角平分线与垂直平分线练习题(经典)

图1

图2 D C E A B 0角平分线

角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是cm ．

例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC ,

交AC 于D .

(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说

明你的理由;

(2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数. 3、考点深入练习

例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。

求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。 例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ．（8分）

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：DC ⊥BE

例5:△DAC,△EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N. 求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3)△CMN 为等边三角形（4）MN ∥BC

垂直平分线的性质与判定强化练习

1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ）

A ．6cm

B ．8cm

C ．10cm

D ．12cm

D

A C

B N M

A B C P A

B C D G

H

F E D C

B A E

2题

2如图，在Rt ABC

△中，90

ACB D E

∠=，，分别为AC AB

，的中点，连DE CE

，．

下列结论中不一定正确的是（）

A．ED BC

∥ B．ED AC

⊥ C．ACE BCE

∠=∠ D．AE CE

=

3、△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等

于（）

A.37.5°

B.67.5°

C.37.5°或67.5°

D.无法确定

4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________．

5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________．

6、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，

则AB+BD+AD=cm；AB+BD+DC=cm；△ABC的周长是cm。

3题 4题

7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，

BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。

8在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A、B的距离相等（保

留作图痕迹，不写作法和证明）．

9如图4，AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于点E．由这些条件可以得出若干结论，请你

写出其中三个正确结论（不要添加字母和辅助线，不要求证明）．

10、如右图，在△ABC中，AB=AC， BC=12，∠BAC =120°，AB的垂

直平分线交BC边于点E， AC的垂直平分线交BC边于点N。

(1) 求△AEN的周长。

(2) 求∠EAN的度数。

(3) 判断△AEN的形状。

11、如图，已知线段CD垂直平分线AB，AB平分CAD

∠问AD与BC平行吗？请说明理

由。

A

B

D

E

M

N

12、如图，已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等，且到点M 和N 的距离相等。

如图，在△ABC 的AB 、AC 边的外侧作等边△ACE 和等边△ABF ，连接BE 、CF 相交于

点O ，（1）求证：CF=BE ；（2）连AO ，则：①AO 平

分∠BAC ；②OA 平分∠EOF ，你认为正确的是

②

（填①或②）．并证明你的结论．

（1）证明：∵△ABF 和△ACE 是等边三角形，∴AB=AF ，AC=AE ，∠FAB=∠EAC=60°，∴

∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC ，即∠FAC=∠BAE ，在△ABE 与△AFC 中，AB=AF ∠BAE=FAC AE=AC ∴△ABE ≌△AFC （SAS ） ∴BE=FC ；（2）解：连AO ，过A 分别作AP ⊥CF 与P ，AM ⊥BE 于Q ，如图，∵△ABE ≌△AFC ，∴S △A B E =S △A F C ，∴

1

2

AP ?CF=

1

2

AQ ?BE ，而CF=BE ，∴AP=AQ ，∴OA 不一定平分∠MAN ，所以①错误；∵在RT △AOP 和RT △AOM 中，

AP ＝AM AO ＝AO

，∴RT △AOP ≌RT △AOM （HL ）∴∠AOF=∠AOE ，所以②正确．故答案为②．