《数学广角──鸽巢问题》教学反思

《数学广角──鸽巢问题》教学反思

本节课是数学广角内容，“抽屉原理”实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，体现了一种数学的思想方法。让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，是课标的重要要求。

一、教材例题分析

例1：本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。

例2：本例描述“抽屉原理”更为一般的形式，即“把多于（是正整数）个物体任意分放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体”。教材首先探究把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。当数据变得越来越大时，如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有困难的。这时需要学生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放6本书，可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里即可，总有一个抽屉里至少放进3本书。通过这样的方式，实际上学生是在经历“反证法”的这样一个过程。在具体编排这道例题的时候，在数据上进行了一个很细微的调整。在过去，由于数据的问题，学生会得到不太正确的推论，比如说如果是两个抽屉的话，最后得到的余数总是1，那么学生很容易得到一个错误的结论：总有一个抽屉里放进“商+余数”本书（因为余数正好是1）。而实际上，这里的结论应该是“商+1”本书，所以教材在这里呈现了8除以3余2的情况，这时候余数是2，可是最后的结论还是“把8本书放进 3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书”。通过这样的数据方面的调整，可以让学生得到一个更加正确的推论。

例3：跟之前教材的编排是一样的，是抽屉原理的一个逆向的应用。要解决这个问题，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一个抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化为“抽屉问题”。教材通过学生的对话，指出了可以通过先猜测再验证的方法来解决问题，也反映了学生在解决这个问题时可能会遇到的困难。很多学生误以为要摸5次才可以摸出球，这可以让学生通过实验来验证。

二、教学反思

1、确立教学目标和重难点

经过教材分析我确立了教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。并注重在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展学生合情推理能力，培养学生能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果，经历与他人合作交流解决问题的过程。

2、从学生喜欢的“魔术”入手，设置悬念，激发学生学习的兴趣和求知欲望，从而提出需要研究的数学问题。

3、在直观操作中理解“抽屉原理”的有关概念，初步了解“抽屉原理”的结构特征。

在教学例1时，我通过直观地摆铅笔的经历，学生发现“把4支铅笔放进3个笔筒中”一共只有四种情况。同时我鼓励没有学具的学生通过画图直观的表达自己摆的结果，培养学生用简洁的图示表达思路的能力，并找一名学生板书，结合摆、图、数字化的表达共同展示结果。

在对“至少”的理解中，我做了以下尝试：在“最多中找最少”。在呈现四种结果的基础上，我提问：看来，不管怎么放，总有一个铅笔盒放的枝数是最多的，同学们能找出来吗？（第一种摆法中，总有一个笔筒要放进4枝铅笔。第二种摆法中，总有一个笔筒要放进3枝铅笔。……）

师：4枝铅笔放进3个铅笔盒中，不管怎么摆总有一个铅笔盒放的枝数是最多的，可能是2枝、3枝、4枝。这句话还可以怎么说？（还可以说：总有一个铅笔盒中至少放进2枝铅笔。）

师：总有是什么意思？至少是什么意思？

4、引导学生在经历猜测、尝试、验证的过程中逐步从直观走向抽象。

本单元的学习，教学的目的不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性。这实质上是一种数学证明的思想的渗透教学。因此，教学时应让学生经历猜测、尝试、验证的探究过程，并在此过程中引导学生逐步从直观走向抽象。在例1中针对实验的所有结果，在学生总结表征的基础上，进而提出“你还可以怎样想？”的问题，组织学生展开讨论交流。我引导学生借助平均分即每个笔筒里先只放1支，这时学生看到还剩下1支铅笔，这1支铅笔不管放入其中的哪一个笔筒，这个笔筒都会有2支铅笔。进一步引导学生加深对“至少有一个笔筒中有2支铅笔”的理解。最后，组织学生进一步借助直观操作，讨论诸如“5支铅笔放进4个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒中至少有2支铅笔，为什么？”的问题，并不断改变数据（铅笔数比笔筒数多1），让学生继续思考，引导学生归纳得出一般性的结论：（+1）支铅笔放进个笔筒里，总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。

5、不足：

（1）本节课虽然重视了学生的直观操作，但是结合操作让学生表达自己的证明过程还不足，应该有意识的让学生多表达结论推理的过程，培养学生证明思想及清晰的表达自己思路的能力。这一点本节课做的不够充分。

（2）课后反思自己的教学过程，觉得可以在例1教学时，可以补充：“把5支铅笔放到3个铅笔盒里呢？8枝呢？”这样引导学生从平均分角度思考：“余下的2枝怎样放”，体会到余下的2枝也再平均分到2个盒子里，才能得到“总有一个盒子里至少放几枝”的结论，避免学生出现用“商+余数”的错误理解。这样一节课就一气呵成了，对于教材中的例2也理解了。