初三数学圆经典例题

一．圆的定义及相关概念

【考点速览】

考点1：

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。

考点2：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

考点3：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）

弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点4：

三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5

点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ；

【典型例题】

例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？

例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm,

30=∠CEA ， 求CD 的长．

例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．

A

B D

C

O

· E

M

A

B

C

D

O

E

B

A

C

A

C

B

D

例7.如图，已知在ABC ?中，?=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．

例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。

.思考题

如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.

二．垂径定理及其推论

【考点速览】 考点1

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：

①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．

C

B

D

A

·

A

B D

C

E

P F

O

③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为：

① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对

的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点

【典型例题】

例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠． 求证：AB=CD ．

例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。求证：CE=DF ．

l

?

问题一图1

O

H

F

E D C

B

A l

?

问题一图2

O H F E D

C B

A

l

?

问题一图3

O

H F

E D C B

A

例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F 。 （1）求证：AE ＝BF

（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证

A

B

D

C O

· N

M

明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。

例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成0

45角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：2

2

PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

例5.如图所示，在⊙O 中，弦AB ⊥AC ，弦BD ⊥BA ，AC 、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.

例6.（思考题）如图，1o Θ与2o Θ交于点A ，B ，过A 的直线分别交1o Θ，2o Θ于M,N ，

·O

A B

D

C E

F M

N

A

B

C D

P

O

。

C 为MN 的中点，P 为21O O 的中点，求证：PA=PC.

三．圆周角与圆心角

【考点速览】 考点1

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．

Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由

考点2

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg: 如下三图，请证明。

13.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．

（1）求证：DB平分∠ADC；

（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．

14.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO=∠BCD．

（2）若E B=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

E

D

B

A

O

C

15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。 （1）求证：AC ＝AE ；

（2）求△ACD 外接圆的半径。

16.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ?

上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．

（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理

【考点速览】

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

A

C

B

D

E

A O

C

D

P B

图① A O

C D

P B

图②

推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

（务必注意前提为：在同圆或等圆中）

例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．

例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。 求证：PA=PC 。

A B

E

F O P

C

12

D

例3．如图所示，在ABC ?中，∠A=?72，⊙O 截ABC ?的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.

例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．

例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=?120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：ODE ?是等边三角形．

例6.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。 （1）试说明△ODE 的形状；

·O

A

B

C

O ·

C

A

E B

D

·

O A D

E B

C

A

B

C

O

D

E

（2）如图2，若∠A=60o，AB ≠AC ，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。

例7弦DF ∥AC ，EF 的延长线交BC 的延长线于点G. （1）求证：△BEF 是等边三角形； （2）BA=4，CG=2，求BF 的长.

例8已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。求证：AE=BF=CD 。

六．会用切线，能证切线

考点速览： 考点1

直线与圆的位置关系

A

B

C

O

D

E

· A

O B

E D

C

G

F

图形 公共点个数 d 与r 的关系 直线与圆的位置关系

d >r 相离

1

d =r 相切

2

d

考点2

切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

符号语言

∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径

∴ l 为⊙O 的切线

考点3

判断直线是圆的切线的方法：

①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。

②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 ③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点4

切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）

1、如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与

AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB=∠DCE ．

(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若AB=3,BC=4,DE=DC ，求⊙O 的半径．

l

A O

2.如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半

圆O 于点E ，交AC 于点C ，使BED C ∠=∠．

（1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；

3.如图，已知R t △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB

为直径作O ，交斜边AC 于点D ，连结BD ．

（1）取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切． （2）在（1）的条件下，若AB ＝3，AC ＝5，求DE 的长；

4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线

交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线；

A

C

B D

E

O · F E O

D C

B

A C

A O

B

E D

（2）求证：BC=21

AB ；

5.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；

（2）当∠BAC =120°时，求∠EFG 的度数

6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，

（1）若∠AED ＝45o．试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．

（2）若∠AED=60o,AD=4，求⊙O 半径。

7.在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3cm ，BC =4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .

（1）求线段AD 的长度；

A

B C

D

E

O

B A C

D E G O

F

F A D E

B C O ·

（2）点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由.

8.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，D 是AB ⌒ 的中点，过点D 作

直线BC 的垂线，分别交CB 、CA 的延长线E 、F （1）求证：EF ⊙是O 的切线；

（2）若AB ＝8，EB ＝2，求⊙O 的半径．

如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥

AB ，PO 过

AC 的中点M ，求证：

PC 是⊙O 的切线。

O

D C

B

A

20. 已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．

（1）求证：AD＝DC；

（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，

求⊙O的半径．

A B

C D

E F O F O E D C

B

A （20题图）

20．在Rt △AFD 中，∠F =90°，点B 、C 分别在AD 、FD 上，以AB 为直径的半圆O 过点C ，联

结AC ，将△AFC 沿AC 翻折得△AEC ，且点E 恰好落在直径AB 上.

（1）判断：直线FC 与半圆O 的位置关系是_______________；并证明你的结论.

（2）若OB =BD =2,求CE 的长．

20．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC =∠ODB ．

（1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．

20．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ， 联结EB 交OD 于点F ．

（1）求证：OD ⊥BE ；

（2）若DE=5，AB=5，求AE 的长．

N M

O

F E

C

B A

20. 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=?，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于

点N,交BC 的延长线于点E,直线CF 交EN 于点F,且.ECF E ∠=∠

（1）证明CF 是O 的切线

(2) 设⊙O 的半径为1．且AC=CE,求MO 的长.

21.如图，AB BC CD 分别与圆O 切于E F G 且AB//CD ，连接OB OC ，延长CO 交圆O 于点

M ，过点M 作MN//OB 交CD 于N 求证 MN 是圆O 切线

当OB=6cm ，OC=8cm 时，求圆O 的半径及MN 的长

七．切线长定理

考点速览： 考点1

切线长概念：

经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长和切线的区别

切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 考点2 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，

①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 考点3 两个结论：

圆的外切四边形对边和相等；

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 经典例题：

例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ?的周长为24㎝， 求：①⊙O 的半径；②若40APB ∠=?，EOD ∠的度数．

例2 如图，⊙O 分别切ABC ?的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=?，求内切圆半径r ．

· A

O

C

D

B

P

A

· E P

D

B

C

O

· F

D

O

A

· D

A

例3．如图，一圆内切四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？

例4 如图甲，直线34

3

+-

=x y 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C ()n m ,是第二象限内任意一点，以点C 为圆心与圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F.

（1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；

（2）如图乙，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； （3）求m 与n 之间的函数关系式；

（4）在⊙C 的移动过程中，能否使OEF ?是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？