分形几何在实际生活中的应用

课程名称：分形几何在实际生活

中的应用

英文名称：Fractal Geometry and its

Applications

课题组成员名单：李蕴白（组长）、俞梦倩、杨婷怡、

成祖泓、楼琪伟、杨德峻

选用教材或参考书：

教材：《分形几何---数学基础与应用》

参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press

※课题背景

人们常说，数学是一门古老的学科，无论是历史悠久的《九章算术》，还是让欧几里德全球闻名的不朽名著《几何原本》，都在古代起就对数学这门学科的发展起到极其重要的作用。但是也有一些新问题是在二十世纪中后期才被发现的，分形几何就是其中最具有代表性的。

分形几何被誉为大自然的几何学，它又是现代数学的一个崭新分支。它的发现填补了数学领域上实际应用较少的空白，但是它的本质却是一种新的世界观和方法论。它的发现是人类打开了一个完全崭新、令人兴奋中带着些惊讶的几何学大门。但人熟知分形几何时，他们会有不可思议的发现——原来分形几何无处不在，而且正因为在地球上有了分形几何之一学科，世界才会变得更加精彩，分形几何这一新兴的数学领域触及到我们生活中许多学科方面的知识，比如天文学、地理学、经济学、气象学、生物学、电影摄像学，以及另外的一些自然科学等等。

也许有人说，分形几何和代数、方程一样，在一般的实际生活中几乎没有应用和实例。其实不然。在生活、学习、工业、农业、饮食、文化、娱乐、气象、交通等等各个领域中都有着许许多多的应用与实例，只要做个有心人，仔细观察身边的事物就能找到它们了。

由此我们可以看出分形几何的应用十分广泛。但是，它的应用究竟有多广泛呢？因此我们将围绕“分形几何在生活中的应用的广泛程度”为课题作进一步的探究。

研究目的：

对分形几何的知识有初步的了解，在生活中找实例来研究分形几何的实用性，一边去拓宽思维及更好的应用。

研究方法：

研究方法是理论与实际相结合，大约能分成六个阶段。

第一阶段：认真查阅老师所发的资料，并上网查询分形几

何的基础知识，要对分形几何有一个初步了解第二阶段：继续上网查找网络上对分形几何应用情况的数

据资料，仔细阅读以便对下步研究活动作铺垫。

第三阶段：拟定一份调查问卷，在各自班中做调查问卷，

统计数据。问卷中包括他们对分形几何的了解

程度，以及他们认为分形几何在现实生活中所

应用的实力。

第四阶段：对一致的一些可能是分形几何的实例进行调查，

并用数码照相机拍摄一些关于实例方面的照

片。

第五阶段：小组讨论，对拍回的照片和实例作进一步分析，

讨论这些实例是不是分形几何的应用。

第六阶段：结合各种资料图片，做出最后的研究报告。

姓名：李蕴白

昵称：小白

出生年月：８８．１１．２１星座：天蝎

海拔（c m）：１６２

爱好：吃喝玩乐睡、电视唱歌聊天……

最喜欢的明星：

最爱吃的东东：钵崽糕

个性签名：

个人说明：

姓名：俞梦倩

昵称：ＦＩＳＨ出生年月：８９.１.２７

星座：水瓶

海拔（cm）：１５９

爱好：睡觉

最喜欢的明星：王力宏最爱吃的东东：巧克力

个性签名：

个人说明：

姓名：杨婷怡

昵称：ＫＩＴＥＲ

出生年月：８８.１２.２１

星座：射手

海拔（cm）：１６５

爱好：运动

最喜欢的明星：

最爱吃的东东：烧烤

个性签名：

个人说明：

姓名：成祖泓

昵称：

出生年月：８９.７.２２

星座：巨蟹

海拔（c m）：１７０

爱好：Ｆ１、Football

最喜欢的明星：Rooney、吉祥兄弟、Albers

最爱吃的东东：荤菜

个性签名：There is only one united in the world

个人说明：马丁内斯的身高+王珂的体型+C.罗的冲劲+陈佩斯的搞笑力+Albers的韧劲=我

姓名：楼琪伟

昵称：

出生年月：８９.４.２３

星座：金牛

海拔（c m）：１６８

爱好：幻想

最喜欢的明星：

最爱吃的东东：牛肉个性签名：

个人说明：

姓名：梁德峻

昵称：无德

出生年月：８９.１.２３

星座：水瓶

海拔（c m）：１7４爱好：妄想

最喜欢的明星：

最爱吃的东东：随便

个性签名：

个人说明：

※分形几何内容简介

分形几何学是由法国数学家B.B.Mandelbrot在20世纪70 年代创立的。“分形（fractal）”一词，也是由他提出，它来源于拉丁语“fractus”，含有“不规则”或“破碎”之意。与描述规则形状的欧几里德几何不同，分形几何研究一类非规则的几何对象，并为研究这些对象提供了思想、方法、技巧等。作为应用，它可以构造从植物到星系的物理结构的精确模型，而这是传统几何无法做到的。可以说，分形几何是一种“新”的几何语言。

♀※什么是分形几何？

通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。

"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。将两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元

素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为"分形艺术"。"分形艺术"以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。这里值得一提的是对称特征，分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。这一点与上面所讲的例子："一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息"，完全吻合。不管你是从科学的观点看还是从美学的观点看，她都是那么富有哲理，她是科学上的美和美学上的美的有机结合。

我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。

分形几何：复平面中的神奇迭代（专业知识）

Mandelbrot集合是Mandelbrot在复平面中对简单的式子 Z <- Z^2 + C 进行迭代产生的图形。虽然式子和迭代运算都很简单，但是产生的图形出现那么丰富多样的形态及精细结构简直令人难以臵信以至于不可思议。在传统几何学中难以找到如此简单的规律隐藏着如此复杂而生动的例子。Mandelbrot集合告诉我们自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。例如，大型团体操中每个人穿的衣服只有几种颜色中的一种，每个人的动作也只是导演规定的几种之一。但是整体上可以显示出多种多样的复杂形态。

Julia 集合

在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常数C，它是一个复数。现在您在复平面上任意取一个点，其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算：

就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。再把新的Z作为旧的Z，重复运算。当你不停地做，你将最后得到的Z值有3种可能性：

1、Z值没有界限增加（趋向无穷）

2、Z值衰减（趋向于零）

3、Z值是变化的，即非1或非2

趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。非趋向无穷和趋向于零的点是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。

问题是我们怎样才能让计算机知道哪一个点是定常吸引子还是"Julia集合"。一般按下述算法近似计算：

n=0;

while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax))

{

Z=Z*Z+C;

}

其中：Nmax为最大迭代次数

Rmax为逃离界限

退出while循环有两种情况，第一种情况是：

(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax

属于这种情况的点相当于"1、Z值没有界限增加（趋向无穷）"，为定常吸引子,我们把这些区域着成白色。第二种情况是：

n >= Nmax

属于这种情况的点相当于"2、Z 值衰减（趋向于零）"或"3、Z 值是变化的"，我们把这些区域着成黑色。黑色区域图形的边界处即为"Julia集合"。"Julia 集合"有着极其复杂的形态和精细的结构。

黑白两色的图形艺术感染力不强。要想得到彩色图形，最简单的方法是用迭代返回值n来着颜色。要想获得较好的艺术效果，一般对n做如下处理：

Red = n*Ar+Br;

Grn = n*Ag+Bg;

Blu = n*Ab+Bb;

if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red

^ 0xFF;

if ((Grn & 0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn

^ 0xFF;

if ((Blu & 0x1FF) > 0xFF) Blu = Blu

^ 0xFF;

其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb为

修正量

获得的Red、Grn、Blu为RGB三

基色，着色效果为周期变化，具有较

强的艺术感染力，而且等位线也蕴藏

在周期变化的色彩之中。

你可以想象得出，在屏幕上顺序

的试用每个像素点来反复迭代方程

要花费很长的时间。一幅 1024x768 屏幕尺寸的画面有786432个点。其中一些点在计算机上要反复迭代方程次数达1000次（取决于Nmax的取值）或更多次才放弃运算。运算产生一幅Julia集合需要花费很长的时间，有时需要产生一幅做海报用的大图像时，如 10240x7680，要花几天的时间。当然，你使用高速计算机会缩短这个时间。

Mandelbrot 集合

将Mandelbrot集合和Julia集合联系在一起，Julia集合有若干类型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一个常量，而Mandelbrot集合的C是由进入迭代前的Z值而定。迭代结果，Z值同样有3种可能性，即：

1、Z值没有界限增加（趋向无穷）

2、Z值衰减（趋向于零）

3、Z值是变化的，即非1或非2

Mandelbrot集合是所有的朱莉娅集合的合并，Mandelbrot集合的某个区域放大后就是这个点的Julia集合。 Mandelbrot集合有着一些很异国情调并且古怪的形状（见图1）。你能不停地永远放大Mandelbrot集合，但是受到计算机精度的限制。

Newton/Nova 分形

Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，但已被证明直到今天还是非常有价值的。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。你猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的根。如方程Z^6 + 1 = 0有六个根，用牛顿的方法"猜测"复平面上各点最后趋向方程的那一个根，你就可以得到一个怪异的分形图形。和平常的Julia分形一样，你能永远放大下去，并有自相似性。牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭代到目的地花费的时间。Paul Derbyshire研究牛顿分形图形时，他把Julia集合的常值C加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算Z，逼近答案，产生奇特的并称之为"Nova"的分形图形。

分形几何：艺术

把计算机产生的图形看成是艺术，有人可能要提出一些疑问。这些图形可以利用高品质的打印机产生任意多幅同样质量的"原作"，从而在商业化的艺术市场上造成混乱，因此她没有收藏价值，没有收藏价值的作品还能算得上是艺术吗？

这是一个十分敏感的问题。早在六十年代初有些数学家和程序设计人员就开始利用计算机及绘图设备从事这方面的工作。但他们大部分人避免将自己的工作与"艺术"一词挂起钩来，以免与艺术界的人们发生冲突。但是有一些人还是挺着腰杆去面对批评，承认计算机是视觉艺术的一种新工具，称他们自己的方法为"计算机艺术"。在批评面前，他们没有受到影响。他们不顾理论界的反对而继续自己的探索。他们积累了大量令人难忘的成果。正因为他们的努力才出现了今天的PhotoShop、Corel DRAW等等著名的软件，以及各种计算机艺术团体组织。PhotoShop也成了某些美术专业学生的必修课。

当今时代出现的充满科技含量的"分形艺术"又不同于运用PhotoShop从事的计算机艺术创作。"分形艺术"是纯数学产物，是否能算得上艺术必然会引起新的争论。争论最活跃的问题是：分形图形是纯数学产物能算得上艺术吗？既然学习数学和程序设计就可以从事艺术创作了，学习美术专业还有什么用处呢？

这个问题提的好。从事分形艺术创作的人要研究产生这些图形的数学算法，这些算法产生的图形是无限的。他们没有结束，你永远不能看见它的全部。你不断放大她们的局部，也许你可能正在发现前人没曾见到过的图案。这些图案可能是非常精彩的。她们与现实世界相符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节，是完全可以用数学结构来描述的。另一个的问题是颜色，好的颜色选择，就可以得到一幅奇妙的图形。糟糕的选择，你得到的就是垃圾。所以说，创造分形艺术，最好再学一点绘画基础、色彩学等，那将是大有益处。

分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域显示出非凡的作用。创作精美的分形艺术是国内外分形艺术家们的人生追求，总有一天分形艺术会登上大雅艺术殿堂。

专题分类：日用品、自然景物、动植物、食品、蔬菜

文字图片结合叙述体会查找资料时遇到的困难

分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动（布朗运动），这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞（每秒钟多达十亿亿次）下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是2，大大高于它的拓扑维数1。

在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。

自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。

有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从1公里到1000公里的无标度区。小于1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。

近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也成为有充实内容的研究领域。

一眨眼的功夫，一个学期即将结束，而我们的研究性学习也要告一段落。通过这一学期的自主学习，我们学到了很多东西。

我们研究的课题是“分形几何在实际生活中的应用”，为了研究这一课题，我们想尽了各种方法：上网、去图书馆、询问老师等等。这是一项最最基础的工作，俗话说得好：房子造得好，全靠地基牢。所以这项活动的开展对以后的研究活动起到了至关重要的作用。而我们也通过这项活动锻炼了我们的知识面和胆量。

之后，我们又拟定了一份调查问卷。，从问卷内容、版面修饰，到做调查问卷，都是由我们自己完成的。其间我们的分工明确，各干各的事，却又要经常联系，交流上一阶段的进展。

后来，在寻找实例的过程中，我们去商店，去菜场，去公园，并且仔细观察周围一切，尽可能多地寻找分形几何的实例。这是我们的观察能力有了许多的提高。

通过了这次研究活动，我们认为，这项活动有助于我们的全面发展，它让我们从繁重的学习生活中解脱出来，它还能让我们学到新的知识，正是一举两得。

通过这次学习，我们觉得，研究性学习的好处很多，大致有以下几点：

1. 让我们在平时的学习生活中多了一些乐趣。它就好像是调味品，把学习这盆平淡无味菜肴，变得有滋有味，让人觉得这盆菜还是有点鲜味挺不错的。

2. 它培养了我们的团体精神。原本几个不相识的同学组成为了一个小团体，尽管从前没有任何交流，但是只要我们是一组，就要为同一个目标而努力，那就是要将研究性课题做到最好。

3. 它培养了我们的观察了和想象力。说实话，分形几何是一个十分抽象的东西。所以，要把这些抽象的东西和我们现实生活中的许许多多东西联系起来确实不容易。“扫帚”、“树叶”、“花菜”等等实例都是组员们仔细观察，对周围事物留心的成果。

4. 它培养了我们的学习的自主性。这是几点中最重要的一点，我们很少能有机会在没有老师教的情况下自己学习，这种主观自觉的学习方法能使我们学得更踏实、更有兴趣，可有信心。它也让我们学到了课本上学不到的东西。像这种学习，对我们的高中生涯，甚至是将来踏上社会都会有许许多多的帮助，以后就可以完全摆脱老师自主学习。正是能让我们终生受益啊。

通过这一次的研究性学习，我们不光只学习到了有关于分形几何的知识，我们真正学到的是方法，是自主学习的方法。人的一生不可能一直要老师教，总有一天需要自力更生，自己学习，而研

究性学习给了我们一个良好的平台，去锻炼这

种能力，假如我们能把这种方法推广到平

时的课程中去，相信也会又有相同的效

果。

这一次的研究性学习结束了，希望它能够给我们留下一个美好的回忆。