17-湖南大学课程考试试卷&&答案

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湖南大学课程考试试卷

2.

2()d f x x x C =+?，则2(1)d xf x x -=? 【 】

(A) 222(1)x C -+ (B) 22

2(1)x C --+ (C)

221(1)2x C -+ (D) 221

(1)2

x C --+ 3. 设函数()f x 的导数()f x '如右图所示，由此，函数()f x 的图形可能是 【 】

4. 当0→x 时, ln(1)1x

e x +--与n x 是同阶无穷小, 则n = 【 】

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5. 设[0,1]f C ∈且()0f x ≥，记1

10

()d ,I f x x =

?

220(sin )d ,I f x x π=?430

(tan )d ,I f x x π=?

则下列不等式成立的是 【 】 (A) 123I I I << (B) 312I I I << (C) 231I I I << (D) 132I I I <<

湖南大学教务处考试中

心

五、（7分）若()2(1),n f x nx x =-记[0,1]

max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在

[0,1]上的最大值),求lim n n M →∞

.

)

湖

南大学课程考试试卷

湖

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02

此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2

a b

x +=

为偶函数 (即对[,]a b 中的任何x 有(

)()22

a b a b

f x f x ++-=+)的任意函数()f x 的情形, 请叙述并证明你的结论.

九、（6分）设()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 且()0f b =,

试证: 至少存在一点(,)a b ξ∈, 使得()

()0()

f f a ξξξ'+

=-.

答案

一、 填空题（每小题3分，共15分）

1. 1x =

2. 2009!-

3. 2

4. ]2,0()0,1( -

5. 2K = 二、 选择题（每小题3分，共15分） 1. A 2. D 3. C 4. C 5. B

三、计算题（每小题5分，共20分）

1. 解：原式

=200011112lim 1222

2x x x x

x x →→→===

? (1分) (2分) (4分) (5分)

2. 解：2

2

220

33220

000(1)d 111lim (1)d lim lim lim 333x

t x x

t x x x x e t e x e t x x x x ---→→→→----====-

??

(2分) (3分) (5分)

3. 解：2()x x x

e xe e

f x x x '??-== ???，2()d d ()()()d x x xe e xf x x x f x xf x f x x c x -'==-=+??? (2分) (4分) (5分)

4. 解1: (1) 2,x t t =-21t x t '=-， 方程10y

te y ++=两边对t 求导, 得

0y y t t e te y y ''+?+=

从而,

1y y

t y

e e y te y '=-=+ (3分) 所以, d d (21)y t t y y e x x y t '=='-. 当0=t 时, 0,1x y ==-, 因而, 000d 1

d d d d d (21)y t t t y

e y x x x

x y t e

======- (5分)

解2: 方程组(1)0,

10 y

x t t te y +-=??++=?两边对x 求导得d d 120d d d d d 0d d d y y t

t t x x t y y e te x x x ?+-=????++=??， (2分)

将00,1t t y ===-代入得00d d 11,,d d t t t y x x e ===-= (4分) 故01d d t y x e ==. (5分)

四、（10分）解：(00),(00)0,(0),f c f f c -=+==因()f x 在0x =处连续，所以0c =。(3分)

200()(0)sin 0(0)lim lim x x f x f ax b x f b x x ---→→-+-'===, 00()(0)ln(1)0

(0)lim lim 1x x f x f x f x x +

++→→-+-'===，因()f x 在0x =处一阶可导，所以1,b = (6分)

且

2cos ,0,()1,

0,1,

0,

1ax x x f x x x x ?

?+

'==???>+? (8分)

00

00()(0)2cos 1

(0)lim lim 2,11

()(0)1(0)lim lim

lim 1,(1)x x x x x f x f ax x f a x x

f x f x x f x

x x x -

-+

++-→→+→→→''-+-''===-''-

-+''====-+ (10分)

因()f x 在0x =处二阶可导，所以

1

.

2a =- (11分) 五、（7分）解：令211

()2(1)2(1)2(1)[1(1)]0n n n f x n x n x x n x n x --'=---=--+=,

得唯一驻点

11x n =

+ (2分) 由()f x 在[0,1]上有最大值, 而可能的最大值点在0,1x =或1

1n +取到, 比较三点的函

数值得到

121()(1)

111n

n n M f n n n ==-+++ (4分) (11)

111lim 2lim (1)2lim(1)2111n n n n n n n M e n n n +--→∞→∞→∞=-=-=+++ (7分)

六、（8分）解: 设立方体的边长为x , 则其体积为3

V x =, 表面积为22d 6,(6)d V S x k x t ==-.

(2分)

将3

V x =两边对t 求导得：2d d 3d d V x x t t =?，所以，由22d (6)3d x k x x t -=?得d 2d x k t =-. (4分)

这说明边长以每小时2k 个单位的常速率减少. 因此, 若立方体的初始边长为0x , 一

小时后边长为10

2x x k =-, 即012k x x =-. 冰全部融化的时间为使得02kt x =的t 值，由

此，

001010121()x x t x k x x x ===--融化,

而113082()1192(1)

38x x ===≈=

+?0.96

(5分) (7分)

所以，1

25.0

10.96t ≈=-融化, 故融化掉其余部分需要约24.0小时. (8分)

七、（10分）解：（1）设切点为300(,)x x ，则2

00()3y x x '=。 所以切线L 的方程为

32

0003()y x x x x -=- (2分) 令1,5x y ==代入得

32

002350x x -+=，有唯一实根01x =-，故切点为(1,1)--. (3分) 所以, 切线L 的方程为32y x =+。 (4分)

（2）由3 32y x y x ?=?=+?解得1,2x =-,D 的面积为2

423

21

1327(32)d (2)244x S x x x x x --=+-=+-=? (7分)

（3）所求体积为

22

232260

[(32)()]d (9124)d V x x x x x x x

ππ=+-=++-??

2

32701264

(364)77x x x x ππ

=++-= (10分)

八、（8分）结论：设()f x 在[,]a b 上连续，且关于

2a b x +=

为偶函数 (即对[,]a b 中的任何x 有()()22a b a b f x f x ++-=+)，则()d ()d 2b b

a a a

b xf x x f x x +=??. (3分)

证明：设x a b t =+-, 则d d x t =-, 且当x a =时, t b =; 当x b =时, t a =. 于是 (4分)

()d ()()d b a a

b

xf x x a b t f a b t t =-+-+-?

?()()d b

a

a b t f a b t t

=+-+-?

()()d ()d b b

a

a

a b f a b t t tf a b t t

=++--+-?? (6分) ()()d ()d [()(())(())()]

2222b b a a a b a b a b a b

a b f t t tf t t f a b t f t f t f t ++++=+-+-=--=+-=??(7分)

所以, ()d ()d 2b

b a a a b xf x x f x x +=??. (8分)

九、（6分）证明：令()()()g x x a f x =-, (3分)

则()g x 在[,]a b 上连续, 在内(,)a b 可导, 且()()0g a g b ==, 由罗尔定理, 至少存在一点(,)a b ξ∈, 使得()0g ξ'=, 即

()

()0

()f f a ξξξ'+

=-. (6分)