高等数学下期末试题(七套附答案)

高等数学（下）试卷一

一、 填空题（每空3分，共15分）

（1

）函数

z =的定义域为 （2）已知函数

arctan

y z x =，则z

x ?=

?

2

220

(,)y y dy f x y dx

??

=

)dv x

ce

1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：

21211x y z

+-==的平面方程 2、 已知22

(,)z f xy x y =，求z

x ??， z y ??

3、 设

22

{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求

2D

x dxdy ??

4、 求函数22

(,)(2)x f x y e x y y =++的极值

5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-?， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-??=-?从点

(0,0)O 到(,2)A π的一段弧

6、求微分方程 x

xy y xe '+=满足 1

1x y ==的特解

四.解答题（共22分）

1

26'）

，则

?

（1）设直线L 为0x y z --=?，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；

A. 0

B. 2π

C. 3π

D. 4π

（2）设(,)z f x y =是由方程33

3z xyz a -=确定，则z x ?=?（ ）；

A. 2yz xy z -

B. 2yz z xy -

C. 2xz xy z -

D. 2

xy z xy -

（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *

=（ ）；

A.2()x

ax b e + B.2()x

ax b xe + C.2()x

ax b ce ++ D.2()x

ax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2

2

2

2

x y z a ++=所围成的闭区域, 将

dv

Ω

???在球面坐标系下化成

三次积分为（ ）； A

22

2

sin a

d d r dr

π

πθ???

?? B.

220

a

d d rdr

π

πθ??

??

C.

20

a

d d rdr

ππθ??

?? D.

220

sin a d d r dr

π

π

θ???

??

21n

n ∞

-

2、(12)'利用高斯公式计算

2xdydz ydzdx zdxdy

∑

++??，∑为抛物面

22z x y =+(01)z ≤≤的下侧

高等数学（下）模拟试卷三

一． 填空题（每空3分，共15分）

1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .

2、

2

2

(2)

lim

332

n

n

n n

→∞

+

+-= .

3、已知

2

ln(1)

y x

=+，在1

x=处的微分dy= .

4、定积分

120062

1

(sin)

x x x dx

-

+=

?

.

5、求由方程

57

230

y y x x

+--=所确定的隐函数的导数

dy

dx

=

.

二．选择题（每空3分，共15分）

2

四．计算题（4小题，每题6分，共24分）

1、已知

2

2

1

t

x

y t

?

=

?

?

?=-

?，求

2

2

d y

dx

2、计算积分

2cos

x xdx ?

3、计算积分

1

arctan xdx ?

4

、计算积分

?

五．觧答题（3小题，共28分）

1、(8)'求函数4

2

341y x x =-+的凹凸区间及拐点。

2、(8)'设1

1

01()10

1x x x

f x x e +?≥??+=?

?

(1)f x dx -? 3、（1）求由2y x =及2

y x =所围图形的面积；(6)'

（2）求所围图形绕x 轴旋转一周所得的体积。(6)'

高等数学（下）模拟试卷四

一． 填空题（每空3分，共15分）

1、

函数1

y x =的定义域为 .

2、

,0

ax e dx a +∞->?

= .

3、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy = .

4、定积分1

2

1sin 1x

dx x -+?= .

5、函数

43

341y x x =-+的凸区间是 . 二．选择题（每空3分，共15分）

1、1x =是函数

211x y x -=

-的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃

（C ）无穷 （D ）振荡

232、计算积分arcsin xdx ?

3、计算积分

0π

?

4、计算积分

,0

a >?

五．觧答题（3小题，共28分）

1、(8)'已知2223131at x t at

y t ?=??+??=?

+?，求在2t =处的切线方程和法线方程。 2、(8)'求证当0a b >>时，

1ln ln 1a b a a b b -<<

- 3、（1）求由3

y x =及0,2y x ==所围图形的面积；(6)'

（2）求所围图形绕y 轴旋转一周所得的体积。(6)'

1234

5671．函数()y x f z ,=在点()00,y x 的全微分存在是()y x f ,在该点连续的（ ）条件。

A ．充分非必要

B ．必要非充分

C ．充分必要

D ．既非充分，也非必要

2．平面012:1=+++z y x π与022:2=+-+z y x π的夹角为（ ）。 A ．6π B ．4π C ．2π D ．3π

3．幂级数∑∞

=-1)5(n n n

x 的收敛域为（ ）。

A ．[)6,4

B ．()6,4

C ．(]6,4

D ．[]6,4

4．设)(),(21x y x y 是微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两特解且≠)()

(21x y x y 常数，则下

列（ ）是其通解（21,c c 为任意常数）。

A ．)()(211x y x y c y +=

B ．)()(221x y c x y y +=

C ．)()(21x y x y y +=

D ．)()(2211x y c x y c y +=

5．???Ωzdv 在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为3,0,3,0x x y y ====，

D 1231D ：

2

12、求方程x

e y dx dy

-=+满足20==x y 的特解。 3、求方程282x

y y y e '''+-=的通解。

高等数学（下）模拟试卷六

一、填空题：（每题3分,共21分.）

1．函数arccos()z y x =-的定义域为 。

2．已知函数ln()z xy =，则

()

2,1z

x ?=? 。

3．已知

()

22sin z x y =+，则=dz 。

4

1y x =+(1,0)-()1,02L

ds =

?5671234

程

y ''A ． B ． C ． D ．

5．

2

z dv Ω

???在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为2222

x y z R ++≤的上半

球体。

A ．

22

00

R R

d rdr z dz

πθ??? B ．

2200

R r

d rdr z dz

πθ???

C ．

22

R

d dr dz

πθ?? D ．

220

R

d rdr dz

πθ??

三、计算下列各题（共18分，每题6分）

1、已知3

35z xyz -=，求

y z x z ????, 2、求过点(1,0,2)且平行于平面235x y z ++=的平面方程。

3、计算

2

2()D

x

y dxdy

+??，其中D 为y x =、0y =及1x =所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

1、计算曲线积分2()(sin )L x y dx x y dy --+?，其中L 为圆周22x x y -=上点)0,0(到

)1,1(的一段弧。

2

3 123

5．设x z arctan

=，则x =?______________________

6．微分方程250y y y '''-+=的通解为

7．若区域{}

4|),(2

2≤+=y x y x D ，则??=D dxdy 2 8．级数012n

n ∞

=∑的和s=

二．选择题：（每题3分，共15分）

1．()y x f ,在点()b a ,处两个偏导数存在是()y x f ,在点()b a ,处连续的 条件 （A ）充分而非必要 （B ）必要而非充分

（C ）充分必要 （D ）既非充分也非必要 2

．累次积分

100

(,)dx f x y dy

??

改变积分次序为

(A) 11

(,)dy f x y dx

?

? （B

）

10

0(,)dy f x y dx

?

?

21y 11

.

3.求函数

32

(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值. 4.求幂级数21

4n n

n x n ∞

=?∑的收敛域.

高等数学（下）模拟试卷一参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、 {(,)|0,0}x y x y x y +>->

2、22y

x y -

+ 3

、4102(,)x dx f x y dy ?

4

5、312x x

y C e C e -=+

二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C 2.D 3.C 4A 5.D

三、计算题（每题8分，共48分）

1、解： 12(1,2,3)

{1,0,1}{2,1,1}A s s →→

=-= 2'

2 3

422x e = 6Q 8'

5

1

2

?

2

2220

3sin ()27

y xdx e dy e πππ=+-=-+?? 8'

6．解：

11

,x x y y e P Q e x x '+

=?== 2'

∴通解为

11

()()[()][]

dx dx P x dx

P x dx

x x

x y e Q x e dx C e e e dx C -

-???

?

=+=+?? 4'

11

[][(1)]

x x e xdx C x e C x x =?+=-+? 6'

代入11x y ==，得1C =，∴特解为1[(1)1]x y x e x =-+ 8'

四、解答题

1、解：

2

2(22)xzdydz yzdzdx z dxdy z z z dv zdv

∑

Ω

Ω

+-=+-=????????ò 4'

3cos sin r drd d ??θ?

Ω

=??? 6'

方法一：

原式＝234

cos sin 2d d dr π

ππ

θ???=

?

??

10'

24'

（0

x ?

∴

1. 2. 3. 4. 5. 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解： 12(0,2,4)

{1,0,2}{0,1,3}A n n →→

==- 2'

121

223013

i

j k

s n n i j k

→

→

→

→

→

→

→→→

=?==-++- 6'

∴直线方程为

24231x y z --==- 8' 2、解： 令sin cos x y

u x y v e +== 2'

12cos cos x y

z z u z v f x y f e x u x v x +?????''=?+?=?+?????? 6'

12(sin sin )x y z z u z v f x y f e y u y v y +?????''=?+?=?-+?????? 8'

3、解：

:001

4

D r π

θ≤≤

≤≤， 3'

4A Q

5

? 6∴4'

1、解：（1）令

1

2sin 3n

n n π∞=∴∑收敛， 11(1)2sin 3n n n

n π∞

-=∴-∑绝对收敛 6' （2）令

1()n n x s x n ∞

==∑

111

1

()1n n n n x s x x n x ∞

∞-=='??'===

?-??∑∑， 2' 0

()()(0)ln(1)

x

s x s x dx s x '?=+=--? 4'

2、解：构造曲面

1:1,z ∑=上侧

1

22xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy

∑

∑+++++???? 2'

221

1

0(211)44r dv dv d rdr dz πθ

=++==???????

??128(1)2r rdr ππ

=-= ∴=

3.

lnsin lnsin 422211111cos cot

1sin x x dy e e dx x x x x

x '

'

??=-=- ?

??

四．计算题：

1.

2130

0;0,0;

0y x y x dy y e y y xy x y dx

e x

'''

==''--=====-；

2.原式

222sin sin (1)

xarc x xarc x x ''

=-=+-??

2sin xarc x c

'

=

3. 原式33323122

2

2

2

4(sin )cos (sin )sin (sin )sin 5x x dx x d x x d x ππ

π

π'

''==-=

???

4.

原式223210

'

'

'

?===?。

五．解答题: 1

．

y '

'12.

21b

'

设3.

1. C ；

2. D ；

3. B ；

4. B ；

5. C 。

三．1.

23

332

5322(2)333111222lim lim 111111222x x

x x x x x x e x x x ?'

'

-?-→∞→∞??????+++ ? ? ???=== ? ??? ? ?

--- ???

????

g

2.

2

2222

2

00

2sin 1cos 12

lim

lim

336

x x x

x x x

'

'

'

→→-===

3.

33 1

(sin)cot cos

x x x x

x

dy

e e e e dx e

'' =?-?=-

四．

1.

2

22

2

32

2

1

1

,

d y t

y t

t dx t

'

'

'

-

'=-==

；

2.

4 2222

sin sin sin2sin2cos2sin x d x x x x xdx x x x x x c'

'

==-?=+-+??

2.

((2) f'

（2）、

4422 0

2510

x

V x x dx

πππ

''' =-=-=

?

??

?

高等数学（下）模拟试卷五参考答案

一、填空题：（每空3分，共21分）

1、

{}0,),(≠>y y x y x ， 2

、

dy ye dx xe y x y x 2

22222+++，3、0,4、2π，

5、?

?e e y

dx

y x f dy ),(1

，6、条件收敛，7、c x y +-=cos （c 为?常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A ，2、D ，3、A ，4、D ，5、B

三、解：1、令

xy e z z y x F z

-+=ln ),,(1'ΛΛΛ z

x yz F z =-=?

(P 因3n 4'ΛΛΛ 故原级数收敛 6'ΛΛΛ

五、解：1、由

033),(2

=-=x y x f x ，03),(=-=y y x f y 得驻点)3,1(),3,1(- 2'ΛΛΛ

在)3,1(处 1

)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-======yy xy xx f C f B f A

因,02

<-B AC ，所以在此处无极值 5'ΛΛΛ 在)3,1(-处

1

)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-=-==-=-=-=yy xy xx f C f B f A

因0,02

<>-A B AC ，所以有极大值

215

)3,1(=

-f 8'ΛΛΛ

2、通解

?

+?=--?dx

dx

x e c dx e e y 1][ 3'ΛΛΛ

x

x ce xe --+= 6'ΛΛΛ

2

===c y

x

特解为x

e

x y -+=)2( 8'ΛΛΛ

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 0822=-+r r

'

)3

1, 4

xy z yz F F x z z x -=-=??2 4'ΛΛΛ

xy z xz F F y

z z y -=-=??2

6'ΛΛΛ 2、所求平面方程的法向量可取为{}3,1,22'ΛΛΛ

则平面方程为：0)2(3)1(2=-++-z y x 6'ΛΛΛ

3、原式

dy

y x dx x

??+=0

2210

)(4'ΛΛΛ

31

=

6'ΛΛΛ

四、解：1、令

2(,),(,)(sin ),

1P Q P x y x y Q x y x y y x ??=-=-+==-??3'ΛΛΛ

原式

1

1

20

(0)(1sin )x dx y dy

=--+??6'ΛΛΛ

5

cos13=-

7'ΛΛΛ 2、令z R y Q x P ===,,2'ΛΛΛ

Λ20

1,

x y

c ===

特解为(1)x

y x e =+ 7'ΛΛΛ

3、

)1对应的齐次方程的特征方程为 0652=+-r r , 有两不相等的实根3,221==r r 所以对应的齐次方程的通解为 x

x e c e c y 3221+=（21,c c 为?常数） 3'L L L

)2设其特解x

e b ax x y )()(*+=

将其代入原方程得

15

2321,,24ax a b x a b -+=+==