等差数列单元测试题含答案百度文库
一、等差数列选择题
1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( )
A .121
B .161
C .141
D .151
2.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11
B .10
C .6
D .3
3.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,有按级递减分物的等差数列问题,其中有一个问题大意是:10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目,现知第8兄弟分得6两,则长兄可分得银子的数目为( ) A .
825
两 B .
845
两 C .
865
两 D .
885
两 4.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4
D .-4
5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45
B .50
C .60
D .80
6.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -
B .n
C .21n -
D .2n
7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列
D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列
8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11 B .12
C .23
D .249.题目文件丢失!
10.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10
B .9
C .8
D .7
11.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之和为( ) A .24
B .39
C .104
D .52
12.已知数列{}n a 中,132a =
,且满足()*
1112,22
n n n a a n n N -=+≥∈,若对于任意*n N ∈,都有
n a n
λ
≥成立,则实数λ的最小值是( ) A .2
B .4
C .8
D .16
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60
B .120
C .160
D .240
14.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4
B .6
C .7
D .8
15.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则9
9
S a =( ) A .9 B .5 C .1 D .
59
16.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( ) A .24
B .23
C .17
D .16
17.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若
p m n q <<<且()
*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )
A .22p p S p a =?
B .p q m n a a a a >
C .1111p q m n a a a a +<+
D .1111p q m n
S S S S +>+ 18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6
B .7
C .8
D .10
19.已知正项数列{}n a 满足11a =,1111114n n n n a a a a ++????
+-=
???????
,数列{}n b 满足1111n n n
b a a +=+,记{}n b 的前n 项和为n T ,则20T 的值为( ) A .1
B .2
C .3
D .4
20.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---?+,*n N ∈,则
存在数列{}n b 和{}n c 使得( )
A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列
C .·
n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·
n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 二、多选题
21.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥
时,)
2
12n a =
-,则关于数列
{}n a 的说法正确的是 ( )
A .27a =
B .数列{}n a 为递增数列
C .2
21n a n n =+-
D .数列{}n a 为周期数列22.题目文件丢
失!
23.(多选题)已知数列{}n a 中,前n 项和为n S ,且2
3n n n S a +=,则1
n n a a -的值不可能为
( ) A .2
B .5
C .3
D .4
24.若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为
( ) A .
1
5
B .
25
C .
45
D .
65
25.已知数列{}n a :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68S a = B .733S =
C .135********a a a a a +++
+= D .222
2123202020202021a a a a a a ++++=
26.等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,151115,a S S ==,则以下正确的是( )
A .1d =-
B .413a a =
C .n S 的最大值为8S
D .使得0n S >的最大整数15n =
27.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且32019
11111
a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥ B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤ C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T > D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T <
28.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,47a =,则( )
A .2
n S n =
B .2
23n S n n =-
C .21n a n =-
D .35n a n =-
29.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )
A .若100S =,则280S S +=;
B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15
C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大
D .若78S S <,则89S S <
30.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22
B .d =-2
C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值
D .当S n >0时,n 的最大值为21
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一、等差数列选择题 1.B 【分析】
由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】
因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即
127a =
所以231223161S a == 故选:B 2.A 【分析】
利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】
由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,
213a a d =+=,
解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 3.C 【分析】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子,数列{}n a 是等差数列,
810
6
100a S =??
=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程,即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子,由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ,其前n 项和为n S ,
则由题意得8106100a S =??=?,即1176109
101002a d a d +=??
??+=??,解得186585a d ?
=????=-??
. 所以长兄分得86
5
两银子. 故选:C. 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得
()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列,要熟练掌握等差数列的通项公式和
前n 项和公式. 4.A 【详解】 由()()184588848162
2
2
a a a a S +?+??====.故选A.
5.C 【分析】
利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】
{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =
1158158()15215
156022
a a a S a +??=
===
故选:C 【点睛】
本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 6.B 【分析】
根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】
因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218
523a d a d a d +=??+=++?,
所以11
1a d =??=?,所以()111n a n n =+-?=,
故选:B. 7.D 【分析】
根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】
由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,
根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;
当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;
当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 8.C 【分析】
由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】
32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+?=,
故选:C.
9.无
10.A 【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】
在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由
467
811a a a =???
+=?4448
12311a d a d a d =??=-?+++=?,24210a a d ∴=-=. 故选:A
11.D 【分析】
根据等差数列的性质计算求解. 【详解】
由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=?+?=+==,
74a =,∴11313713()
13134522
a a S a +=
==?=. 故选:D . 12.A 【分析】 将11122
n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+,由等差数列的定义得出2
2n n n a +=,从而得
出()
22n
n n λ+≥
,求出()max
22n n n +??????的最值,即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时,111
22
n n n a a -=
+,所以11221n n n n a a --=+,而1123a = 所以数列{
}
2n
n a 是首项为3公差为1的等差数列,故22n
n a n =+,从而2
2n n
n a +=
. 又因为n a n λ
≥恒成立,即()22n
n n λ+≥恒成立,所以()max 22n n n λ+??≥????. 由()()()
()()()()
1
*121322,221122n n n
n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?
+-+?≥??N 得2n = 所以()()2
max
2222222n n n +?+??
==?
???,所以2λ≥,即实数λ的最小值是2 故选:A 13.B 【分析】
根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()
11515815152
a a S a +==,从而可得出结果.
【详解】
解:由题可知,2938a a a +=+,
由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =,
故()1158
158151521515812022
a a a S a +?=
===?=. 故选:B. 14.A 【分析】
由525S =求出1a ,从而可求出数列的通项公式,进而可求出m 的值 【详解】 解:由题意得154
52252
a ?+
?=,解得11a =, 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-, 因为215m a =,所以22115m ?-=,解得4m =, 故选:A 15.B 【分析】
由已知条件,结合等差数列通项公式得1a d =,即可求9
9
S a . 【详解】
4123425S a a a a a =+++=,即有13424a a a a ++=,得1a d =,
∴1999()
452
a a S d ?+=
=,99a d =,且0d ≠, ∴9
9
5S a =. 故选:B 16.A 【分析】 由题意可得52820
45252
a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解:根据题意,52820
45252
a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 17.D 【分析】
利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项,由于()
()1221222
p p
p p p p a a S
p a a pa ++=
=+≠,故选项A 错误;
对于B 选项,由于m p q n -=-,则
()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ?-?=+-?+--?????????
()()()()()2
2m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--?+--=----????????
()()()2
220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;
对于C 选项,由于1111
p q m n m n p q p q p q m n m n
a a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+???,故选项C 错误; 对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则
()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,
由于2
2
2
2
22p q m n p q pq m n mn +=+?++=++,故2222
p q m n +>+.
()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,
故()()22221122
p q m n p q p q m n m n
S S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.
()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d
--+---?
????=+?+=++????????
()()()22
1121124mn m n mn p q mna a d d
+---<+
+()()()22
1121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=,
由此
1111
p q m n p q p q m n m n
S S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D. 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 18.D 【分析】
由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】
解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,
得:111154435242238a d a d a d a d ???
?+=+ ??
?+++=?????
,
即
{
1132024
a d a d +-+=, 解得:
{
123
a d =-=,
51424310a a d ∴=+=-+?=.
故选:D. 19.B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=,运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-
,求得1
4n b =,然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解:由11a =,1111114n n n n a a a a ++????
+-= ???????
,得22
1114n n
a a +-=, 所以数列21n a ??
????是以4为公差,以1为首项的等差数列,
所以21
14(1)43n
n n a =+-=-,
因为0n a >
,所以n a =,
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=,
所以201220T b b b =++???+
11
1339(91)244=++???+=?-=, 故选:B 【点睛】
关键点点睛:此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和,解题的关键是由已知条件得
2
2
1114n n a a +-
=,从而数列21n a ??????
是以4为公差,以1
为首项的等差数列,进而可求n a =
,1
4
n b =
=,然后利用裂项相消法
可求得结果,考查计算能力和转化思想,属于中档题 20.D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+,
∴当1n =时,有110S a a ==≠;
当2n ≥时,有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?, 又当1n =时,0
1()2a a b b a =-+?=也适合上式,
1()2n n a a bn b -∴=-+?,
令n b a b bn =+-,1
2n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,
故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;
因为11
()22n n n a a b bn --+=-??,0b ≠,所以{
}1
2
n bn -?即不是等差数列,也不是等比数
列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:
由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解,考查学生的计算能
力.
二、多选题
21.ABC 【分析】
由)
2
12n a =
-
1=,再利用等差数列的定义求
得n a ,然后逐项判断. 【详解】 当2n ≥
时,由)
2
12n a =-,
得)
2
21n a +=
,
1=,又12a =,
所以
是以2为首项,以1为公差的等差数列,
2(1)11n n =+-?=+,
即2
21n a n n =+-,故C 正确;
所以27a =,故A 正确;
()2
12n a n =+-,所以{}n a 为递增数列,故正确;
数列{}n a 不具有周期性,故D 错误; 故选:ABC
22.无
23.BD 【分析】 利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-,再利用数列的单调性即可得出答案. 【详解】 解:∵2
3
n n n S a +=
, ∴2n ≥时,1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=
-, 化为:112
111
n n a n a n n -+==+--, 由于数列21n ??
?
?-??
单调递减, 可得:2n =时,2
1
n -取得最大值2. ∴
1
n
n a a -的最大值为3. 故选:BD . 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 24.ABC 【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及13
5
a =
,依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ,能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】
数列{}n a 满足112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,依次取1,2,3,4,...n =代入计算得,
211215a a =-=
,32225a a ==,43425a a ==,5413
215
a a a =-==,因此继续下去会循环,数列{}n a 是周期为4的周期数列,所有可能取值为:1234
,,,5555
. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列,属于基础题. 25.BCD 【分析】
根据题意写出8a ,6S ,7S ,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】
对A ,821a =,620S =,故A 不正确; 对B ,761333S S =+=,故B 正确;
对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,…,202120222020a a a =-,可得
135********a a a a a +++???+=,故C 正确;
对D ,该数列总有21n n n a a a ++=+,2
121a a a =,则()222312321a a a a a a a a =-=-, ()233423423a a a a a a a a =-=-,…,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-, 22019a =2019202020192018a a a a -,220202020202120202019a a a a a =-, 故2222
123202*********a a a a a a +++???+=,故D 正确.
故选:BCD 【点睛】
关键点睛:解答本题的关键是对CD 的判断,即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 26.BCD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1
2
15d a =-??=?,再逐
项判断即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,
由题意,11
154111051122
15
a d a d a ???+=+???=?,所以1215d a =-??=?,故A 错误; 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-,所以413a a =,故B 正确; 因为()()2
211168642
n n n a n d n n n S -=+
=-+=--+,
所以当且仅当8n =时,n S 取最大值,故C 正确; 要使()2
8640n S n =--+>,则16n <且n N +∈, 所以使得0n S >的最大整数15n =,故D 正确. 故选:BCD. 27.AC 【分析】 将
3201911111a a e e +≤++变形为320191111
01212
a a e e -+-≤++,构造函数()11
12
x f x e =
-+,利用函数单调性可得320190a a +≥,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由
3201911111a a e e +≤++,可得32019111101212a a e e -+-≤++,令()11
12
x
f x e =-+, ()()1111101111
x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++,
所以()1112
x
f x e =
-+是奇函数,且在R 上单调递减,所以320190a a +≥, 所以当数列{}n a 为等差数列时,()
320192*********
a a S +=
≥;
当数列{}n a 为等比数列时,且3a ,1011a ,2019a 同号,所以3a ,1011a ,2019a 均大于零, 故()2021
202110110T a =>.
故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列,考查逻辑推理能力,转化与化归的数学思想,属于中档题 28.AC 【分析】
利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组,求出11a =,2d =,由此能求出n a 与n S . 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S .39S =,47a =,
∴31413239237
S a d a a d ??
=+
=???=+=?, 解得11a =,2d =,
1(1)221n a n n ∴+-?=-=.
()21212
n n n S n +-=
=
故选:AC . 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 29.BC 【分析】
根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案. 【详解】
A 选项,若101109
1002
S a d ?=+
=,则1290a d +=, 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确; B 选项,若412S S =,则()5611128940a a a a a a ++
++=+=,
又因为10a >,所以前8项为正,从第9项开始为负, 因为()
()116168916802
a a S a a +=
=+=, 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确; C 选项,若()115158151502
a a S a +=
=>,()
()116168916802a a S a a +=
=+<, 则80a >,90a <,则{}n S 中8S 最大.故C 正确;
D 选项,若78S S <,则80a >,而989S S a -=,不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选:BC . 【点睛】
本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式,属于常考题型. 30.BC 【分析】
分别运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由S n >0解不等式可判断D . 【详解】
由公差60,90d S ≠=,可得161590a d +=,即12530a d +=,①
由a 7是a 3与a 9的等比中项,可得2
739a a a =,即()()()2
111628a d a d a d +=++,化简得
110a d =-,②
由①②解得120,2a d ==-,故A 错,B 对;
由()()2
2121441201221224n S n n n n n n ??=+-?-=-=--+ ??? *n N ∈,可得10n =或11时,n S 取最大值110,C 对;
由S n >0,解得021n <<,可得n 的最大值为20,D 错; 故选:BC 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.