函数的概念及表示法(学生版)

函数的概念及表示法

解答锦囊：解答“映射与函数的概念”一类试题，主要掌握以下几点： 1．象与原象是映射中的两个重要概念，常列方程，用方程的思想求解．

2．函数概念题主要考查对“对应法则厂’的理解，特别是分段函数的题型，要注重分类讨论、数形结合等重要数学思想的运用． 一、高考最新热门题

1、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2+n ， 则在映射f 下，象20的原象是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

2、函数f(x)= ，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定

f(P)={y|y=f(x)， x ∈P},f(M)={y|y=f(x)，x ∈M}，给出下列四个判断： ①若P ∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ ②若P ∩M ≠φ，则f(P)∩f(M)= φ ③ 若P ∪M=R ，则f(P)∪f(M)=R ； ④若P ∪M ≠R ，则f(P)∪f(M)≠R ； 其中正确判断有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 3、已知函数f(x)= ，若f(a)=b ，则f(-a)等于（ ）

A ．b

B ．-b

C ． D.-

4、判断下列各组函数是否表示同一个函数（ ） A ．y= 与y=x+1 B ．y=lgx 与y=

C.y=-1 与y=x-1 D ．y=x 与y=log a a x (a>0且a ≠1)

??

?∈-∈M

x x P x x ,,x

x +-11lg b

1b

111

2--x x 2lg 2

1x 2

x

二、题点经典类型题 1、设函数f(x)的定义域为R +,且满足条件f(4)=1，对于任意x 1，x 2∈R +，有f(x 1，x 2)=f(x 1)+ f(x 2)，当x 1>x 2时，有f(x 1)>f(x 2)． (1) 求f(l)的值；

(2)如果f(3x+1)+f(2x-6)≤3，求x 的取值范围． 2、由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1)4 +b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4定义映射f ：(a 1， a 2，a 3，a 4，)→b 1+b 2+b 3+b 4，则f(4，3，1)等于 。

3、定义集合A*B 的一种运算：A*B={x|x=x 1 +x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B 中的所有元素数字之和为 （ ） A.9 B.14 C.18 D.21

4、定义符号函数sgnx=

，则不等式： x+2>(2x<0)

sgnx

的解集是

_______________。 5、由关于x 的恒等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4 =(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4，定义 映射f(a 1、a 2、a 3,a 4)→(b 1．b 2、b 3,b 4)，则f(4，3，2．1)等于（ ） A ．10 B ．7 C ．-1 D ．0

6、设映射f ：x →-x+2x 是实数集M 到实数集N 的映射，若对于实数P ∈N ，在M 中不存在原象，则P 的取值范围是（ ）

A ．(1，+∞) n ．[1，+∞] C ．(-∞，1) D ．(-∞，1) 三、新高考命题探究

1、已知映射f:A →B ，其中A=B=R ，对应法则f:y=x 2-2x+3， x ∈a,y ∈B ．对于集合B 中的元素1。下列说法正确的是（ ）

A.在A 中有1个原象 B ．在A 中有2个原象 C ．在A 中有3个原象 D ．在A 中无原象

2、A 、B 两地相距150公里．某汽车以50)公里/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后．又以60公里/小时的速度返回A 地，写出该车离开A 地的距离S （公里）关于时间t(小时)的函数关系式。并画出图象．

3、已知(x ，y)在映射f 的作用下的象是(x+y ，xy)。求(-2，3)在f 作用下的象和(2．-3)在f 作用 下的原象．

??

?

??<-=>)0(,1)0(,0)0(,1x x x

命题点2 函数的表示法与定义域

解答锦囊：解答“函数的表示法与定义域”一类试题，主要掌握以下几点： 1．求定义域除考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义． 2．熟练掌握基本初等函数(尤其是分式函数、指数函数，对数函数、三个函数)的定义域是求出函数定义域的关键．

3．复合函数求定义域问题一般步骤：若已知f(x)定义域为[a ，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a ≤g(x)≤b 解出． 4．求函数解析式，我们常用“配凑”、“等量代换法”、“待定系数法”、“函数方程法”等．

5．对于含有字母系数的函数的定义域，或已知定义域，求参数的取值范围，必须对字母的取值情况进行分类讨论． 一、高考最新热门题 1、已知二次函数y=f 1(x)的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数y=f 2(x)的图象与直线y=x 的两个交点间距离为8，f(x)=f 1(x)+f 2(x)， (1)求函数f(x)的表达式；

(2)证明：当a>3时，关于x 的方程f(x)=f(a)有三个实数解．

2、函数y=lg(1-)的定义域是（ ）

A ．{x|x<0}

B ．{x|x>1}

C ．{x|0

D ．{x|x<0或x>l} 3、已知，则f(x)的解析式可取为（ ）

A.

B. -

C.

D.-

4、函数 的定义域是（ ）

A ．[-

，-1] ∪（1，） B ．(-

，-1)∪(1，

)

C ．[-2,-1] ∪（1，2）

D ．（-2，-1）∪（1，2）

5、已知函数f(x)= ，那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()______________

二、题点经典类型题 1、已知f(t)的定义域是t=2x (-1≤x ≤1)的值域，求f(1og 2x)的定义域_________。 2、设函数f(x)的定义域为D ，如果对于任意的x ∈D ，存在惟一的x 1∈D ，使

=C(C 为常数) 成立，则称函数y=f(x)在D 上的均值为C 给出下列四

个函数：①y=x 3；②y=4sinx ；③y=lgx ；④y=2x 。则满足在其定义域上均值为2的所有函数是（ ）

A ．①②

B ．③④

C ．①③④

D ．①③

x

12

211)11(x x x x f +-=+-2

1x x +2

12x x +2

12x x +2

1x x +)

(log 122

1-=x y 2

2

2

2

2

2

1x x +213141

2

)

()(21x f x f +

3、已知函数y=lg[a 2-1]x 2+(a+1)+1]的定义域为R ，求实数a 的取值范围．

4、已知函数f(x)的图象过点(0，1)，且与函数g(x)=

-a-1的图象关于直经

y=x —1成轴对称图形．

(1)求函数f(x)的解析式及定义域；

(2)若三个正数m 、n 、l 依次成等比数例，证明f(m)+f(t)≥2f(n)．

5、函数f(x)=

的定义域是（ ）

A ．[-1，2]

B ．[-1，0]∪(0，2)

C ．[-1，0]

D ．(0，2) 三、新高考命题探究

1、已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则f()等于（ ）

A ．0

B ．

C ．T

D ．

2、设函数f(x)=2+1，且有(1)=3，(x)= f[ (x-1)]，(x ≥2)， 其中x ∈N +则函数(x)的解析式为（ ）

A. (x)=2x-1(x ∈N +)

B. (x)=2x+1-1(x ∈N +)

C. (x)=2x+1(2∈N +)

D.(x)2x-1-l(x ∈N +) 3、已知函数f(x)=log 3(x 2-2mx+2m 2+

)的定义域为R 。

(1)求实数m 的取值集合M ；

(2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数f(x)中，其函数最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值．

综合测试

122

-x x

x x x --+||222

T -2

T 2

T - 3

92-m

1、已知函数f(x)=log a (x+1)的定义域和值域都是[o ，1]，则a 的值=（ ） A ．2 B ．

C ．

D ．

2、若2lg(x-y)=lgx+lgy 则的值=（ ） A.

B.

C.

D.

3、设函数

f(x)= 则f(1og 23)=（ ）

A ．- B.

C. D.

4、若函数f(x+1)的定义域为[0，1]，则f(3x-1)的定义域为___________

5、定义运算：a ?b= 则函数f(x)=3-x ?3x 的值域。

2

2

23

11x

y 2

53±2

53+2

53-2

15+??

???<+≥)4)(3()

4()2

1(x x f x x

8

2311

1

481

24

1

??

?<≥b

a a b

a b ,,