形心重心的理论计算公式

§3-４重心与形心

一、重心得概念:

１、重心得有关知识,在工程实践中就是很有用得,必须要加以掌握。

2、重力得概念:重力就就是地球对物体得吸引力、

3、物体得重心:物体得重力得合力作用点称为物体得重心。

无论物体怎样放置,重心总就是一个确定点,重心得位置保持不变。

二、重心座标得公式:

(1)、重心座标得公式

三、物体质心得坐标公式

在重心坐标公式中,若将G=mｇ,Ｇi＝mｉg代入并消去ｇ,可得物体得质心坐标公式如下:

四、均质物体得形心坐标公式

若物体为均质得,设其密度为ρ,总体积为V,微元得体积为Ｖi,则G＝ρgＶ,G i＝ρgV i,代入重心坐标公式,即可得到均质物体得形心坐标公式如下:

式中Ｖ=∑Vi。在均质重力场中,均质物体得重心、质心与形心得位置重合。

五、均质等厚薄板得重心(平面组合图形形心)公式:

令式中得∑Ａｉ.x i=A。ｘｃ=Ｓy;

∑A i。y i＝A。y c＝S x

则S y、S x分别称为平面图形对ｙ轴与x轴得静矩或截面一次矩。

六、物体重心位置得求法工程中,几种常见得求物体重心得方法简介如下:

１、对称法

凡就是具有对称面、对称轴或对称中心得简单形状得均质物体,其重心一定在它得对称面、对称轴与对称中心上、对称法求重心得应用见下图。

2、试验法对于形状复杂,不便于利用公式计算得物体,常用试验法确定其重心位置,常用得试验法有悬挂法与称重法。

(1)、悬挂法

利用二力平衡公理,将物体用绳悬挂两次,重心必定在两次绳延长线得交点上。

悬挂法确定物体得重心方法见图

(２)、称重法

对于体积庞大或形状复杂得零件以及由许多构件所组成得机械,常用称重法来测定其重心得位置。例如,用称重法来测定连杆重心位置。如图。

设连杆得重力为Ｇ,重心C点与连杆左端得点相距为Xc,量出两支点得距离L,由磅秤读出B端得约束力F B,

则由∑M A(F)＝０ＦB。Ｌ-G、x c=0

ｘc=F B.L/G

(3)、分割法:

工程中得零部件往往就是由几个简单基本图形组合而成得,在计算它们得形心时,可先将其分割为几块基本图形,利用查表法查出每块图形得形心位置与面积,然后利用形心计算公式求出整体得形心位置、此法称为分割法。

下面就是平面图形得形心坐标公式:

(4)、负面积法:

仍然用分割法得公式,只不过去掉部分得面积用负值、

３、查表法在工程手册中,可以查出常用得基本几何形体得形心位置计算公式。

下面列出了几个常用得图形得形心位置计算公式与面积公式。

四、求平面图形得形心举例

例１热轧不等边角钢得横截面近似简化图形如图所示,求该截面形心得位置、解:

方法一(分割法):

根据图形得组合情况,可将该截面分割成

两个矩形Ⅰ,Ⅱ,C1与C2分别为两个矩形

得形心。取坐标系Oｘy如图所示,则矩形Ⅰ,

Ⅱ得面积与形心坐标分别为

A1=120mｍ×12ｍm=１４４0mm2

ｘ1=6mm

ｙ1＝60mm

Ａ2=(8０—12)ｍm×12ｍm=8１6mm2

ｘ２=12mｍ+(80—12)/2０＝46mm

y２＝6mm

即所求截面形心C点得坐标为(2０。5mm,40.5ｍm)

方法二(负面积法):

用负面积法求形心。计算简图如图。

Ａ1=80ｍm×１20mｍ=96０0mm2

ｘ１＝4０mm y１=6０mm

A2=-１０８mｍ×68ｍｍ=-7３44mm2

ｘ１＝12mm＋(８0-12)mm/2=46mｍ

ｙ1＝12ｍm＋(１20－12)mｍ/2=66mｍ

由于将去掉部分得面积作为负值,方法二又称为负面积法。

例２试求如图所示图形得形心。已知R＝１00mm,r2=30mm,r3＝１７mm。

解:由于图形有对称轴,形心必在对称轴上,建立坐标系Oxy如图所示,只须求出xｃ,将图形瞧成由三部分组成,各自得面积及形心坐标分别为

(1)、半径为R得半圆面:

A1＝πR2／2＝π×(100mm)2/２=157０

0mm2

y1=4R／(3π)=4×100ｍm／(３π)＝42．4

ｍm

(2)、半径为r2得半圆面

Ａ２＝π(r2)2/2=π×(３0mｍ)2／2＝1４

00mm２

ｙ２=－４r2/(3π)＝—4×30ｍｍ

/(3π)=-12．7mm

(３)、被挖掉得半径为r3得圆面:

Ａ3＝－π(r3)2＝－π(17ｍm)２=910mm2

ｙ３＝0

(4)、求图形得形心坐标。由式形心公式可求得

即所求截面形心C点得坐标为(0mm,40mｍ)