高二数学寒假作业 专题18 复数(学)(1)
专题18 复数
学一学------基础知识结论
1. 复数的概念
(1) 虚数单位i: i2=-1;i 和实数在一起,服从实数的运算律.
(2) 代数形式:a +bi(a ,b ∈R),其中a 叫实部,b 叫虚部.
2. 复数的分类
复数z =a +bi(a 、b ∈R)中,z 是实数a ∈R ,b =0,z 是虚数b ≠0,z 是纯虚数a =0,b ≠0.
3. 共轭复数
a +bi 与a -bi(a ,
b ∈R)互为共轭复数.
4. 复数相等的条件
a +bi =c +di(a 、
b 、
c 、
d ∈R),则a =c 且b =d.
特殊的,a +bi =0(a 、b ∈R),则a =0且b =0.
5. 复数的模
设复数z =a +bi(a ,b ∈R),z 在复平面内对应点为Z ,则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值),即|z|=|OZ
→|=22a b +.
6. 运算法则
z1=a +bi ,z2=c +di ,(a 、b 、c 、d ∈R). (1)i i n =+14、124-=+n i 、i i n -=+34、14=n i
(2)复数的加减(类比合并同类项)i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+
(3)复数的相乘(类比整式乘法)i bc ab bd ac di c bi a )()()()(++-=+?+
(4)复数的相除(类比分母有理化)
i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a 2222))(())((+-+++=-+-+=++ 7.复数的乘法的运算律:对于任何
123,,z z z C ∈,有 交换律:1221z z z z ?=?;结合律:123123()()z z z z z z ??=??;分配律:1231213()z z z z z z z ?+=?+? .
8.复平面上的两点间的距离公式
22
122121||()()d z z x x y y =-=-+-(111z x y i =+,222z x y i =+). 9.复平面向量的垂直
非零复数1z a bi =+,2z c di =+对应的向量分别是1OZ ,2OZ ,则
12OZ OZ ⊥?12z z ?的实部为零?2
1z z 为纯虚数?2221212||||||z z z z +=+
?2221212||||||z z z z -=+?1212||||z z z z +=-?0ac bd +=?12z iz λ= (λ为非零实数).
10.实系数一元二次方程的解 :实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=:
①若240b ac ?=->,则21,242b b ac x a -±-=;②若240b ac ?=-=,则
122b x x a ==-; ③若
240b ac ?=-<,它在实数集R 内没有实数根;在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b b ac i x b ac a -±--=-<.
11.注意点
(1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。先设bi a z +=(a 、R b ∈)再根据题意及复数有关知识列出关于a 、b 的方程。解方程得a 、b ,从而可以确定复数bi a z +=.
(2)数的概念扩展为复数后,实数集中一些运算性质、概念、关系不一定适用了,如不等式的性质,绝对值的定义,偶次方非负等. (3)两个实数可以比较大小,但两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小,两个复数的模可以比较大小.
学一学------方法规律技巧
1.复数的分类
复数是高中学生学习的最大数集范围,它包括实数和虚数这两大类,这是初学者所难搞清的,因为高中数学很多问题都是在实数范围内所完成的.解题时一定要注意纯虚数的条件:一个复数的实部为零且虚部不为零.
例1若复数z =lg(m2-2m -3)+i ·lg(m2+3m -3)为实数,求实数m 的值.
【答案】m =-4
【解析】解:z =a +bi ∈R 的充要条件是b =0,前提必须是a ,b ∈R ,因此必须先保证a ,b 有意义.由
条件知,?????
m2+3m -3=1m2-2m -3>0
,∴m =-4. 例2、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数,则实数a 的值为( ) A .1 B .2 C .1或2 D .1
-
2. 复数代数形式的运算
复数与实数类似,它也有加、减、乘、除、乘方等运算,其中一定要注意两点:一是i 的平方等于-1,这是学生在复数部分最易出现的错误;二是复数与它的共轭复数的关系要搞清.
例3如果复数2-bi 3+i
(b ∈R)的实部与虚部互为相反数,则b
=________.