弹性力学试题及答案

弹性力学与有限元分析复习题及其答案

一、填空题

1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。

3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。

4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。

5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。

6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，

=2σ0MPa ，=1α6135'ο。

8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，

=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。

9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。

10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。

15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。

20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。 二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）

1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√） 5、如果某一问题中，0===zy zx z ττσ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。（√）

6、如果某一问题中，0===zy zx z γγε，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。（√）

9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√） 10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√） 14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√） 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ） 三、分析计算题

1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ；

（2）)(22y x A x +=σ，)(2

2y x B y +=σ，Cxy xy =τ；

其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程?????

??=??+??=??+??00x y y x

xy y yx

x τστσ；

（2）在区域内的相容方程()02222=+????

????+??y x y x σσ；

（3）在边界上的应力边界条件()()

()()

?????=+=+s f

l m s f

m l y s xy y x

s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，222

3xy C y -=σ，y x C y C xy 2

332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 得 即

由x ，y 的任意性，得

由此解得，61Q C =

，32Q C -=，2

3Q C = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。

解：将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，代入平衡微分方程

可知，已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：

将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：

将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。

（1）Axy x =ε，3By y =ε，2

Dy C xy -=γ； （2）2

Ay x =ε，y Bx y 2

=ε，Cxy xy =γ； （3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ； 其中，A ，B ，C ，D 为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： （1）相容。

（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。

（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ（1分）。 5、证明应力函数2

by =?能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，≠b

解：将应力函数=?可知，所给应力函数y

x 2?=2?x y 0=??-y x xy 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面

力分别为：

上边，2

h y -=，0=l ，1-=m ，0)

(2

=-=-

=h y xy x f τ，0)

(2

=-=-

=h y y y f σ；

下边，2h

y =

，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2===h y y y f σ；

左边，2

l

x -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)

(2

-=-=-

=σ，0)

(2

=-=-

=l x xy y f τ；

右边，2

l x =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)

(2

===

σ，0)

(2

===

l x xy y f τ。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。因此，应力函数

2by =?能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。

6、证明应力函数axy =?能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，

≠a

解：将应力函数=?可知，所给应力函数a - 力分别为：

上边，2

h y -=，0=l ，1-=m ，a f h y xy x =-=-

=2

)

(τ，0)

(2

=-=-

=h y y y f σ；

下边，2h

y =

，0=l ，1=m ，a f h y xy x -===2)(τ，0)(2===h y y y f σ；

左边，2

l

x -=，1-=l ，0=m ，0)

(2

=-=-

=l x x x f σ，a f l x xy y =-=-

=2

)

(τ；

右边，2

l x =，1=l ，0=m ，0)

(2

===

l x x x f σ，a f l x xy y -===

2

)

(τ。

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a 。因此，应力函数axy =?能解决矩形板受均布剪力的问题。

7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0=x σ。由此可知

将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

这是y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即

0)(414=dx x f d ， 0)

(4

24=dx

x f d 这两个方程要求

I Cx Bx Ax x f +++=231)(， K Jx Ex Dx x f +++=232)(

代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得

对应应力分量为

以上常数可以根据边界条件确定。

左边，0=x ，1-=l ，0=m ，沿y 方向无面力，所以有 右边，b x =，1=l ，0=m ，沿y 方向的面力为q ，所以有

上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，这就要求xy τ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

将xy τ的表达式代入，并考虑到C =0，则有 而

00)(00

=?=?dx y b

xy

τ

自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y σ在这部分边界上

合成的主矢量和主矩均为零，即

0)(00

==?

dx y b

y σ，

0)(00

==?xdx y b

y

σ

将y σ的表达式代入，则有 由此可得

2

b

q A -

=，b q B =，0=C ，0=D ，0=E 应力分量为

0=x σ, gy b x b y q y ρσ-??? ??-=312, ??

?

??-=23b x b x q xy τ

虽然上述结果并不严格满足上端面处（y =0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y =0处这一

结果应是适用的。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为x

V

f x ??-

=，y V f y ??-=，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，V y x +??=22?

σ，V x y +??=22?σ，

y

x xy ???-=?τ2，试导出相应的相容方程。

证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x σ，y σ，xy τ应当满足平衡微分方程

?????

?

?=??-??+??=??-??+??00y V x y

x V

y x

xy y yx x τστσ（1分） 还应满足相容方程

()()???

?

????+??+-=+????

????+??y

f x f y x y x y x μσσ12222（对于平面应力问题） ()???

? ?

???+??--=+???? ????+??y f x f y x y x y x μσσ112222（对于平面应变问题） 并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。

首先考察平衡微分方程。将其改写为

这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为 根据微分方程理论，一定存在某一函数A （x ，y ），使得

y A V x ??=

-σ，x

A

yx ??=-τ 同样，将第二个方程改写为

()()yx y x

V y τσ-??=-??

（1分） 可见也一定存在某一函数B （x ，y ），使得

x

B

V y ??=

-σ，y B yx ??=-τ

由此得

因而又一定存在某一函数()y x ,?，使得

y A ??=

?，x

B ??=?

代入以上各式，得应力分量

V y

x +??=22?

σ，V x y +??=22?σ，y x xy ???-=?τ2 为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数()y x ,?必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得

简写为

将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得 简写为

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次的应力函数求解。

解

xf y

x x 222=-?

?=?

σ

, cy bx y x xy 222--=???-=?τ 足应力边界条件。

上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，所以有 对上端面的任意x 值都应成立，可见 同时，该边界上没有竖直面力，所以有 对上端面的任意x 值都应成立，可见 因此，应力分量可以简化为

dy cx x 62+=σ，gy y ρσ-=，cy xy 2-=τ

斜面，αtan x y =，ααπsin 2cos -=??

?

??????

??+-=l ，()ααcos cos =-=m ，没有面力，所以有 由第一个方程，得

对斜面的任意x 值都应成立，这就要求 由第二个方程，得

对斜面的任意x 值都应成立，这就要求

0tan 2=-g c ρα（1分）

由此解得

αρcot 21g c =（1分）

，αρ2

cot 3

1g d -= 从而应力分量为

αραρσ2cot 2cot gy gx x -=, gy y ρσ-=, αρτcot gy xy -=

设三角形悬臂梁的长为l ，高为h ，则l

h =αtan 。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x 方向的分量为0，沿y 方向的分量为glh ρ2

1-。因此，所求x σ在这部分边界上合成的主矢应为零，xy τ应当合成为反力glh ρ2

1-。

可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角α，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1ρ，液体的密度为2ρ，试求应力分量。

：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的

函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个

应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与g 1ρ成正比（g 是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与

g 2ρ成正比。此外，每一部分还与α，x ，y 有关。由于应力

的量纲是L -1MT -2，g 1ρ和g 2ρ的量纲是L -2MT -2，α是量纲一的

量，而x 和y 的量纲是L ，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是

gx

A 1ρ，

gy

B 1ρ，

gx

C 2ρ，

gy

D 2ρ四项的组合，而其中的A ，B ，C ，D 是量纲一的量，只与α有关。这就

是说，各应力分量的表达式只可能是x 和y 的纯一次式。

其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x 和y 纯三次式，因此，假设 相应的应力分量表达式为

dy cx xf y

x x 6222+=-??=?

σ, gy by ax yf x y y 12226ρ?σ-+=-??=, cy bx y x xy 222--=???-=?τ 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满

足应力边界条件。

左面，0=x ，1-=l ，0=m ，作用有水平面力gy 2ρ，所以有 对左面的任意y 值都应成立，可见

同时，该边界上没有竖直面力，所以有 对左面的任意y 值都应成立，可见 因此，应力分量可以简化为

gy x 2ρσ-=，gy by ax y 126ρσ-+=，bx xy 2-=τ

斜面，αtan y x =，αcos =l ，ααπsin 2cos -=??

?

??+=m ，没有面力，所以有 由第一个方程，得

对斜面的任意y 值都应成立，这就要求 由第二个方程，得

对斜面的任意x 值都应成立，这就要求 由此解得

αραρ321cot 31cot 61g g a -=，αρ22cot 2

1

g b = 从而应力分量为

gy x 2ρσ-=, ()()y g g x g g y 122321cot cot 2cot ραραραρσ-+-=, αρτ22cot gx xy -=