概率论与数理统计1卷

一、单选题

1、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是( D )

A.A与B独立

B.A与B独立

C.()()()

P AB P A P B

= D.A与B一定互斥

2、设随机变量~(,)

X B n p，且() 2.4,() 1.44

E X D X

==，则参数,n p的值分别为( B )

A．4和0.6 B．6和0.4 C．8和0.3 D．3和0.8

3、设

12

,

X X是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。

A．

12

11

22

X X

m=+ B．

12

12

33

X X

m=+ C．

12

13

44

X X

m=+ D．

12

23

55

X X

m=+

4、若随机变量X和Y相互独立，则下列等式不一定成立是（ C ）

A.()()()

E XY E X E Y

= B.cov(,)0

X Y=

C.()()()

D XY D X D Y

= D.()()()

D X Y D X D Y

+=+

5、 55、设()x

F标准正态分布函数，

1,A

i

X

ì?

=í

??

事件发生

，否则

，1, 2,, 100

i

=，()0.8

P A=

且相

12100

X X X

，，，独立。令

100

1

i

i

Y X

=

=?则由中心极限定理知Y的分布函数()

F y近似于( B )

A.()y

F B．

80

(

4

y-

F C．(1680)

y

F+D．(480)

y

F+

二、填空题）

1、设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件：A、B、

C中恰有一个发生C

B

A

C

B

A

C

B

A

2、设A、B是随机事件()

,0.5

B A P A

?,()0.4

P B=,则()

P A B

-=0.1

3、已知连续型随机变量X的概率密度为

,0

()1/4,02

0,2

x

Ae x

f x x

x

ì<

??

=?

í

?

3

??

，则A= 0.5 ，

{0.51}

P X

-<<=0.5

31

42

e-

-

4、随机变量()

2,4

X N

-,()

3,9

Y N

,且X与Y相互独立.设25

Z X Y

=-+,则Z

服从()

2,25

N-分布

5、设随机变量(24)

X N

，，且(1.65)0.95

F=。求( 5.3)

P X3= 0.05

6、设离散型随机变量X的分布列：则其数学期望()

E X= 1.75

7、设)

,

,

,

(

2

1n

X

X

X 是总体X~)

,

(2

σ

μ

N的样本，则

()2

1

2

n

i

i

X X

s

=

-

?

服从()

21

n

c-分布

8、设)

,

,

,

(

2

1n

X

X

X 是总体X~)

,

(2

σ

μ

N的样本，则T()1-n t分布

9、设总体服从)

,

(2

σ

μ

N，当2

σ未知时，检验假设

00

:

H m m

=

X

三、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品

率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是

次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是

多少？（8分）

解：设

1

A，

2

A，

3

A表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品，则事件B的概率为

112233

()()(|)()(|)()(|)

P B P A P B A P A P B A P A P B A

=++

0.250.030.350.020.40.010.0185?=???………（5分）

222()(|)0.350.02

(|) = 0.38 ()0.0185

P A P B A P A B P B ′=

?………（8分）

因此，这件产品是次品的概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。 四、设随机变量X 服从标准正态分布)1,0(N ,求随机变量2

21Y X =+的概率密度函数()Y f y .(9分)

解：

X 的概率密度是2

2

(),x f x x --?<+?

设Y 的分布函数是()

Y F y ， 则

(){}{}221Y F y P Y y P X y =?+?

=P X -………（3分） 当1y <时：()

0Y F y =

当1y

3

时：()Y F y P X =-=F -F ………（6分）

故Y 的概率密度函数()

Y f y 是： 当1y <时：()

()0Y Y f y F y ￠==

当1y 3时，

(

)()Y Y f y F y ⅱ?==F -F

-

14y --￠

14y --……（9分） ）

六、设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16

的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. 求μ的置信度为0.95的置 信区间（0.050.050.0250.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,(16) 2.120t t t t ====）（7分） 解：μ的置信度为1a -下的置信区间为

/2/2(((X t n X t n a a --+-………（4分） 0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t a =====

所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）………（7分） 七、设总体(

)

2

,X N m s

， 12,,...,n x x x 为总体X 样本的一组观察值，求2

,m s

的极大似然估计值。（8分） 解：总体X 的概率密度为：(

)

()2

2

2

2;,x f x m s

m s --=

似然函数为：

()()

()

()2

2

21

12

2222

2

121

(,,...,,)2n

i i

i x n n

n

x n i L x x x e

m m s

s

m s

p s =--

----=?==?

;…（3分）

()()22

21

1()ln 2ln 222n i i n n Ln L x p s m s ==----?………（5分）

()

()21

2

22221()10()1022n i i n i i Ln L x n Ln L n x m q s m s s s ==ì骣??=-=琪琪??桫í??=-+-=???

??………（7分） 解得2

,m s 极大似然估计值为： 11n i i u x x n ===? ，(221

1n i i x x n s ù

==-? ………（8分）

八、要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为970小时，已知这种元件寿命服从标准差为100s =小

时的正态分布。试在显著水平0.05a =下确定这批元件是否合格？（6451050.z .=,9610250.z .=).（10分） 解：按题意需假设: 0010:1120;:H H m m m m ?<,………（2分）

选择统计量Z =

拒绝域为z z a <-………（7分）

已知0.0525,0.05, 1.645,950n z x a ====，

0.051.5 1.645x z =->-=，

不在拒绝域中，所以接受0H ，即认为这批元件合格。………（10分）