三角函数公式总结、推导及应用
（一）知识点
1、若扇形的圆心角为()
αα为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l rα
=，
2
C r l
=+，2
11
22
S lr r
α
==．
2、角三角函数的基本关系：()22
1sin cos1
αα
+=()
2222
sin1cos,cos1sin
αααα
=-=-；
()sin
2tan
cos
α
α
α
=
sin
sin tan cos,cos
tan
α
αααα
α
??
==
?
??
3、函数的诱导公式：
()()
1sin2sin
kπαα
+=，()
cos2cos
kπαα
+=，()()
tan2tan
k k
παα
+=∈Z．
()()
2sin sin
παα
+=-，()
cos cos
παα
+=-，()
tan tan
παα
+=．
()()
3sin sin
αα
-=-，()
cos cos
αα
-=，()
tan tan
αα
-=-．
()()
4sin sin
παα
-=，()
cos cos
παα
-=-，()
tan tan
παα
-=-．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
()5sin cos
2
π
αα
??
-=
?
??
，cos sin
2
π
αα
??
-=
?
??
．()6sin cos
2
π
αα
??
+=
?
??
，cos sin
2
π
αα
??
+=-
?
??
．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
4、①的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数()
sin
y x?
=+的图象；再将函数
()
sin
y x?
=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数
()
sin
y x
ω?
=+的图象；再将函数()
sin
y x
ω?
=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
A倍（横坐标不变），得到函数()
sin
y x
ω?
=A+的图象．
②数sin
y x
=的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数
sin
y x
ω
=的图象；再将函数sin
y x
ω
=的图象上所有点向左（右）平移
?
ω
个单位长度，得到函数
()
sin
y x
ω?
=+的图象；再将函数()
sin
y x
ω?
=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
A倍（横坐标不变），得到函数()
sin
y x
ω?
=A+的图象．
5、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
sin
y x
=cos
y x
=tan
y x
=
图象
定义域R R,
2
x x k k
π
π
??
≠+∈Z
??
??
值域[]
1,1
-[]
1,1
-R
最值
当2
2
x k
π
π
=+()
k∈Z时，
max
1
y=；当2
2
x k
π
π
=-
()
k∈Z时，
min
1
y=-．
当()
2
x k k
π
=∈Z时，
max
1
y=；当2
x kππ
=+
()
k∈Z时，
min
1
y=-．
既无最大值也无最小值
周期性2π2ππ
奇偶性奇函数偶函数奇函数
单调性
在2,2
22
k k
ππ
ππ
??
-+
??
??
()
k∈Z上是增函数；在
3
2,2
22
k k
ππ
ππ
??
++
??
??
()
k∈Z上是减函数．
在[]()
2,2
k k k
πππ
-∈Z上是
增函数；在[]
2,2
k k
πππ
+
()
k∈Z上是减函数．
在,
22
k k
ππ
ππ
??
-+
?
??
()
k∈Z上是增函数．
对称性
对称中心()()
,0
k k
π∈Z
对称轴()
2
x k k
π
π
=+∈Z
对称中心()
,0
2
k k
π
π
??
+∈Z
?
??
对称轴()
x k k
π
=∈Z
对称中心()
,0
2
k
k
π
??
∈Z
?
??
无对称轴
函
数
性
质
6、 周期问题
()()()ω
π
ω?ωωπ
ω?ωωπ
ω?ω=
>>+==
>>+==
>>+=T , 0 , 0A , tan 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , x A y x ACos y x ASin y
7、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=+ ? （()()t a n t a n t a n 1t a n t a n
αβαβαβ-=
-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=- ? （()(
)t a n t a n t a n 1t a n t a n
αβαβαβ+=
+-）． 8、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin22sin cos ααα=．2
22)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±?
⑵2
222
cos2cos
sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
?升幂公式2
sin 2cos 1,2cos 2cos 12
2
α
αα
α=-=+
?降幂公式2cos 21cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=． ⑶2
2tan tan 21tan α
αα=-． 9、利用两角和或差公式化一角一函数 B x A y ++=)sin(??形式。
)sin(cos sin 22?αβα++=+b a b a ,其中a
b
=
?tan （或)cos(cos sin 22θααα-+=
+b a b a ，其中b
a =
θtan ） （二）应用
【例1】如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔
顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。
1.41421…，
3＝1.73205…）
分析：此题可先通过解Rt △ABD 求出塔高AB ，再利用CE ＝BD ＝80米，
解Rt △AEC
求出AE ，最后求出CD ＝BE ＝AB －AE 。
解：在Rt △ABD 中，BD ＝80米，∠BAD ＝600 ∴AB ＝56.13838060
tan 0
≈=?BD （米）
在Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80米，∠ACE ＝450 ∴AE ＝CE ＝80米 ∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝56.5880380
≈-（米）
答：塔AB 的高约为138. 56米，楼CD 的高约为58. 56米。
【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为030=α，045=β，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3
＝1.73）
分析：要求AB ，只须求出OA 即可。可通过解Rt △POA 达到目的。
解：在Rt △PAO 中，∠PAO ＝030=α
∴OA ＝
3
45030cot 450cot 0==∠?PAO PO （米）
在Rt △PBO 中，∠PBO ＝045=β
∴OB ＝OP ＝450（米）
∴AB ＝OA －OB ＝329
4503450≈-（米）
答：这座大桥的长度约为329米。
评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角
的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。
【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事
演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？
分析：此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论。 解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D
∵CD AD =
30
cot ，CD
BC =0
60cot ∴0
30cot ?=CD AD ，0
60cot ?=CD BD ∴20)60cot 30(cot 00=-=-CD BD AD
∴3103
3320=-
=
CD
450
60
例1图
F
E
D C
B
A
例2图
β
α
A
B
O
P
∵310
＞10
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。
评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。
300
60例3图
南
北
北
南
西
东
C
D
B
A 例4图
F
E D
C
B
A
【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝3米，斜坡AD ＝16米，坝高8米，斜坡BC 的坡度i ＝1∶3，求斜坡AB 的坡角和坝底宽AB 。
分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。 解：作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，在Rt △ADE 和Rt △BCF 中 ∵2
1
168sin
===
AD DE A ∴∠A ＝300
又∵388162222=-=-=
DE AD AE ，3
1
==
BF CF i ∴BF ＝3CF ＝3×8＝24 ∴AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝24338
++＝3827+（米）
答：斜坡AB 的坡角∠A ＝300，坝底宽AB 为)3827
(+米。
评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值αtan =i ）
，其次是作适当的辅助线构造直角三角形。 探索与创新：
【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060=θ
，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）
分析：此题只需求出点A 到CE 的距离，于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ，DF ⊥CE ，构造直角三角形，解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解。
解：过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ，垂足分别为G 、F ，过D 作DH ⊥AG
于H ，则有：
2
3
323360sin 0=?
=?=CD DF 4
1215.060cos 0=?
=?=AD AH 于是A 点离地面的高度为
42.14
1
233≈++（米） 答：车厢的最高点A 离地面约为4米。
【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，
并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。
问题二图
1
问题二图
2
略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线AB ，延长DC 交AB 于E ，由题意可知，△ACE 是等腰直角三角形，所以CE ＝0.5，DE ＝DC ＋CE ＝2，作DH ⊥AB 于H ，则245sin 2sin 0==∠?=HED DE DH
∵
5.12<
∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。
设计方案图
设计方案说理图
跟踪训练： 一、选择题：
1、河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度i 是（ ） A 、1∶3 B 、1∶2.6 C 、1∶2.4 D 、1∶2
2、如图，某渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B
处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ） A 、27
海里 B 、214海里 C 、7海里 D 、14海里
问题一图
H
G F
D
C
B A
第1题图
C
B
A
150
60
第2题图
北
东
北
M
B
A
45
30
第3题图
C
D
B
A
3、如图，从山顶A 望地面C 、D 两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD ＝100米，点C 在BD 上，则山高AB ＝（ ）
A 、100米
B 、350
米 C 、250米 D 、)13(50+米
4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A 、a 450元
B 、a 225元
C 、a 150元
D 、a 300元
120选择第4题图
30m
20m
=i 填空第1题图
填空第2题图
C
D
B
A
二、填空题：
1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底AB ＝ 米。
2、小明想测量电线杆AB 的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10米，CD 与地面成300角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米（结果保留两
位有效数字，2＝1.41，3＝1.73）
三、解答题：
1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A 处观测到河对岸水边处有一点C ，并测得∠CAD ＝450，在距离A 点30米的B 处测得∠CBD ＝300，求河宽CD （结果可带根号）。
第1题图
第2题图 A
第3题图
C B A
2、如图：在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的府角是150，
求热气球升空点A 与着火点B 的距离。（结果保留根号，参考数据：4
2
615
sin 0
-=
，4
2615
cos 0
+=
，
3215tan 0-=，3215cot 0+=）
3、如图：某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所A ，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B
处向哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进15海里到达C 点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。
①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东α，求αsin 的值； ②当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？ 4、如图，客轮沿折线A →B →C ，从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A →B →C 上的某一点E 处。已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍。
（1）两船相遇之处E 点（ ） A 、在线段AB 上 B 、在线段BC 上
C 、在线段AB 上，也可以在线段BC 上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）
?
第4题图
D C
B
A
跟踪训练参考答案
一、选择题：CADC 二、填空题：
1、34米；
2、8.7米； 三、解答题：
1、)15315
(+米；
2、)31(980+米；
3、①3
1
sin =
α
；②300； 4、（1）B ；（2）)3
6
100200
(-
海里。
三角函数公式总结与推导
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{
}
Z k k ∈+?=,360|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {}
Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+?=,90180|
ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}
Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}
Z k k ∈-?=,45180| ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360
⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=
180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π
180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180
π≈0.01745（rad ）
3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22
s lr r α==?扇形
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r
y =αsin ； r
x =αcos ； x
y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. y
r =αcsc .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余
弦）
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
8、同角三角函数的基本关系式：αα
αtan cos sin =
αα
αc o t s i n c o s
=
1cot tan =?αα 1sin csc =α?α 1c o s s e c
=α?α 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα
9、诱导公式：
2
k παα±把
的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x x
x x x c o t )c
o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=-=--=-
公式组四
公式组五 公式组六
x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x c o t )2c o t (t a n )
2t a n (c o s )2
c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x x x x x
x x x c o t
)c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ
公式组一sin x ·csc x =1tan x =x
x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2x
tan x ·cot x =1
1+cot 2x =csc 2
x
=1SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
(3) 若 o ,则sinx 16. 几个重要结论: （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n = βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2 222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α α α2 t a n 1t a n 22t a n -= βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2 c o s 12 s i n αα -±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + 2cos 12cos α α+±= βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 公式组三 公式组四 公式组五 2tan 12tan 2sin 2 ααα+= 2tan 12tan 1cos 22 ααα+-= 2tan 12tan 2tan 2ααα-= 4 2675cos 15sin -= = ,4 2615cos 75sin += = ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== . )(x f y =在],[b a 上递增（减） ，则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②x y sin =与x y cos =的周期是π. ③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ω π 2= T . 2tan x y =的周期为2π（πω π2=?=T T ，如图，翻折无效）. ④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2 π π+ =k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)c o s (?ω+=x y 的对称轴方程是 πk x =（Z k ∈） ，对称中心（0,2 1ππ+k ）；)t a n (?ω+=x y 的对称中心（ 0,2 π k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称 ⑤当αtan ·,1tan =β)(2 Z k k ∈+ =+π πβα；αtan ·,1tan -=β)(2 Z k k ∈+ =-π πβα. ⑥x y cos =与?? ? ??++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数，则 )cos()2 1 sin()(x k x x y ωππω?ω±=++=+=. ⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点 ()()[]()()[]()()[] ()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 2 1sin sin cos cos 2 1cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21 cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2 sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-α α αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=- 对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3 1 tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于 原点对称） 奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性质） ⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ） x y cos =是周期函数（如图） ；x y cos =为周期函数（=T 2 12cos + =x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(. ⑩a b b a b a y = +++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １）、几何法： ２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象． 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2|| T πω=，频率1||2f T ωπ ==，相位;x ω?+初相?（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， 由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ） 由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1 | |ω 倍，得到 y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x) 由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x) 由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ） 由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数y ＝sin x ，?? ? ? ? ????? ??-∈22ππ，x 的反函数叫做反正弦函数，记作y ＝arcsin x ，它的定义域是［－1，1］，值域是?? ??? ?22ππ，－． 函数y ＝cos x ，（x ∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y ＝arccos x ，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］． 函数y ＝tan x ，??? ? ????? ??-∈22ππ，x 的反函数叫做反正切函数，记作y ＝arctan x ，它的定义域是（－∞，＋∞）， 值域是?? ? ??-22ππ，． 函数y ＝ctg x ，［x ∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y ＝arcctg x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）． II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数） 注：x x =)sin(arcsin ，[]1,1-∈x ，?? ????-∈2,2arcsin ππx . ⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos ，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos ∈x . ②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2 ,2π π- ），x y a r c t a n =是奇函数， x x arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞. 注：x x =)tan(arctan ，∈x ),(+∞-∞. ⑷反余切函数：x arc y cot =，定义域),(+∞-∞，值域（2, 2π π- ），x a r c y c o t =是非奇非偶. ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-，∈x ),(+∞-∞. 注：①x x arc =)cot cot(，∈x ),(+∞-∞. ②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数，x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ. ⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 ①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集 a ＞1 ? a ＞1 ? y=|cos2x +1/2|图象 a =1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a =1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π a ＜1 (){} Z k a k x x k ∈-+=,arcsin 1|π a ＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π ③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =c o t 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,o t a r c |π 二、三角恒等式. 组一 组二 ∏== =n k n n n k 1 2sin 2sin 2 cos 8 cos 4 cos 2 cos 2 cos α αα α α α α ∑=++= +++++=+n k d nd x d n nd x d x x kd x 0 sin ) cos())1sin(()cos()cos(cos )cos( ∑ =++= +++++=+n k d nd x d n nd x d x x kd x 0 sin ) sin())1sin(()sin()sin(sin )sin( α γγββαγ βαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++= ++ 组三 三角函数不等式 x sin ＜x ＜)2,0(,tan π∈x x x x x f sin )(= 在),0(π上是减函数 若π=++C B A ，则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++ α αααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()α ββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 1 1++=n n n 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α α αcos sin tan = ， 平方关系：1cos sin 22=+αα， 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值，等于α的异名函数值， 前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α α α2 tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （） 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2sin b a b += ?，2 2cos b a a += ?，a b = ?tan 。 八、正弦定理 【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 三角函数公式和相关证明 倒数关系： tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示， 即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式 三角函数公式 ? 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 基本信息 ?中文名称 三角函数 ?外文名称 相关概念 余切：cotangent（简写cot）['k?u't?nd??nt] 正割：secant（简写sec）['si:k?nt] 余割：cosecant（简写csc）['kau'si:k?nt] 正矢：versine（简写versin）['v?:sain] 余矢：versed cosine（简写vercos）['v?:s?:d][k?usain] 直角三角函数 直角三角函数（∠α是锐角） 三角关系 倒数关系：cotα*tanα=1 商的关系：sinα/cosα=tanα 平方关系：sin2α+cos2α=1 三角规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 三角函数本质： 根据三角函数定义推导公式根据下图，有sinθ=y/ r;cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来， 比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +- 高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A cos(2 A )=2cos 1A tan(2 A )=A A cos 1cos 1cot(2A )= A A cos 1cos 1tan(2A )=A A sin cos 1=A A cos 1sin 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a cos 2 b a sina-sinb=2cos 2b a sin 2 b a cosa+cosb = 2cos 2b a cos 2 b a cosa-cosb = -2sin 2b a sin 2 b a tana+tanb=b a b a cos cos )sin(积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2-a) = cosa cos( 2-a) = sina sin( 2+a) = cosa cos(2 +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2)2 (tan 12tan 2a a cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。接下来分享三角函数万能公式及推导过程。 三角函数万能公式 (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2 (4)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（任意非直角三角形） 三角函数万能公式推导过程 由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 得（sinA）^2+（sinB）^2-（sinC）^2-2sinAsinBcosC=0 转化1-(cosA）^2+1-(cosB）^2-[1-(cosC）^2]-2sinAsinBcosC=0 即(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2sinAsinBcosC-1=0 又cos（C）=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 得(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2cosC[cos（C）+cosAcosB]-1=0 (cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC 得证（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC 同角三角函数的关系公式 倒数关系公式 ①tanαcotα=1 ②sinαcscα=1 ③cosαsecα=1 商数关系公式 tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα平方关系公式 ①sin2α+cos2α=1 ②1+tan2α=sec2α ③1+cot2α=csc2α 三角函数公式及证明 （ 编辑整理 2013.5.3） 基本定义 1.任意角的三角函数值： 在此单位圆中，弧AB 的长度等于α； B 点的横坐标αcos =x ，纵坐标 αsin =y ； （由 三角形OBC 面积<弧形OAB 的面积<三角形OMA 的面积 可得： a a tan sin <<α （2 0πα<<）） 2.正切： α α αcos sin tan = 基本定理 1.勾股定理： 1cos sin 22=+αα 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc A cos bc a c b A 2cos 2 22-+=? 3.诱导公试: απ ±k 2 cot tan cos sin ?? 奇变偶不变，符号看相线 4.正余弦和差公式: ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± 推导结论 1. 基本结论 ααα2sin 1)cos (sin 2+=+ α α2 2cos 1 1tan = + 2. 正切和差公式： β αβ αβαβαβ αβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin() tan(μμ±= ??? ? ??±=±±=± 3.二倍角公式（包含万能公式）： θ θθθθθθθθ2 22tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin +=??? ??+== θθ θθθθθθθθθ2222222 2 2 2 tan 1tan 1cos sin sin cos sin 211cos 2sin cos 2cos +-=??? ? ??+-=-=-=-= θ θ θθθ2tan 1tan 22cos 2sin 2tan -= = θ θ θθ222 tan 1tan 22cos 1sin +=-= 22cos 1cos 2θθ+= 4.半角公式：（符号的选择由2θ 所在的象限确定） 高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半) 正弦定理：在△ABC 中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式 三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 三角函数公式 1． 同角三角函数基本关系式 sin 2 α＋cos 2 α=1 sin α cos α =tan α tan αcot α=1 2． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) （一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin α cos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α （二） sin(π2 －α)＝cos α sin(π2 +α)＝cos α cos(π2 －α)＝sin α cos(π 2 +α)＝- sin α tan(π2 －α)＝cot α tan(π 2 +α)＝-cot α sin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π 2 +α)＝-cos α cos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π 2 +α)＝sin α tan(3π2 －α)＝cot α tan(3π 2 +α)＝-cot α sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α 3． 两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)= tan α+tan β 1－tan αtan β tan(α－β)= tan α－tan β 1＋tan αtan β 4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α 1－tan 2α 诱导公式 目录2诱导公式 2诱导公式记忆口诀 2同角三角函数基本关系 2同角三角函数关系六角形记忆法 2两角和差公式 2倍角公式 2半角公式 2万能公式 2万能公式推导 2三倍角公式 2三倍角公式推导 2三倍角公式联想记忆 2和差化积公式 2积化和差公式 2和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈z)的个三角函数值， 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ） 在同一象限，且a b tg =?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω） 三角函数公式推导过程 万能公式推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， （因为cos^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同除cos^2(α)，可得 sin2α=2tanα/(1+tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式推导: tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α)，得： tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα =2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α) =3sinα－4sin^3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα =(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) =2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α)) =4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α=3sinα－4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)－3cosα 和差化积公式推导: 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a- b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 三角函数与反三角函数 第一部分三角函数公式 ·两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A） Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B） ·万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) ·降幂公式 sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ -tanγ·tanα) ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB ^ 三角函数公式大全锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinACosA ] Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 】 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A [ Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α $ 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α ααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan（-α）= -tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα 公式六： 2 π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos（2 π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos（2 π+α）= -sinα sin （ 23π-α）= -cosα cos（2 3π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos（23π+α）= sinα 三、两角和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 四、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式 五、辅助角公式： )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （其中a b =?tan ） 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z) 六、其它公式： 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222?-+=高中数学_三角函数公式大全全部覆盖
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