山东省齐河县第一中学2019_2020讲评用高三数学自主招生讲义(无答案)

第一讲：集合、函数、导数、不等式

知识梳理

1.元素与集合，集合与集合之间的关系

2.重视数形结合对解决问题的优势

3.重视应用集合元素间的对应关系解决问题的方法 先从一道北大自招题谈起:

方程333()333

x x x x

x +++=的所有实根的平方和等于( ) A.0 B.2 C.4 D.前三个答案都不对 例1.设集合}.))(({},)({x x f f x N x x f x M ====

(1)求证:N M ?;

(2)若)(x f 是一个在R 上单调递增函数,是否有?N M =若有,请证明.

例2.已知函数2()(0),f x ax bx c a =++≠且()f x x =没有实数根,那么 (())f f x x =是否有实数根?证明你的结论.

例3．设Q 是有理数集，集合},0,,,2{≠∈+==x Q b a b a x x A 在下列集合中，

①

},2{A x x ∈②},22

{

A x x ∈③},1{A x x

∈④},{2A x x ∈和A 相等的集合有 个. 例 4.,

},221),{(},5

4

)2()1(),{(22B A a y x y x B y x y x A ?≤-+-=≤-+-=则a 的取值范围是.________

例5.()f x 的反函数是1(),()f x g x -的反函数为1().g x - （1）求证：(())f g x 的反函数为11(());g f x --

（2）1()(),()(),F x f x G x f x -=-=-若()F x 是()G x 的反函数，求证()f x 是奇函数.

知识梳理

1.函数的性质是重点：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性

2.重视处理抽象函数问题的一般方法

3.重视利用导数研究函数的一般方法

4.重视利用函数思想解决方程、不等式问题的方法 例6.对于定义域为R 的函数()f x ，给出下列命题： ①若函数()f x 满足条件(1)(1)2f x f x -+-=，则函数()f x 的图象关于点（0，1）对称；

②若函数()f x 满足条件(1)(1)f x f x -=-，则函数()f x 的图象关于y 轴对称； ③在同一坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-其图象关于直线1x =对称； ④在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-其图象关于y 轴对称. 其中，真命题的个数是 （ ）

A ．1 B. 2 C. 3 D. 4

例7.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )

(A)()f x 是偶函数 (B)()f x 是奇函数 (C)()(2)f x f x =+ (D)(3)f x +是奇函数

例8．已知函数()()()

22

sin 122

x

f x x x x π=+-+. （1）那么方程()0f x =在区间[100,100]-上的根的个数是__________． （2）对于下列命题：

①函数()f x 是周期函数；

②函数()f x 既有最大值又有最小值；

③函数()f x 的定义域是R ，且其图象有对称轴； ④函数()f x 在)0,1(-∈x 上单调递减.

其中真命题的序号是 ．（填写出所有真命题的序号）

例9.将{1,2,,100}分为三组,各组之和分别是102、203、304的倍数，共有多少种分法？

例10.实数,,x y z 满足11112016,

,2016

x y z x y z ++=++= 求(2016)(2016)(2016)x y z ---的值.

例11.实数,,a b c 满足33323,2(),a b c abc a b c --==+这样的a 有 个.

例12.若方程21x ax b ++=有两个不同的非零整数根,则22a b +可能为( ) A.素数 B.2的非负整数次幂 C.3的非负整数次幂 D.前三个答案都不对 例

13．设正实数,,a b c

满足222222

3,

4,7,

a b a c ac b c ?+=?++=?

?+=?求,,a b c 的值.

例14.若存在,M 使任意D D t (∈为函数)(x f 的定义域），都有,)(M x f ≤则称函

数)(x f 有界。问函数x x x f 1sin 1)(=在)2

1

,0(∈x 上是否有界？

例15.已知,,133221133221321321b b b b b b a a a a a a b b b a a a ++=++++=++若已知

},,,m in{},,m in{321321b b b a a a ≤求证：}.,,m ax {},,m ax {321321b b b a a a ≤

例16.是否存在实数,x 使3tan +x 与3cot +x 为有理数。

例17.实函数(),()f x g x 都是二次函数,3()()0,()()0f x g x f x g x +=-=两个方程都只有一对重根,已知()0f x =有两个不等实根,证明:()0g x =没有实根.

例18．已知函数,1

)(2bx

ax x f +=

其中a 是非零实数, .0>b (1)求)(x f 的单调区间;

(2)若,0>a 设,3,2,1,1

=>i a

x i 且.0,0,0133221>+>+>+x x x x x x 求证: ;2)()()(321b

a

x f x f x f >++ (3)若)(x f 有极小值,m i n

f 且.2)1(min ==f f 求证:

).(,22)()(*∈-≥-N n x f x f n n n

例19．已知函数.0)1(,ln 2)(=--=f x x

b

ax x f （1）若函数)(x f 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；

（2）若函数)(x f 的图像在1=x 处的切线的斜率为0，且

,1)1

1

(2'1+-+-=+n n a f a n n 已知,41=a 求证：;22+≥n a n

（3）在（2）的条件下，试比较n a a a a ++++++++11111111321 与5

2

的大小，并说明你的理由.

第二讲：三角函数与平面向量

知识梳理

1.三角恒等变换(和差化积与积化和差公式)

2.平面向量的两面性（代数与几何）

3.重视向量与三角函数、解析几何的结合

例1．设点O 在ABC Δ的内部，且有,32=++则ABC Δ的面积与AOC Δ的面积的比为.________

例 2.向量OA 与OB 已知夹角

t t )1(,,12-====在0t 时取得最小值.当5

1

00<

例3．

已知向量,1=≠对任意,R t ∈

恒有e t a -≥-则（ ） (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a

－e )

例4.若22

2cos cos 3A B

A B π

+=

+，则

的最小值和最大值分别为 ( ) 3131A1B ,C1D ,12222 -+ +

例5.已知向量3131

(0,1),(,),(,),(1,1)22

a b c xa yb zc ==--=-++=， 则222x y z ++ 的最小值为 .

例6.已知三角形ABC 的外心为,3,4,2,O AB BC CA ===

则_____.OA AB OB BC OC CA ?+?+?=

例7.经过OAB ?重心G 的直线l 与,OA OB 分别交于点P ，G ?， 设,OP mOA OQ nOB ==，,m n R ∈，求

11

n m

+的值.

例8.已知平面向量,,a b c 满足3,2,a b c a =+=且,b b c =-若对,b ?记()b ta t R -∈的最小值为min ,d 则

当b 变化时，min d 的最大值为_______.

例9.已知实数2121,,,y y x x 满足: ,2

1

,1,121212

22

22

12

1=

+=+=+y y x x y x y x 则21

2

1

2211-++

-+y x y x 的最大值为_______.

例10.求值:35(1cos )(1cos )(1cos ).777

πππ

+++

练习:求值:3(1cos

)(1cos

).5

5π

π++

例11.满足sin cos tan A B C ==的互不相似的ABC ?一共有( )

个 A.0 B.1 C.2 D.以上答案均不正确

例12.已知222222

tan tan sin sin ,1tan tan αβ

αβαβ

+=+++那么sin sin αβ的最大值是( ) C. 1

2

D.以上答案均不正确 例13.设sin14cos14,sin16cos16,a b c =?+?=?+?=则,,a b c 的大小关系

是( )

A.

b c a >> B.

b a

c >> C. c b a >> D.以上答案均不正确 例14.在三角形ABC 中,已知44

sin ,cos ,513

A B =

=则ABC ?为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D. 以上答案均不正确 例15.在ABC ?中,求cos A B C ++的最大值.

例16.求值:9tan102tan 204tan 40tan80.?+?+

?-?

例17.在三角形ABC 中,已知sin 2sin 24sin sin ,A B A B +=,则三角形ABC 的形状为( )

A.等腰三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.无法确定 例18.设锐角,αβ满足22sin sin sin(),αβαβ+=+求αβ+

例19.求值:210cos

cos

cos

.11

11

11

π

ππ

例20.求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a .

例21.设,24π

α=

则sin sin sin sin (

)cos 4cos3cos3cos 2cos 2cos cos αααα

ααααα

αα

+++=

1A C D 2 例22.已知ABC ?不是直角三角形

（1）证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++；

（2）若A

C B C tan tan tan 1tan 3+=-，且

112,sin 2sin 2sin 2A C B +=求2

cos

C

A -的值.

例23.已知,2sin )(2sin βγαn =+则._______)

tan()

tan(=+-++γβαγβα

例24.若),10cos()10cos()20sin(?-+?+=?+x x x 求x tan .

例25.求?

+?10cot 1

50sec

的值.

例

26. 函数()f x =_________.

例27.数列{}n a 满足2121,1,n n N a a a +=-=其中{2,3,4,}.N ∈

（1）求证:1 1.

a ≤

（2）求证:12

cos ().2N k a k Z π

-=∈

例28.设函数),(13)(3R x x ax x f ∈+-=若对于任意],1,1[-∈x 都有0)(≥x f 成立,则实数a 的值为.________

练习:1、下列计算正确的是( )

tan1tan 61tan121A.

3tan1tan 61tan121?+?+?=??? tan1tan 61tan121B.3tan1tan 61tan121?+?+?

=-???

C.tan1tan61+tan1tan121+tan61tan121=3??????

D.tan1tan61+tan1tan121+tan61tan121=-3?????? 2、下列能构成唯一ABC ?的是( )

.1,2,A

a b c Z ==∈ .150,sin sin sin sin B A a A c C C b B =?++=

.cos sin cos()cos sin 0,60C A B B C B C

C ++==?

.1,60D a b A ===?

例29.求整系数多项式()f x 使(sin10)0.f ?=

例30.设函数2sin (),1

x

f x x x π=-+则( )

A.4

()3

f x ≤ B.()5f x x ≤

C.曲线()y f x =存在对称轴

D. 曲线()y f x =存在对称中心

例31. ABC ?的三边分别为,,,a b c 若ABC ?为锐角三角形,则( )

A.sin cos A B >

B. tan cot A B >

C.222a b c +>

D. 333a b c +> 例

32.已知a 、b 为整数,csc50.a b =+?试求a 、b 的所有可能值.

例33.在ABC ?中，AD AC AB ,2=是A ∠的角平分线，且.kAC AD = （1） 求k 的取值范围；

（2） 若,1=?ABC S 问k 为何值时，BC 最短？