江苏省百校联考2018届高三上学期第一次联考数学试题含答案

江苏省百校联考2018届高三上学期第一次联考

数学试卷Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1．集合{}02A x x =≤≤，{}123B =-，

，，则A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足()i 2i z =-（i 是虚数单位），则复数z 的模z = ▲ ．

3．某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50～90km/h 的汽车中抽

取200辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70km/h 以下的汽车 有 ▲ 辆．

4．如图，若输入的x 为16，则相应输出的值y 为 ▲ ．

5．已知变量x ，y 满足条件10360x x y x y ??

-??+-?

≥，

≤，≤，则x y +的最大值是 ▲ ．

6．某校高三年级学生会主席团共有4名同学组成，其中有2名同学来自同一班级，另外两名同

学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则选出的两名同学来自不同班 级的概率为 ▲ ．

7．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 ▲ ．

8．双曲线()22

22100x y a b a b

-=>>，的一条渐近线方程是340x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．

9．在等差数列{}n a 中，若44a =，227196a a -=，则数列{}n a 前10项和10S 的值为 ▲ ． 10．将函数y ＝(

)πsin 23x +

的图象向右平移φ()

π

02

?<<个单位后，所得的函数图象关于原点成中 心对称，则φ＝ ▲ ．

速度（km/h ）

0.01

0.02 0.03 0.04 50 （第3题图）

11．已知函数()22210121ln x mx m x f x x m x x

?+--

=?->??，≤，，在区间()0+∞，

上有且 只有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 12．如图，已知点O 是平面四边形ABCD 的外接圆的圆心，AB ＝2，

BC ＝6，AD ＝CD ＝4，则BO CD ?u u u r u u u r

＝ ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，

若直线l ：310kx y k --+=上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是 ▲ ．

14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若22c ab kbc +≥，则实数k 的最大值是 ▲． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．

15．在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，且P A ＝PB ，PDC ∠为锐角．

（1）求证：BC ∥平面PDE ；

（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥PC ．

16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(

)

π3sin sin 34

B B +

=． （1）求B ∠；

（2）求sin A ＋sin C 的取值范围．

（第12题图）

（第15题图）

C

B

D

A

E

P

17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b

+=>>

，且点

2

，在 椭圆C 上．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 为椭圆上第一象限内的点，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点

为Q ，设PD PQ λ=u u u r u u u r

，直线AD 与椭圆C 的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，求实数λ的值．

18．一块圆柱形木料的底面半径为6cm ，高为16cm ．要将这块木料加工成一只笔筒，在木料一端

中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之 一．设小圆柱底面半径为r ，高为h ，要求笔筒底面的厚度超过1cm ． （1）求r 与h 的关系，并指出r 的取值范围；

（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其

中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a （元/cm 2），桶内侧面喷漆费用是2a （元/cm 2）， 而筒内底面铺贴金属薄片，其费用是7a （元/ cm 2）（其中a 为正常数）． ①将笔筒的后续加工费用y （元）表示为r 的函数；

②求出当r 取何值时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，并求出y 的最小值．

19．已知函数()()ln f x x x ax =-（a ∈R ）．

（1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；

（2）若函数()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围；

（3）设()()21g x ax a x a =--+，若对任意的()1x ∈+∞，，都有()()0f x g x +>，求整数．．a 的

最大值．

20．已知数列{a n }的首项10a ≠，其前n 项的和为S n ，且S n ＝3a n －2a 1对任意正整数n 都成立．

（1）求证：数列{a n }为等比数列； （2）若a 1＝

3

2，设()()

111n n n n a b a a +=--，求数列{b n }的前n 项的和为T n ； （3）若a 1，a k （3k ≥，k ∈N*）均为正整数，如果存在正整数q ，使得a 1≥1k q -，

a k ≤()

1

1k q -+，求证：a 1＝12k -．

（第21—A 题）

Ⅱ卷（理科附加）

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]

在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN =2AM ． 求证：AB 2=AC ．

B ．[选修4-2：矩阵与变换]

已知矩阵A ＝????302a ，A 的逆矩阵A －1＝?????

?

??3

1

0 b 1． （1）求a ，b 的值； （2）求A 的特征值．

C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为?

????x ＝3＋cos θ，

y ＝sin θ（θ为参数），以原点O 为

极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为

()πsin 6ρθ-= P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．

D ．[选修4-5：不等式选讲]

已知a ，b ，c

均为正数，证明：()

2

2

2

2

111

a b c a b c

+++++≥．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，11B C AC ⊥．

（1）求1AA 的长．

（2）若BP ＝1，求二面角1

P AC A --的余弦值．

23．某书店有不同类型的数学杂志n 种，数学教师张老师购买每种类型杂志的概率都是

1

2

，且任何 两种不同类型杂志其是否购买相互独立，设X 表示张老师购买的杂志种类数与没有购买的杂志 种类数的差的绝对值．

（1）当n ＝3时，求X 的概率分布及数学期望；

（2）当n ＝2k ＋1，*k ∈N 时，求X 的概率分布及数学期望．

（第22题图）

A 1

C

B 1

C 1

B

P A