三角形中的最值问题

第42课 三角形中的最值问题

考点提要

1．掌握三角形的概念与基本性质．

2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．

基础自测

1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ；

（2）△ABC 中，当A=

3π 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 3

2

． 2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值范围是 2

1

>m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==，

令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得2

1>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值范围是 30º＜B ＜45º ．

4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则

r

R

1． 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值范围是 0°＜B ≤120° ．

6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．

①A sin >B sin ； ②A cos B 2sin ； ④A 2cos B ⇔a >b A R sin 2⇔>B R sin 2⇔A sin >B sin ，故①正确；

A cos <

B cos ⇔)2sin(A -π<)2

sin(B -π

⇔A>B ，故②正确（或由余弦函数

在(0,)π上的单调性知②正确）；

由A 2cos

12sin A -<2

12sin B -⇔A sin >B sin ⇔A>B ，故④正确．

知识梳理

1．直角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若内切圆的半径为r ，则2

a b c r +-=

． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中

有着广泛的应用．

例题解析

例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．

点评

例2 已知△ABC 中，1,2a b ==．

（1）求最小内角的最大值； （2）若△ABC 是锐角三角形，求第三边c 的取值范围．

解 （1）由三角形三边关系得第三边c 满足122112c,c ,c ,+>⎧⎪

+>⎨⎪+>⎩

解得13c <<，故最小内角为A ．

又22223131cos 24442b c a c A c bc c c +-+===+⨯=()≥

（当且仅当

c =，所以A ≤30°，即最小内角的最大值为30°．

（2）因为△ABC 是锐角三角形，即A ，B ，C 三个角均为锐角，又因为a ＜b ，所以

A ＜

B ，故只需说明B ，

C 为锐角即可．

由B ，C 为锐角得0

1401214014

c ,c c ,

⎧+-<<⎪⎪⎨+-⎪<<⎪⎩

c <<．

点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外

要注意变形的等价性，如“内角A 为锐角0<1cos A ⇔<”．

例3 （2008江苏）求满足条件BC AC AB 2,2==的△ABC 的面积的最大值．

解 设BC ＝x ，则AC

．

根据面积公式得ABC S ∆

=

1

sin 2

AB BC B ⨯= 根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯2

44x x

-=，

代入上式得ABC S ∆

==

由三角形三边关系有2,

2,

x x +>+>⎪⎩

解得22x <<，

故当2

12,x x ==时ABC S ∆

= 点评

例4 如图，已知∠A=30°，P ，Q 分别在∠A 的两边上，PQ=2．当P ，Q 处于什么位置时，△APQ 的面积最大并求出△APQ 的最大面积．

点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．

例5 已知△ABC 的周长为6，||,||,||BC CA AB u u u r u u u r u u u r

成等比数列，求：

（1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BC BA ⋅的取值范围．

解 设||,||,||BC CA AB u u u r u u u r u u u r

依次为a ，b ，c ，则a +b +c =6，b 2 =ac ．

由622

a c b

b a

c +-==

≤得02b <≤（当且仅当a =c 时，等号成立）， 又由余弦定理得2222221

cos 2222

a c

b a

c ac ac ac B ac ac ac +-+--=

==≥（当且仅当a =c 时，等号成立），故有03

B π

<≤

，

（1）22111sin sin 2sin 32223

S ac B b B π

==⋅⋅=≤，即max 3S =（当且仅当

a =

b =

c 时，等号成立）；

（2）22)(2cos 2

2222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==⋅

22

2(6)3(3)272

b b b --=

=-++． 02,218b BA BC <⋅<∴u u u r u u u r

Q ≤≤．

点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）为函数问题．