大学物理教程(第二版)-第12章答案

第十二章 电磁感应 电磁场和电磁波

12－7 载流长直导线中的电流以

t

I

d d 的变化率增长.若有一边长为d 的正方形线圈与导线处于同一平面内，如图所示.求线圈中的感应电动势. 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律t

Φ

d d -

=ξ

，来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用??=

S

S B Φd 来计算.

为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B 仅与x 有关，即B =B (x )，故取一个平行于长直导线的宽为d x 、长为d 的面元d S ，如图中阴影部分所示，则d S =d d x ，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元d S =d x d y ，则上述积分实际上为二重积分）.

另一种方法：变化的电流产生变化的磁场，而面积没变，产生的是感生电动势。

题 12-7 图

解1 穿过面元d S 的磁通量为

x d x

I

S B Φd π2d d 0μ=

?=

因此穿过线圈的磁通量为

2ln π

2d π2d 200??

=

=

=d

d

Id

x x

Id

ΦΦμμ

再由法拉第电磁感应定律，有

t

I d t Φd d 21ln π2d d 0）（μξ=-

= 解2 电流I 在x 处产生的磁感强度为

02πI

B x

μ=

所以，0d d d 2πd B I t x t

μ= 20200d ()2πd d 1

1d ln 2πd 2π2d d

S d d

d

d I dS ddx

dt x t

d I

I d dx t

x t

μξμμ=-?=-=-

???

B

=（）

12－10 如图（ａ）所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率v 水平向右平动时，求导线中感应电动势E 的大小，哪一端电势较高？

题 12-10 图

分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由t

Φ

E d d -=求解外（必须设法构造一个闭合回路），还可直接用公式()l B d ??=

?l

E v 求解．

在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元ｄl 上的动生电动势()l B d d ??=v E .在一般情况下，上述各量可能是ｄl 所在位置的函数．矢量（v ×B ）的方向就是导线中电势升高的方向．

解1 如图（ｂ）所示，假想半圆形导线O P 在宽为2R 的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或 端点P 距 形导轨左侧距离为x ，则

B R Rx Φ??

?

??+=2π212

即

B R t

x

RB t ΦE v 2d d 2d d -=-=-

= 由于静止的 形导轨上的电动势为零，则E ＝－2R v B ．式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP 段来说端点P 的电势较高．

解2 建立如图（c ）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元ｄl ，则

()θR θB l θB E o d cos d cos 90sin d d v v ==??=l B v

B R θθBR E v v 2d cos d E π/2

π/2===??-

由矢量（v ×B ）的指向可知，端点P 的电势较高．

解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路

的磁通量==BS Φ常数.由法拉第电磁感应定律t

Φ

E d d -

=可知，E ＝0 又因 E ＝E OP ＋E PO 即 E OP ＝－E PO ＝2R v B

由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法．

12－12 如图所示，长为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕OO ′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．

题 12-12 图

分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律t

Φ

E d d -

= 计算（此时必须构造一个包含OP 导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO ），也可用()l B d ??=

?l

E v 来

计算．由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的．

解1 由上分析，得

()l B d ??=?

OP

OP E v

l αB l

o d cos 90sin ?=v

()()l θB θωl

o

d 90cos sin ?-=

l

()?==L

L B l l B 022

sin 2

1d sin θωθω

由矢量B ?v 的方向可知端点P 的电势较高．

解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势

QO PQ OP E E E t

Φ

E ++==-

=0d d 显然，E QO ＝0，所以

()212

OP PQ E E B PQ ω=-=2

)sin (21θωL B =

由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效． 12－14 如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v 向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．

题 12 -14 图

分析 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：

（1）当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh 段和fg 段上的电动势为零［此两段导体上处处满足()0l B =??d v ］，因而线框中的总电动势为

()()()()hg ef hg

ef

gh

ef

E E E -=??-??=??+??=????l B l B l B l B d d d d v v v v 其等效电路

如图（ｂ）所示．

（2）用公式t

Φ

E d d -

=求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框的磁通量．为此设时刻t 时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c ）所示，显然ξ是时间t 的函数，且有

v =t

ξ

d d ．在求得线框在任意位置处的电动势E （ξ）后，再令ξ＝d ，即可得线框在题目所给位置处的电动势．

解1 根据分析，线框中的电动势为

hg ef E E E -=

()()????-??=hg

ef

l B l B d d v v

()??+-=220

1000d 2πd 2πl l l l d I μl d I μv

v ()

12

02πl d d l I +=

1vl μ

由E ef ＞E hg 可知，线框中的电动势方向为efgh ．

解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为

()ξ

ξμξμ1

2

00

20ln

π2d π21

l Il x x Il l +=+=Φ? 相应电动势为

()()

1120π2d d l ξξl

l I μt ΦξE +=-

=v 令ξ＝d ，得线框在图示位置处的电动势为

()

11

20π2l d d l l I μE +=

v

由E ＞0 可知，线框中电动势方向为顺时针方向．