序数效用论者所说的那种表示消费方案优次排序的函数。具体来讲，设是消费集合X 的偏好关系，一个定义在X 上的实值函数u 叫做是的效用函数，是指u 满足如下条件：x X y x )((,(∈

?)))()(()y u x u y ≤?。当u 是的效用函数时，也称u 是的效用表示，或称是u 诱导的偏好关系。

显然，效用函数的意义在于用实数顺序给出了各种消费方案的优次排序。可以看出，如果u 是偏好关系的效用函数，那么任何严格递增函数R R →:?与u 的复合))(()(x u x v ?=（对于X x ∈）也是

的效用函数。所以，只要的效用函数存在，的效用函数就有无限多个。我们把同一偏好关系的这无限多个效用函数同等看待，称它们是相互等价的效用函数。显然，效用函数u 与v 等价的充分必要条件是：)))()(()()()(,(y v x v y u x u X y x ≤?≤∈?。现在的问题是，偏好关系的效用函数存在吗？对此，德布罗于1954年作出了回答。

效用函数存在定理(G . Debreu). 商品空间 R 的任何连通子集上的连续偏好关系都有连续的效用函数。因此，理性消费者的偏好关系必然有连续的效用函数。

此定理的证明比较复杂，德布罗1954年给出了证明，但后来发现证明中有不正确的地方， 于1964才给出了正确的证明。效用函数存在定理奠定了效用理论的基础，是经济学的基本定理之一。由于这个定理，我们才可在偏好关系与效用函数之间随意地选择使用。

二、效用函数的性质

对应于消费者偏好的凸性和单调性，效用函数也具有相应的一系列性质。

定义. 效用函数u 叫做是：

(1) 弱拟凹的是指对任何X y x ∈,及)1,0(∈t ,若)()(y u x u ≥, 则)())1((y u y t tx u ≥-+；

(2) 拟凹的，是指对任何X y x ∈,及)1,0(∈t ,若)()(y u x u >, 则)())1((y u y t tx u >-+；

(3) 严格拟凹的,是指对于X y x ∈,,y x ≠，及)1,0(∈t ,

若)()(y u x u ≥, 则)())1((y u y t tx u >-+；

(4) 内部严格拟凹的，是指对于X y x int ,∈,y x ≠，及)1,0(∈t ,

若)()(y u x u ≥, 则)())1((y u y t tx u >-+；

(5) 弱单调的，是指对任何X y x ∈,，若y x <<, 则)()(y u x u ≤；

(6) 单调的，是指对任何X y x ∈,，若y x ≤, 则)()(y u x u ≤；

(7) 严格单调的，是指对任何X y x ∈,，若y x <<, 则)()(y u x u <；

(8) 强单调的，是指对任何X y x ∈,，若y x <, 则)()(y u x u <。

效用函数的性质与偏好关系的性质之间的对应关系由下面定理所表达。

定理. 设u 是偏好关系的效用函数。

(1) 是弱凸的当且仅当u 是弱拟凹的； (2) 是凸的当且仅当u 是拟凹的； (3) 是严格凸的当且仅当u 是严格拟凹的； (4) 是内部严格凸的当且仅当u 是内部严格拟凹的； (5) 是单调的当且仅当u 是单调的； (6) 是严格单调的当且仅当u 是严格单调的； (7) 是弱单调的当且仅当u 是弱单调的； (8) 是强单调的当且仅当u 是强单调的； (9) 是连续的当且仅当u 等价于一个连续效用函数； (10) 是无满足的当且仅当u 在X 上无最大值； (11) 是局部无满足的当且仅当u 在X 中处处无极大值；

(12) x 是消费者在)(X M ?中的满足消费当且仅当x 是u 在M 上的最大值点。

三、可微效用函数

边际分析法要使用效用函数的一阶和二阶偏导数，以往的做法是直接假定这些偏导数存在。那么，效用函数确实具有这些偏导数吗？这就是可微效用函数的存在性问题。20世纪70年代，经济学家对效用函数倾注了较多的注意力，尤其是德布罗于1972年对效用函数的可微性问题作出了肯定的答复。

设k 为一正整数，k C 表示由一切具有直到k 阶的连续偏导数的函数及映射所构成的类。k C 中的函数或映射就叫做k C —函数或k C —映射。设U 和V 是欧氏空间n R 的两个开子集。从U 到V 的一个映射V U f →:称为k C —微分同胚，是指：(1)f 是1—1映射，(2)f 是满射，

(3)f 是k C —映射，(4)f 的逆映射U V f →-:1也是k C —映射。

n R 的子集M 叫做是一张k C —超曲面，是指对任何M x ∈，存在x 的开邻域U ，存在n R 的某开子集V ，存在从U 到V 的一个k C —微分同胚f , 以及存在n R 中的一张超平面H ，使得V H U M f ???][。即在微分同胚的意义下，超曲面M 局部具有了超平面H 的结构。

对于消费集合X 的偏好关系来说，无差异关系 是X X X ?=2的子集，因而是 2R

的子集。如果 是 2R 中的一张k C —超曲面，则称 是k C —偏好关系。

可微效用函数存在定理(G . Debreu). 设消费集合X 的内部X int 是商品空间 R 的连通开子集，是X 上单调、连续的偏好关系。具有无奇点的2C —效用函数的充分必要条件是是2C —偏好关系。

本定理的证明略去。定理中所说的奇点，含义是指该点处函数的各个一阶偏导数都为零。

有了这个定理以后, 大多数情况下我们都可去假定效用函数的二阶连续可微性，而不必为这种函数的存在性而担心。鉴于此，经济分析中常常使用如下关于效用函数的可微性假设。

假设HU(可微性假设). 消费者的效用函数在消费集合内部二阶连续可微，并且在各点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。

四、效用梯度与偏好梯度

初级微观经济学已经展示了无差异分析的重要作用。当考虑两种商品之间的替代问题时，无差异曲线的切线斜率就是两种商品之间的边际替代率。然而初级分析只是限于一种商品替代另一种商品的情况，没有考虑一种替代多种商品，或者多种商品替代一种商品的情况。为了把商品之间的相互替代问题考虑得更加全面，需要使用效用梯度和偏好梯度这两个概念。

设消费者的效用函数为R X u →:，并且服从假设HU 。消费向量X x int ∈处的效用梯度

是指向量))(,),(),(()(21

x u x u x u x u '''=?，它是通过点x 的无差异曲线][x 的法方向。显然，效用梯度的大小同所选择的具体效用函数u 有关。

效用梯度指向效用增大最快的方向，即指向效用水平提高最快的方向。这是因为从全微

分公式x d x u x d x u x d x u x d x u u d ??='++'+'=)()()()(2211

(这里?表示向量内积)可知，只有当增加的消费向量x d 与效用梯度)(x u ?的夹角保持锐角时，效用的增加量u d 才大于零；当x d 的(长度不变)方向变化到与)(x u ?同方向时，效用增加量u d 达到最大。因此，效用梯度)(x u ?指向效用增大最快的方向，即在各个方向上的消费等量增加中，效用梯度所指的方向效用增加得最大。这就解释了效用梯度的经济含义。

然而，如上定义的效用梯度是依据具体的效用函数u 来给出的，这就存在着一个问题：效用梯度的方向是否与效用函数的选择有关？如果答案是肯定的，那么引进效用梯度概念的意义就不大了。幸运的是，下面的定理保证了效用梯度方向与具体的效用函数选择无关。

定理. 设u 和v 是两个等价的效用函数，它们都在X 内部一阶连续可导，并且在X 内部每点处的各个一阶偏导数不会同时都为零。用][X u 和][X v 分别表示u 与v 的函数值的全体。则存在映射][][:X v X u →?满足如下两个条件：

(1) 对任何的X x ∈，))(()(x u x v ?=；

(2) 对任何的X x int ∈，都有][int )(X u x u ∈，)(r ?在)(x u r =处可微，0))((>'x u ?，并且 )())(()(x u x u x v ?'=??，从而)()

(1)()(1x v x v x u x u ??=??。 由此定理，我们便可引入与效用函数选择无关的偏好梯度概念。消费方案x 处的偏好梯度是指单位向量)(x ?:

)()

(1))(,),(),(()(21x u x u x x x x ??=???=? 其中u 是消费者的一个在消费集合内部一阶连续可微、在消费集合内部每点处的各个一阶偏到数不会同时为零的效用函数。显然，偏好梯度指向效用增大最快的方向，与效用函数无关，但与消费者偏好有关，由偏好关系决定。

利用偏好梯度)(x ?，商品之间的替代关系可表达为：一些商品的消费量减少(增加)时，为了保持效用水平不变，其余商品的消费量的变化量必须服从如下关系：

0)()()(2211=?++?+? dx x dx x dx x

其中i x d 表示第i 种商品的消费量的变化量。这就是说，为了保持效用水平不变，商品消费量的调整向量),,,(21 x d x d x d x d =必须保持与偏好梯度)(x ?正交。

定理的证明. u 与v 等价，即u 与v 是同一偏好的两个效用函数。定义][][:X v X u →?如下：)))(()(])([(1r u v r X u r -=∈??。则?是严格递增函数，并且明显满足条件(1)。以下证明?满足条件(2)。为此，设X x int ∈任意给定，并记)(x u r =。

从X x int ∈可知，存在正数ε使得开球X x z R z x B ?<-∈=}:{),(εε 。既然u 在X 内

部每点处的各个一阶偏导数不同时全为零，在x 处必有某个k 使得0)(≠'x u k

。 令)},,2,1;(:),({ =≠=∈=i k i x z x B z I i i ε，则x 不是u 在I 中的极值点，从而存在r '和r ''使得r r r ''<<'且][][],[X u I u r r ??'''。这说明][int )(X u x u r ∈=。

现在，对于),(r r '''中任一趋向于r 的序列}{n r ，从0)(≠'x u k

及u 的连续性可知，必然存在I 中的一个序列}{n x 使得),2,1()( ==n x u r n n 且)(∞→→n x x n 。于是

)()()(o )()(o )()()()()()()(lim lim lim x u x v x x x u x x x v x u x u x v x v r r r r k k n k

k n k k n n n n n n n ''=-+'-+'=--=--∞→∞→∞→?? 这说明?在r 处是可微的。注意，][X u r ∈是任意给定的，从而?是可微函数。

既然))(()(x u x v ?=，应用复合函数求导法则可得),,2,1()()()( =''='i x u r x v i i ?，这说明u(x)x u v(x)?'=?))((?。注意，0)(≠?x u 及0)(≠?x v ，因此0)(≠'r ?。再注意，?是递增函数，于是0)(>'r ?。

最后，从u(x)x u v(x)?'=?))((?可知，

)()

(1)()(1x v x v x u x u ??=??。

第四节 效用最大化

作为理性人，消费者不但要服从客观条件的限制，而且要服从经济条件的限制，他在这些条件的限制下选择自己最满意的消费方案，在条件许可的范围内追求效用最大化。本节就来研究理性消费者的这种效用最大化行为。

消费者的福利是通过他们的偏好来反映的。当把这种消费同另一种消费作比较时，如果消费者更喜欢这种消费，说明这种消费能给消费者带来更大的满足，因而更需要这一种消费。如果不考虑经济条件的限制，那么消费者的这种需要就是一种无止境的欲望，没有一个满足的时候。经济学不研究如何满足人们无止境的欲望，而只研究受一定经济条件限制的消费者需要。这就是效用最大化问题。

一、收入约束

消费者进行消费选择时，一方面要受到一般性的客观条件制约，要求在消费集合所划定的许可范围内选择；另一方面，还要受到经济条件的制约，要求在收入允许的范围内选择。作为理性人，消费者不能以抢或偷的方式去克服收入限制。他可以借款消费，但这实际上等同于扩大了收入，而他的选择则是在扩大的收入限制下进行，因此还是没有摆脱收入带来的约束。效用最大化就是指消费者在一定的收入条件限制下追求最大程度地满足。

设消费者面临的商品空间为 R ，消费集合为X ，偏好关系为 ，收入为r ，商品的市场价格体系为),,,(21 p p p p =。消费者只能接受这个价格体系，而不能影响和改变它。