《弹性力学》试题(2003级)参考答案

1．最小势能原理等价于弹性力学方程中： 平衡微分 方程和 应力 边界条件。 2．将平面应力情况下物理方程中的E 、μ分别换成

2

1μ

-E 、

μ

μ

-1，

即得到平面应变情况下的物理方程。

3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D

=???2的物理意义是 端部边界条件 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?及

y

x ?????

?,

在边界上值的物理意义分别是 面力对某一点的矩 ， 面力的主矢量（合力投影） 。 5．对无限大多连体，解析函数)(),(11z z ψ?中常数C i B B '+',的物理意义为： 无穷远处的主应力及其方向 。

1．试简述力学中圣维南原理的要点及在弹性力学分析中作用。 圣维南原理的要点：（1）静力等效；（2）一小部分边界（次要边界）；（3）近处的应力明显受影响而远处应力的影响可忽略不计。 圣维南原理在弹性力学分析中作用：（1）近似列出复杂面力的应力边界条件；（2）将一小部分位移边界条件转化为应力边界条件问题。 2．材料的泊松比为μ，试根据三向拉伸时体积膨胀，单向拉伸时产生横向收缩的性质，证明：在线弹性情况下有，2

10<

<μ。

证明：

（1）当物体处于三向等拉应力状态时，其任意方向的线应变有：

σμεE

21-=

因为，0>σ，0>E ，0>ε ，所以有：021>-μ，即

2

1<

μ

（2）当物体处于单向拉伸时，其横向线应变有：

μεε-='

因为，物体发生横向收缩变形，应有：0<'ε。考虑到拉伸轴向应变0>ε，由上

式可得

0>μ

综合以上讨论，得在弹性阶段，材料的泊松比μ，有

2

10<

<μ

3．下面给出平面应力问题（单连通域，无体力）一组应力分量和一组应变分量，试判断它们是否可能。 （1）,21y C x C x

+=σ

,43y C x C y

-=σ

y C x C xy 14-=τ；

（2）),(2

2

y x C x +=ε,2Cy y =εCxy xy

2=γ。

解：（1）

判断应力分量是否满足平衡微分方程： 计算：

1C x

x

=??σ，

1C y

xy

-=??τ

，

4C y

y

-=??σ，

4C x

xy

=??τ

代入平衡微分方程（设无体力），有

011=-=??+

??C C y

x

xy

x

τ

σ，

044=-=??+

??C C y

x

y

xy

στ

可见满足平衡微分方程。 判断应力分量是否满足相容方程： 计算：y C C x C C y

x

)()(4231-++=+σ

σ

[]0)()()(

))((

42312

22

22

22

2=-++??

+

??

=+??

+

??

y C C x C C y

x

y

x

y x

σσ

可见满足相容方程。

综合以上判别得：所给应力分量为一组可能应力分量。 （2）

判断应力分量是否满足变形协调方程： 计算：

[]

C y x

C y

y

x 2)(2

2

2

222

=+??

=

??ε，

[]02

2

22

2

=??

=

??Cy x

x

y

ε，

C Cxy y

x y

x xy

2)2(2

2

=???

=

???γ

将其代入变形协调方程：

y

x x

y

xy

y

x ???=

??+

??γ

εε2

2

2

2

2

，显然有：

C C 22=

满足变形协调方程，表明所给应变分量一组可能的应变分量。

1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。 （13分）

题三（1）图

解：d 很小，Pd M =∴，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。

其应力函数),(θ?r 可取为：

θθθ?B A r +=2sin ),(

将应力函数),(θ?r 代入应力分量公式，可求得应力分量： θθ??σ

2s i n 4

11222

2A r r r r r

-=??+??=； 02

2

=??=r

?σθ； )2c o s 2(1

12B A r

r r r +=??? ??????-=θθ?τθ

边界条件：

（1）0 ,00

==≠=≠=r r r θθ

θθ

τσ； 0 ,00

2

2==≠-

=≠=

r r r π

θθ

π

θθ

τσ

代入应力分量式，有

0)2(12

=+-B A r

或 A B 2= （1）

（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：θτσr r ,，和M = Pd

由该脱离体的平衡，得

02

2

2

=-?

-

M d r r π

π

θθτ 将θτr 代入并积分，有

0)2cos 2(122

2

2

=-+?-M d r B A r

π

π

θθ

02sin 22

=-+-

M B

A π

π

θ 得 0=-M B π （2）

联立式（1）、（2）求得：

π

π

Pd

M

B =

=

，π2Pd A =

代入应力分量式，得

22sin 2r Pd r

θπσ

-==； 0=θσ； 2

2

cos r

Pd r θπτθ=。 结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。 2．图示顶角为α的楔形体，下端无限长，受水平方向的常体力作用，设单位体积的水平力为p ，试用纯三次多项式为应力函数?求其应力分量。 （12分）

题三（2）图

解：由题意，取应力函数为

α

3

2

23),(dy cxy

y bx ax y x +++=? （1）

计算应力分量：

=

??=22

y

x

?σ

dy cx 62+

=-??=

py x

y

2

2?σ

py by ax -+26 （2）

=???-

=y

x xy ?τ2

cy bx 22--

边界条件1：

00

==y y σ

，00

==y xy

τ （3）

将式（2）代入得：

06=ax 02=-bx ，

解得：0,0==b a 。式（2）变为：

=

??=22

y

x

?σ

dy cx 62+

=-??=

py x

y

2

2?σ

py - （4）

=???-

=y

x xy ?τ2

cy 2-

考察边界条件（αtan x y =）：

0)()(=+s xy

s x m l τσ

0)()(=+s y s xy

m l στ

其中：αsin ),cos(-==x N l ，αcos ),cos(==y N m 。将上式及式（4）代入，有

)

(

c o s

)

2

(

s i n

)

2

(

c o s

)

6

2(

s i n

=

-

+

-

-

=

-

+

+

-

py

cy

cy

dy

cx

α

α

α

α

（5）将α

tan

x

y=代入解得：

α

cot

2p

c=

α

2

cot

3

p

d-

=

将上述结果代入式（4），得

)

cot

2

(

cotα

α

σy

x

p

x

-

=

py

y

-

=

σ（6）

y

p

xy

α

τcot

-

=

3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试求：

（1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w）近似函数的表达式；

（2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种，用最小势能原理或Ritz法求梁挠度（w）的近似解（取1项待定系数）。（13分）

题三（3）图

解：两种形式的梁挠度试函数可取为

)

(

)

(2

3

2

1

2

+

+

+

=x

A

x

A

A

x

x

w——多项式函数形式

)

)1

2(

cos

1(

)

(

1

∑

=

-

-

=

n

m

m l

x

m

A

x

w

π

——三角函数形式此时有：

)

(

)

(

2

3

2

1

2=

+

+

+

=

=

x

x

A

x

A

A

x

x

w

0)

()(2)(0

322

2321=++++++='=x x A A x x A x A A x x w

0)

)12(cos

1()(0

1=--=

==∑

x n

m m l

x

m A x w π

0)12(sin

)12()(0

1

=--=

'==∑

x n

m m

l

x

m m l A x w ππ

即满足梁的端部边界条件。 梁的总势能为

[]2

2

2

2)(2

1)(2

1l w k dx x qw dx dx w d EI Πl

l

+

-???

?

?

?=

?

?

取：2

1)(x A x w =，有

122

2A dx

w d =，2

1)(l A l w =

代入总势能计算式，有

2

210

12

2

1)(2

1)2(2

1

l A k dx A qx dx A EI Πl

l

+

-

=

?

?

4

213

12

1

2

13

2l kA l qA EIlA

+

-=

由0=Πδ，有

03

43

4

11=-

+l

q l kA EIlA

)

4(34

3

01kl EIl l

q A +=

代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为

2

3

2

0)

4(3)(x kl EI l

q x w +=

4．已知受力物体内某一点的应力分量为：0=x

σ，MPa 2=y

σ

，MPa 1=z

σ

，

MPa 1=xy τ，0=yz τ，MPa 2=zx τ，试求经过该点的平面13=++z y x 上的

正应力与剪应力。 （12分） 解：由平面方程13=++z y x ，得其法线方向单位矢量的方向余弦为

11

11

3112

2

2

=

++=l ，11

31

3132

2

2

=

++=

m ，11

11

3112

2

2

=

++=

n

???

?

?

?????=10

2

021210ij

σ， {}???

???????=?????

?????=131111n m l L [][][][]11113110

2

02121013

1

11

1??

???

???????

????????=

=L L T N

σσ

[]MPa 64.2112911

1

13137

5

==??

???

?????=

()()()()()222

2

2N N N

N

N Z Y X στ-++=

()2

zx xy x

n m l ττσ

++=

()

2

yz

y

xy n m l τ

σ

τ+++

()

2

z

zy xz n m l σ

ττ+++2

)(N

σ

-

2

2

2

2

1129113117115??? ??-??

? ??+??? ??+??? ??=12172=

MPa 77.011

2611

72121

72==

=

=

N τ