三角函数概念与三角公式(学案)

三角函数的概念与三角公式

一、考试内容：

任意角、弧度，三角函数；正、余弦及正切的和角公式、倍角公式，三角恒等变换 考试要求：

1了解任意角的概念掌握与a 终边相同的角的表示方法

2 会角度与弧度的互化，会用弧度制表示弧长公式、扇形面积公式，并会运用

3 理解任意角三角函数的定义，了解任意角的三角函数线的含义

4 能画出三角函数x y sin = x y cos = x y tan = 的图像，了解三角函数的周期性

5理解三角函数的性质：单调性、最值、零点、周期、对称轴，中心

6理解同角三角函数的基本关系式

7掌握诱导公式

8 了解函数 )sin(?ω+=x A y 的实际意义，能用‘五点法’画简图

9 运用三角函数解决一些简单的实际问题

10能运用三角公式进行运算和证明

二、知识再现：

（一）角的概念的推广

1．正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（不旋转）

2．终边相同的角：设βα,是始边相同的角，则βα,的终边相同απβ+=?k 2,Z k ∈.

3．坐标系中的角：（规定：角的顶点与原点重合，始边在x 轴的正半轴上）

第一象限角 第二象限角

第三象限角 第四象限角

（二）角的度量

换算关系10= 弧度；1弧度= 0

弧长l = = ;扇形面积S= =

（三）角函数的概念：

1．定义1：设α的终边与单位圆交于点),(y x P ，

则sin α= , cos α= ,tan α= .

定义2：若α的终边上一点),(y x P 呢？

2．象限角的三角函数值的符号_________________________

（四）诱导公式：

απ±k 2，π+α,π-α,-α： 函数名不变，符号看象限；

2π+α,2

π-α 简记:函数名要变，符号看象限。 所有诱导公式记忆口诀：_____________________

（五）同角三角函数的基本关系：

（六）和角公式：=+)sin(βα____________________

=+)cos(

βα____________________ =+)tan(βα_____________ (七)倍角公式 =α2sin _________

=α2cos _____________=_____________=___________

(八)半角公式

=2sin α________ =2cos α __________ =2

tan α________=___________=___________

常用公式：=+ααcos sin b a _______________

升幂、降幂公式：__________ _____________

三、典型例题

例1．若角α＝40°，若β终边在α的反向延长线上，则β＝ ；

若β与α的终边关于x 轴对称，则β＝ 。

例2．已知角α为第二象限角，试确定－α、2α、2

α终边所在象限。

例3．已知扇形AOB 圆心角为120°，半径为6，求这个扇形的弧长，周长，扇形面积和所含弓形的

面积。

例4．求下列各角的三角函数值

例5．（1）已知角α的终边过点P （3,4）,求角α的各三角函数值。

（2）已知角α的终边过点P （3r ,4r ）(r ≠0),求角α的各三角函数值。

例6．（1）已知4sin =

5

α ，求cos ,tan αα。

（2）若cos130a =，则tan 50=___________.(用a 的代数式表示)

例7．求值 1．sin(1560)cos 210cos(300)sin(1410)______.-??+-?-?=

2．222sin 1sin 2sin 89_______.?+?++?=

3．已知1sin cos 2

x x -=

，且x 在第三象限，则sin cos _______,sin cos ________.x x x x =+=

4．已知tan α=2，求: 3cos sin (1),cos 2sin x x x x

+- (2)x x x cos sin sin 12-

二、课后练习：

一、选择题

1．终边落在x 轴上的角的集合是 ( )

A. {|360,}a a k k Z =∈

B. {|(21)180,}a a k k Z =+∈

C. {|180,}a a k k Z =∈

D. {|18090,}a a k k Z =+∈

2．半径为π，中心角为120的弧长为 ( )

A ．cm 3π

B ．cm 32π

C ．cm 3

2π D ．cm 322π 3．函数|

tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=的值域是 ( ) A ．{1} B ．{1,3} C ．{1}- D ．{1,3}-

4．若2cos sin 2cos sin =-+α

ααα，则=αtan ( ) A ．1 B ． 1- C ．4

3 D ．34- 5．若θ是第三象限角，且02

cos <θ，则2θ是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

6．若21cos sin =?θθ，则下列结论中一定成立的是 ( ) A ．22sin =θ B ．22sin -=θ C ．1cos sin =+θθ D ．0cos sin =-θθ

二、填空题

7．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是_ ______．

8．若求值sin12000= cos 6

47π= . 9．已知1sin cos (0)5

αααπ+=-≤≤，则tan α=______ __．

10．若21cos >α，则α的取值范围是 . 11．角α的终边上有一点P(m ，5)，且)0(,13

cos >=

m m α，则sin α+cos α=________． 三、解答题

12．若α

22sin(5)cos(3)παπα-++-

13．若关于x 的方程0sin )(cos 22=+-+a x x π有实数根，求实数a 的取值范围。

14．己知关于x 的方程0)1(242=---m x m x 的两根为αsin 和αcos ，且()πα2,0∈

（1）求m 的值；

（2）求ααα

αtan 1cos tan 11sin -+-的值； （3）求方程的两根及α；