第十一章 光学 习题解答

λf
b
， 中央明纹宽为两条一级暗纹中心距离 l0 = 2
λ
b
x ， f
= 2mm
λf
b
= 6mm 。
§11.8～11. 9
11.17 一宇航员声称，他恰好能分辨在他下面 R 为 180km 地面上两个发射波长 λ 为 假定宇航员的瞳孔直径 d 为 5.0mm ， 如此两点光源的间距以 m 为单位， 550nm 的点光源。 则为： 【B】 （A）21.5； （B）24.2； （C）31.0； （D）42.0。 分析：设两点光源 S1、S2 的间距为 x，由于 θ 0 较小，做以下近似 θ 0 ≈ tan θ ≈
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§11.1～11. 2
11.1 用白光源进行双缝实验，若用一个纯红色的滤光片遮盖一条缝，用一个纯蓝色的 滤光片遮盖另一条缝，则： 【D】 （A）干涉条纹的宽度将发生改变； （B）产生红光和蓝光的两套彩色干涉条纹； （C）干涉条纹的亮度将发生改变； （D）不产生干涉条纹。 说明：经过双缝后的两束光频率不同（红光、蓝光） ，此两束光不满足相干条件，不是相 干光，叠加后不能发生干涉。 11.2 用单色光进行双缝实验，若减小双缝间的距离，干涉条纹的间距将【B】 ；若将观 测屏向双缝方向平移一小段距离，干涉条纹的间距将【C】 。 （A）不变； （B）增大； （C）减小； （D）不能确定。 说明：条纹宽度公式为 ∆x =
λ1 = 1200nm ， λ2 = 600nm ， λ3 = 400nm ， λ4 = 300nm
由于 4 × 10 m ≤ λ ≤ 7.6 × 10 m ， 则： k=2 时，λ = 600nm ； k=3 时，λ = 400nm
−7 −7
的波长满足反射光加强。 (2) 空气 n1=1 < 膜 n2=1.5 < 玻璃 n3=1.6，透射光光程差含有半波损失项 透射光加强条件： δ 透 = 2n2 d + 足 λ = (2n2 d +
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若充以折射率为 n=1.5 的液体，玻璃一 n1=1.4 < 液体 n=1.5 < 玻璃二 n2=1.6，反射光光程 差无半波损失项，即 δ = 2nd ，中央处 d=0，则 δ = 0 ，满足明纹条件 δ = kλ , k = 0,1,2... 则牛顿环 中央变为亮斑。
§11.6～11. 7
n(rk2+ m − rk2 ) −3 ， 根据题意，n = 1, m = 4, rk + 4 = 3.0 × 10 m, mλ
rk = 3.0 × 10−3 m，λ = 589 × 10−9 m ，代入公式即可求解。 【注意单位】
11.10 白光垂直照射在空气中镀有厚度为 0.40μm 透明膜的玻璃片上，膜的折射率为 1.50，玻璃的折射率为 1.6，求在可见光范围内（λ=400～760nm）,反射光中哪些波长的光 得到加强？透射光中哪些波长的光得到加强？ 解：(1) 空气 n1=1 < 膜 n2=1.5 < 玻璃 n3=1.6，反射光光程差无半波损失项 反射光加强条件： δ 反 = 2n2 d = kλ , (k = 1,2...) ，则波长满足 λ = 2n2 d / k ，代入 n2=1.5，d=0.40μm，分别取 k=1,2,3,4 得到
D D λ红 - 2 λ紫 （红光第二级明纹中心到紫光第二级明纹中心距离） d d
(λ红 − λ紫 ) D ∆λD =2 = 7.2 × 10− 3 m d d
=2
§11.3～11. 5
11.6 在真空中波长为 λ 的单色光， 在折射率为 n 的透明介质中从 A 沿某路径传到 B， 若 A、 B 两点的相位差为 3π，则此路径 AB 的光程差为【A】 ，路程差为【D】 。 （A）1.5λ； （B）1.5nλ； （C）3λ； （D）1.5λ/n。 分析：相位差公式为 ∆ϕ =
D λ , k = 0,1,2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ d
D=1.2 m，d=0.6 mm，λ=550nm
1.20 × 3 × 550 × 10−9 = ±3.3 × 10− 3 (m) 【注意正负】 −3 0.600 × 10
′ ，其中 x6 ′ =6 （2）因为 x6 = x5
D D ′ = 5 λ′ λ ， x5 d d
11.12 根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波振面为 S，则 S 的前方某点 P 的光 强决定于波振面上所有面元发出的子波各自传到 P 点的： 【B】 （A）振动振幅之和； （B）相干叠加； （C）振动振幅之和的平方； （D）光强之和。 分析：惠更斯—菲涅耳原理：从同一波面上各点发出的子波是相干波，在介质中某一点相 遇时，该处的波振幅为各列子波在该点相干叠加的结果。 本题目主要考察对“相干叠加”的理解， “相干叠加”本质上是各个子波在空间某处的振动 位移叠加，根据我们第九章学习的振动的合成可以知道， “叠加”后的合振幅是各个子波在某点 引起的振动分振幅的矢量合成（并非几何相加） 。假设合振幅为 A，则光强 I ∝ A2 。 选项 A：应为振动振幅的矢量合成；选项 C：应为振动振幅矢量合成的平方；选项 D：考
−7 −7
加强。 11.11 在牛顿环装置的平凸透镜（玻璃一:n1=1.4）和平板玻璃（玻璃二:n2=1.6）之间 充以折射率为 n=1.33 的液体，凸透镜的曲率半径为 300cm，用波长为 650nm 的单色光垂 直照射。求第 10 个暗环的半径（设凸透镜与平板玻璃接触，中心暗环不计入环数） 。若充 以折射率为 n=1.5 的液体，则牛顿环中央有什么变化？ 解：玻璃一 n1=1.4 > 液体 n=1.33 < 玻璃二 n2=1.6，反射光光程差含有半波损失项 暗环条件 δ = 2nd + 则暗环半径 r ≈
λ
2
，θ增大，则半波带数目 n 增大；对于固定缝宽的单缝，平均分
成的半波带数目越多，自然每一个半波带所占用的面积减小，通过的光能量也会减少，所以对 于远离中央亮纹越远的明条纹，由于他们对应的衍射角较大，所以亮度逐渐减少。 11.15 一单色平行光垂直照射于一单缝， 若第三条明纹位置正好和波长为 600nm 的单色光
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11.16 波长为 600nm 的单色平行光，垂直入射到缝宽为 b=0.6mm 的单缝上，缝后有 一焦距为 f=100cm 的透镜，在透镜焦平面上观察到衍射图样，则： （1）中央明纹的线宽度 是多少？（2）两个第三级暗纹之间的距离是多少？ 解： （1） 单缝衍射暗纹条件 b sin θ = ± kλ，k = 1,2... ， θ很小时 θ ≈ sin θ ≈ tan θ = 则暗纹中心位置 x = ± k （2） ∆x3, −3 = 6
λ′ =
6λ = 660nm 5
11.5 在杨氏双缝干涉实验中，设两缝间距 d =0.2mm，屏与缝之间距离 D =200cm。 （1）以波长为 500nm 的单色光垂直照射，求第十级明纹离中央明纹的距离，并求 相邻明纹间距。 （2）用白光（波长为 400—760nm）垂直照射，求第二级光谱的宽度。 解： （1）明纹中心位置： xk = ± k
D D λ , k = 0,1,2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ，条纹宽度公式为 ∆x = λ 。 d d
其中 d =0.2mm，D =200cm，λ=500nm；代入 k=10，得到第十级明纹离中央明纹 的距离 x10 = 0.05m 。条纹宽度 ∆x = 0.005m 。
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（ 2） 由于紫光 λ 紫=400nm， 红光 λ 红 =760nm， 则第二级光谱的宽度为 ∆x2 = x2红 - x2紫 ， 即 ∆x2 = 2
应于衍射角为 30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为： 【C】 (A) 6 个；
分析：缝宽 b=3λ，衍射角θ=30°，则 BC = b sin θ = 1.5λ = 3
λ
2
。可知 n=3。
11.14
在单缝夫琅禾费衍射实验中，若衍射角增大，则菲涅耳半波带数目 增加 ，半波带
的面积 减少 。 分析： BC = b sin θ = n
λ λ ，则 θ = （本题中 b=a） 2nθ 2nb 实际上，上面的劈尖条纹宽度公式是一种近似值， θ ≈ sin θ ≈ tan θ
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11.9 用波长为 589.3nm 的钠黄光观察牛顿环，测得某一明环的半径为 1.0×10-3m，而 其外第四个明环的半径为 3.0×10-3m，则平凸透镜凸面的曲率半径为 3.39 m 。 分析： 曲率半径公式 R =
2 虑两个子波的情况， I ∝ A2 = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ ∝ I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos ∆ϕ ≠ I1 + I 2 。
11.13
在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为 3λ的单缝上，对 (B) 4 个； (C) 3 个； (D) 2 个。
λ
2
= kλ , (k = 1,2...) 注意：半波损失项。则波长满
λ
2
) / k ，代入 n2=1.5，d=0.40μm，分别取 k=1,2,3,4，得到
λ1 = 2400nm ， λ2 = 800nm ， λ3 = 480nm ， λ4 = 343nm
由于光波长 4 × 10 m ≤ λ ≤ 7.6 × 10 m ，则：k=3 时，λ = 480nm 的波长透射光
λ λ = L； 2nθ 2nD
1 λ , k = 1,2... ； 2 2n
【薄膜厚度增加时，干涉条纹向着干涉级减小的方向移动.反之，向干涉级增加的方向移动】 拓展：对于劈尖干涉，劈棱处级数最小，远离劈棱，级数逐渐增大。 ① 增大夹角，条纹变密，条纹间距变小； ② 减小夹角，条纹变疏，条纹间距变大； ③ 增大板间距，光程差变大，对应的级数 k 增加，条纹左移，条纹间距不变； ④ 减小板间距，光程差变小，对应的级数 k 减小，条纹右移，条纹间距不变。 注意：除了夹角和厚度变化外，折射率和波长的变化也会影响劈尖干涉条纹，分析方法类 似，此处不再赘述。 11.8 用波长为 λ 的单色光垂直照射折射率为 n 的劈尖薄膜，形成等厚干涉条纹，若测得相 邻明条纹的间距为 a，则劈尖角 θ 为 λ/2na 或者写为 arctan(λ/2na)或 arcsin(λ/2na)。 分析：劈尖条纹宽度公式为 b =