高一数学必修一集合与函数知识点总结

必修一 集合与函数知识点

第二章函数

1. 函数三要素：（1）解析式 （2）定义域 （3）值域

2. 函数定义域的求法：

（1）分式的分母不得为零; (2) 偶次方根的被开方数不大于零;

（3）对数函数的真数必须大于零; (4) 指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

（5）0)()]([0≠=x f x f y ，要求； （6）抽象函数求定义域：

①f[g(x)]的定义域为[a,b]，指的是x 的取值范围为[a,b]，而不是g(x)的范围为[a,b]，

如f(3x-1)的定义域为[1,2]，指的是f(3x-1)中的范围是21≤≤

x .

②f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同。

（7）对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。 3. 函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型

),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的

形式；

集合知识网络

集 合

定 义 特 征 一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 表示法 分 类

列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 有限集、无限集

数 集 关 系 自然数集N 、正整数集+*N 或N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、空集φ 元素和集合的关系是”

或“?∈如N 3M 2?∈或 集合与集合之间的关系是",,,,, ,"A C u =???

运 算

性 质

交集 A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}； 并集 A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B}； 补集 A C U ＝{x|x ?A 且x ∈U}，U 为全集

A ?A ； φ?A ； 若A ?

B ，B ?

C ，则A ?C ；

A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ；A ∩

B ＝A ?A ∪B ＝B ?A ?B ； A ∩

C U A ＝φ； A ∪C U A ＝I ；C U ( C U A)＝A

方 法

韦恩示意图 数轴分析

注意：① 区别∈与?、?与?、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；

② A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ4.

③ 对于任意集合B A ,，则 =B C A C U U )(B A C U ；B C A C U U )(B A C U =；

④ 若集合

A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是12-n ，所有非空

子集的个数是12

-n

，所有非空真子集的个数是22-n 。

②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常

用来解，型如：

),(,n m x d

cx b

ax y ∈++=

；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：

)0(>+

=k x

k

x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 3、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 ⑴单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）

增

函

数

：

)

()(],,[,x 212121x f x f x x b a x

)()(],,[,x 212121x f x f x x b a x >?<∈对任意的

注：① 函数上的区间I 且x 1，x 2∈I.若2

121)()(x x x f x f --＞0（x 1≠x 2），则函数f(x)在区间I 上是增函数；

若2

121)()(x x x f x f --＜0（x 1≠x 2），则函数f(x)是在区间I 上是减函数。

② 用定义证明单调性的步骤:<1>设x 1，x 2∈M ，且21x x <；则 <2> )()(21x f x f -作差整理；

<3>判断差的符号； <4>下结论； ③ 增+增=增 减+减=减

④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减

[]（，，则（外层）（内层）

y f u u x y f x ===()()()?? ()

的单调区间如：求x x y 2log 22

1+-=

20022<<>+-=x u x x u 则，由（设)

()，如图：

，且11log 2

2

1+--=↓=x u u y ↓+-=↓=↑+-=∈)2(log log 2]10(22

12

12x x y u y x x u x ∴，，又时，，当

↑+-=↓=↓+-=∈)2(log log 2)21[22

12

12x x y u y x x u x ∴，，又时，，当

⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）

f(x) －f(-x)=0? f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数。

注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x ｜);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.

如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=+-+=

2221

（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000 即·，∴）a a a 2221

010

0+-+==

⑶周期性: ①若f(x+T)=f(x)且T ≠0的常数,则T 是函数f(x)的周期;

②若f(x+a)=f(x+b) ，a 、b 为常数且a ≠b,则b- a 是函数f(x)的周期。

u

O 1 2 x