第十六 分式小结与复习

第十六章 分式小结与复习

知识点一 分式的值为0的条件

例1 若分式221-2b-3

b b -的值为0，则b 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2 【解析】：分式221-2b-3b b -的值为0，必须同时满足两个条件2210230b b b ⎧-=⎪⎨--≠

⎪⎩ 由①得b=±1,由②得b ≠3且b ≠-1；所以b=1.

故选A.

【方法归纳】：分式的值为0的条件是：分子为0，而分母不为0.

【拓展运用】1. 若分式2

0(2)(1)x x x -=--，则x 3=__________.

知识点二 分式的乘除

例2 计算22164____________.81628

a a a a a --÷=+++ 【解析】本题是分式的除法，应先对能分解因式的分子或分母进行分解因式，再利用分式的乘除法则计算，即：原式=

2(4)(4)4(4)2(4)a a a a a +--÷++=2(4)(4)2(4)2(4)4a a a a a +-+⨯=-+-. 故答案为：-2.

【方法归纳】在分式的乘除运算中，当分式的分子或分母是多项式时，应先进行因式的分解，然后再计算.

【拓展运用】2. 阅读下列解答的过程，然后回答问题： 计算：2212(4)442

x x x x x +÷⋅--+- 解：原式=212(2)(2)(2)2

x x x x x +÷⋅-+-- ① =

212(2)(2)(2)2x x x x x -⋅⋅-+-+ ② =1 ③

（1）其中①使用的公式：_________________________.

（2）其中②使用法则：___________________________.

① ②

（3）在过程①②③中，第_____步是错误的，该题正确的计算结果是_________.

知识点三 分式的加减

例3 化简：2

2142a a a +--. 【解析】两个分式相加（或减）时，分母为多项式时，应先将分母按同一个字母降幂或升幂排列，然后将能进行分解因式的分母或分子分解因式，最后把异分母转化成同分母，再进行分式的加（或减）,即：

原式 = 22142a a a -=--()()21222a a a a -+--()()()()

222222a a a a a a +=-+-+- ()()()2222a a a a -+=+-()()222a a a -=+-12

a =+. 【方法归纳】异分母分式相加减时，先通分，化成同分母分式后，在进行加减.

【拓展运用】3. 计算：6()333x x x x x x

-÷-+-. 知识点四 分式的混合运算

例4 先化简，再求值：（x – 1x )÷ x +1x ，其中x = 2+1．

【解析】本题含有分式的减法与除法运算，并且有括号，因此应先算括号里面的，然后将除法转化成乘法来计算，最后把x 的值代入最简式并求出最后的结果，即：

原式= x 2–1x · x x +1= (x +1)(x –1)x · x x +1 = x –1.

当x = 2+1时，原式= 2+1–1= 2．

【方法归纳】分式的运算顺序与分数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要特别注意分式混合运算的关键是运算顺序和运算技巧，再有最后的计算结果要化到最简.

【拓展运用】4.请你给下列分式：221244211

x x x x x x x +--+-÷-+-先化简，再对x 取一个你喜欢的数，并代入求值，

知识点五 分式方程

例5 解方程：x

x x -=+--23123. 解析：先找出各分母的最简公分母，然后同乘最简公分母，从而将分式方程化成整式方程.

方程两边同乘以()2-x ,得()323-=-+-x x ，即2x -５＝-３，解得x ＝１. 经检验，x ＝１是原方程的解．

所以原方程的解为x ＝１.

【方法归纳】在去分母时，要注意方程左右两边不含分母的项不能漏乘最简公分母.另外，还要注意解分式方程的必要步骤：检验.

【拓展运用】5. 若方程

322x m x x -=--无解，则m=________.

误区点拨

一、忽视分母不能为0，而出错

例1 已知1

1m m --的值为0，求m 的值.

错解：由1

1m m --=0，得10m -=，即1m =，所以m=±1.

错解分析：在解题时，只注意到了分子为0，而忽视了分母不能为0这一条件，即m-1≠0,

所以m≠1.

正解：由1

1m m --=0，得1010

m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，所以11m m =±⎧⎨≠⎩，所以m=1. 方法归纳：当一个分式的值为0时，首先求出使分子等于0的字母的值，在检验这个字母的值是否使的分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是我们所要球的字母的值.

活学活用：是否存在x 的值使2122

x x --的值为0？ 二、分式乘除时弄错或忽略符号,而出错.

例2 计算

2a a b b a a b

+÷--的结果是（ ） A. 2a a b + B. 3a b a b +- C. 3a b b a +- D. 2a a b -+ 错解：选A.

错解分析：在解题时忽视了b-a 与a-b 互为相反数，因此在进行分式的乘法运算约分时，都不要丢掉“-”.

正解：选D.

方法归纳：在进行分式的乘除运算时，均转化为乘法来完成，但要注意运算中的互为相反数的情况.

活学活用：计算2()__________.ab ab a a b

-⋅=- 三、在整数指数幂的运算中对负整数指数幂的意义理解错误，而出错

例3 计算：2

2

()3--=_________.